Heisenberg-Modell (Quantenmechanik)
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Das Heisenberg-Modell in der quantenmechanischen Formulierung ist ein in der Theoretischen Physik viel benutztes mathematisches Modell zur Beschreibung von Ferromagnetismus (sowie Antiferromagnetismus und Ferrimagnetismus) in Festkörpern. 1928 haben Werner Heisenberg[1] und Paul Dirac [2] erkannt, dass Ferromagnetismus in einem Festkörper durch einen effektiven Hamiltonoperator beschrieben werden kann, der die quantenmechanischen Ortsfunktionen nicht enthält, da er lediglich aus wechselwirkenden lokalisierten Elektronenspins auf einem Gitter (dem Kristallgitter) aufgebaut ist. Die Wechselwirkung ist dabei (zunächst) reduziert auf benachbarte Spins (nächste-Nachbar-Wechselwirkung):
Dabei sind die
Ziel der Betrachtung ist es, experimentell beobachtete Effekte wie die spontane Magnetisierung und die kritischen Exponenten an den Phasenübergängen zu modellieren.
Die Austauschwechselwirkung zwischen den lokalisierten Spins wird durch die Coulomb-Abstoßung und das Pauli-Prinzip verursacht und bei Beschränkung auf nächste-Nachbar-Wechselwirkung und Isotropie (siehe unten) mit einer einzigen Kopplungskonstante
Erläuterungen zum Modell
Der Ferromagnetismus von Isolatoren wird bewirkt von lokalisierten magnetischen Momenten, die einer unvollständig gefüllten Elektronenschale (3d-, 4d, 4f oder 5f) zuzuschreiben sind. Diesen lokalisierten magnetischen Momenten
Der Spinvektor
Verallgemeinerungen des Modells
Das Heisenberg-Modell kann verallgemeinert werden, indem man die Kopplungskonstante richtungsabhängig macht (d.h. indem man von isotropen zu anisotropen Systemen übergeht).
Ein Spezialfall des verallgemeinerten Heisenberg-Modells ist das XXZ-Modell, welches erzeugt wird durch die Setzung von
Das Heisenberg-Modell und seine Spezialfälle werden oft im Zusammenhang mit einem angelegten Magnetfeld
Eine weitere Verallgemeinerung beinhaltet die Einbeziehung von Kopplungen nicht nur zwischen nächsten Nachbarn sowie von Inhomogenitäten,
Die Übergänge zum XY-Modell und zum Ising-Modell lassen sich am besten im n-Vektor-Modell darstellen.
Modell im k-Raum
Zur Analyse des Modells und zur Betrachtung der Anregungen ist es sinnvoll, das Modell im k-Raum zu betrachten. Die Transformation (diskrete Fouriertransformation) für die Spinoperatoren
Das verallgemeinerte Heisenbergmodells im Magnetfeld ohne Richtungsabhängigkeit
wobei auch die Austauschintegrale wellenzahlabhängig sind:
Grundzustand
In diesem Abschnitt wird der Grundzustand des verallgemeinerte Heisenberg-Modells im Magnetfeld ohne Richtungsabhängigkeit betrachtet. Der Grundzustand ist der Eigenzustand des Systems mit geringster Energie. Dieser ist stark abhängig von Vorzeichen der Kopplungskonstante
Unter eine Drehung aller Spinvektoren ändert sich das Heisenberg-Modell nicht, es ist also invariant unter einer Rotation. Für
dann kann die Grundzustandsenergie angeben werden als:
Dabei wurde der Eigenwert des
Für
Magnonen und Spinwellen
In diesem Abschnitt werden die Anregungen aus dem ferromagnetischen Grundzustand des verallgemeinerte Heisenberg-Modells im Magnetfeld ohne Richtungsabhängigkeit betrachtet. Die Anregungszustände werden dem Quasiteilchen Magnon zugeordnet. Es handelt sich dabei um kollektive Anregungen des gesamten Kristallgitters und diese werden demnach auch als Spinwellen bezeichnet.
Die Eigenzustände des
Die einmalige Anwendung des
die zugehörige Energie des Zustands ist gegeben als:
die Anregungsenergie
Dabei ist die linke Seite der Gleichung nicht mehr vom Platz i abhängig. Anschaulich bedeutet dies, dass die Anregung aus dem Grundzustand (Ein-Magnonenzustand) nicht durch das einfache Umklappen eines Spins auf einem Gitterplatz erzeugt wird, sondern dass der Ein-Magnonenzustand über das Gitter gleichmäßig verteilt ist. Daher wird der Zustand
1D-Heisenberg-Modell
Im eindimensionalen Heisenberg-Modell sind die Spins aufgereiht auf einer Kette. Bei periodischen Randbedingungen ist die Kette zu einem Ring geschlossen. Die Eigenzustände und Eigenenergien für das eindimensionale Heisenberg-Modell wurden 1931 von Hans Bethe[3] mit dem Bethe-Ansatz exakt bestimmt.
Eigenvektoren und Eigenzustände
Da der
Die verschieden Unterräume können durch ihre
Die Eigenvektoren in einem Unterraum mit einer
die Koeffizienten sind ebene Wellen und durch den Bethe-Ansatz gegeben.
Die Parameter können über die Gleichungen des Bethe-Ansatzes bestimmt werden
- Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „
Die Eigenvektoren sind gegeben durch alle Kombinationen der Bethe-Quantenzahlen
Jordan-Wigner-Transformation
Das 1D-Heisenberg-Modell kann bei periodischen Randbedingungen mittels einer Jordan-Wigner-Transformation auf spinlose Fermionen auf einer Kette mit lediglich nächster Nachbarwechselwirkung abgebildet werden. Der Hamiltonian
Die
Literatur
- Wolfgang Nolting, Grundkurs Theoretische Physik, Band 7 - Vielteilchen-Theorie, Springer Verlag
Weblinks
Quellen
- ↑ W. Heisenberg: Zur Theorie des Ferromagnetismus. In: Zeitschrift für Physik. 49, Nr. 9, 1928, S. 619–636, doi:10.1007/BF01328601.
- ↑ Paul Dirac: On the Theory of Quantum Mechanics. In: Proc. Roy. Soc. London A. 112, 1926, S. 661–677.
- ↑ H. Bethe, Zur Theorie der Metalle. I. Eigenwerte und Eigenfunktionen der linearen Atomkette. (On the theory of metals. I. Eigenvalues and eigenfunctions of the linear atom chain), Zeitschrift für Physik A, Vol. 71, pp. 205-226 (1931). SpringerLink.