Ortsoperator

Der Ortsoperator gehört in der Quantenmechanik zur Ortsmessung von Teilchen.

Der physikalische Zustand $\Psi \,$ eines Teilchens ist in der Quantenmechanik mathematisch durch einen zugehörigen Vektor eines Hilbertraumes H gegeben. Dieser Zustand wird folglich in der Bra-Ket-Notation durch den Vektor $|\Psi \rangle$ beschrieben. Die Observablen werden durch selbstadjungierte Operatoren auf H dargestellt. Speziell ist der Ortsoperator die Zusammenfassung der drei Observablen ${\hat {\mathbf {x} }}=({\hat {x}}_{1},{\hat {x}}_{2},{\hat {x}}_{3})$ , so dass

E({\hat {x}}_{j})=\langle \Psi |{\hat {x}}_{j}|\Psi \rangle \ ,\quad j=1,2,3

der Mittelwert (Erwartungswert) der Messergebnisse der j-ten Ortskoordinate des Teilchens im Zustand $\,\Psi$ ist.

Definition und Eigenschaften

Die drei Ortsoperatoren sind selbstadjungierte Operatoren ${\hat {x}}_{j}$ , die mit den ebenfalls selbstadjungierten Impulsoperatoren ${\hat {p}}_{k}$ die folgenden, kanonischen Vertauschungsrelationen erfüllen,

[{\hat {x}}_{j},{\hat {p}}_{k}]=\mathrm {i} \,\hbar \,\delta _{jk}\ ,\quad [{\hat {x}}_{j},{\hat {x}}_{k}]=0=[{\hat {p}}_{j},{\hat {p}}_{k}]\ ,\quad j,k\in \{1,2,3\}\,.

Daraus folgt, dass die drei Ortskoordinaten gemeinsam messbar sind und dass ihr Spektrum (Bereich der möglichen Messwerte) aus dem gesamten Raum $\mathbb {R} ^{3}$ besteht. Die möglichen Orte sind also nicht quantisiert, sondern kontinuierlich.
Die Ortsdarstellung ist durch die Spektraldarstellung des Ortsoperators definiert. Der Hilbertraum H ist der Raum der quadratintegrierbaren, komplexen Funktionen des Ortsraums $\mathbb {R} ^{3}$ , jeder Zustand $\Psi$ ist durch eine Ortswellenfunktion $\psi (\mathbf {x} )$ gegeben. Die Ortsoperatoren ${\hat {\mathbf {x} }}=({\hat {x}}_{1},{\hat {x}}_{2},{\hat {x}}_{3})$ sind die Multiplikationsoperatoren mit den Koordinatenfunktionen, das heißt, der Ortsoperator ${\hat {x}}_{j}$ wirkt auf Ortswellenfunktionen $\psi (x)$ durch die Multiplikation der Wellenfunktion mit der Koordinatenfunktion $x_{j}$

({\hat {x}}_{j}\,\psi )(\mathbf {x} )=x_{j}\,\psi (\mathbf {x} )\,.

Der Erwartungswert ist

E({\hat {x}}_{j})=\langle \Psi |{\hat {x}}_{j}|\Psi \rangle =\int {\overline {\psi (\mathbf {x} )}}\,x_{j}\,\psi (\mathbf {x} )\,\mathrm {d} ^{3}x\,.

Der Impulsoperator wirkt auf Ortswellenfunktionen (bei geeigneter Wahl der Phasen) als Differentialoperator

{\bigl (}{\hat {p}}_{k}\psi {\bigr )}(\mathbf {x} )=-\mathrm {i} \,\hbar \,{\bigl (}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\psi {\bigr )}(\mathbf {x} )\,.

In der Impulsdarstellung wirkt der Impulsoperator multiplikativ auf Impulswellenfunktionen ${\tilde {\psi }}(\mathbf {p} )$

({\hat {p}}_{k}\,{\tilde {\psi }})(\mathbf {p} )=p_{k}\,{\tilde {\psi }}(\mathbf {p} )

und der Ortsoperator wirkt als Differentialoperator

({\hat {x}}_{j}\,{\tilde {\psi }})(\mathbf {p} )=\mathrm {i} \,\hbar \,{\frac {\partial }{\partial p_{j}}}{\tilde {\psi }}(\mathbf {p} )\,.