Ehrenfest-Theorem
Das Ehrenfest-Theorem, benannt nach dem österreichischen Physiker Paul Ehrenfest, stellt innerhalb der Physik einen Zusammenhang zwischen der klassischen Mechanik und der Quantenmechanik her. Es besagt, dass unter bestimmten Bedingungen die klassischen Bewegungsgleichungen für die Mittelwerte der Quantenmechanik gelten; die klassische Mechanik also in gewissem Maße in der Quantenmechanik enthalten ist (Korrespondenzprinzip).
Mathematisch drückt sich das in seiner allgemeinsten Form so aus, dass die vollständige Zeitableitung des Erwartungswertes eines quantenmechanischen Operators mit dem Kommutator dieses Operators und des Hamiltonoperators
Dabei stellt O einen quantenmechanischen Operator und
Klassisches Analogon
Im Hamilton-Formalismus der klassischen Mechanik gilt für die Zeitentwicklung einer Phasenraumfunktion:
mit der Poisson-Klammer
Herleitung
Folgende Herleitung verwendet das Schrödinger-Bild. Für eine alternative Betrachtung im Heisenberg-Bild siehe "Bewegungsgleichung für Erwartungswerte" unter Heisenbergsche Bewegungsgleichung.
Es sei das betrachtete System im Quantenzustand
Man betrachtet nun die Schrödingergleichung
Konjugiert man diese Gleichung und beachtet, dass der Hamilton-Operator
.
Einsetzen dieser Relationen liefert nun:
Anwendung
Orts- und Impulsoperatoren
Für den Spezialfall des Impulsoperators (dieser ist nicht explizit zeitabhängig, das heißt
Nun wird der Kommutator
Die zeitliche Ableitung des Impuls-Erwartungswerts in der Ortsdarstellung ist also:
Da auch der Ortsoperator nicht explizit zeitabhängig ist, folgt mit dem Ehrenfest-Theorem für dessen Zeitentwicklung:
Dabei wurden die einfache Kommutatorrelation
Aus den beiden hergeleiteten Beziehungen
folgt:
Hier wurde die Kraft
Klassische Näherung
Der Erwartungswert der Kraft
Berücksichtigt man nur den ersten Summanden, so erhält man
und somit
.
In Worten bedeutet dies, dass sich der Erwartungswert der Position auf einer klassischen Bahn bewegt, d.h. der klassischen Bewegungsgleichung folgt. Das Ehrenfest-Theorem führt somit direkt auf eine Analogie der Quantenmechanik zur klassischen Mechanik - hier in Form des zweiten Newton'schen Axioms
.
Die Annahme (*) und damit auch die klassische Bewegungsgleichung für quantenmechanische Erwartungswerte gelten allerdings nur dann exakt, falls die Kraft F(x) eine lineare Funktion der Position x ist. Dies gilt für die einfachen Fälle des harmonischen Oszillators oder des freien Teilchens (dann verschwinden alle Ortsableitungen der Kraft vom Grad größer gleich 2). Außerdem kann man sagen, dass (*) gilt, wenn die Breite der Aufenthaltswahrscheinlichkeit klein ist gegenüber der typischen Längenskala auf der die Kraft F(x) variiert.
Die Bewegungsgleichung für Erwartungswerte lautet mit der nächsten nichtverschwindenden Korrektur zur klassischen Bewegungsgleichung:
Siehe auch
- Liouville-Gleichung, Satz von Liouville (Physik)
Literatur
- Leslie E. Ballentine: Quantum Mechanics: A Modern Development 1. Auflage. World Scientific Publishing, Singapore 1998, ISBN 981-02-4105-4
- P. Ehrenfest: Bemerkung über die angenäherte Gültigkeit der klassischen Mechanik innerhalb der Quantenmechanik Zeitschrift für Physik A Ausgabe 45, Nummern 7-8 / Juli, 1927, Seiten 455-457.