Ortsoperator
Der Ortsoperator gehört in der Quantenmechanik zur Ortsmessung von Teilchen.
Der physikalische Zustand
der Mittelwert (Erwartungswert) der Messergebnisse der j-ten Ortskoordinate
des Teilchens im Zustand
Definition und Eigenschaften
- Die drei Ortsoperatoren sind selbstadjungierte Operatoren
, die mit den ebenfalls selbstadjungierten Impulsoperatoren die folgenden, kanonischen Vertauschungsrelationen erfüllen,
- Daraus folgt, dass die drei Ortskoordinaten gemeinsam messbar sind und dass ihr Spektrum (Bereich der möglichen Messwerte) aus dem gesamten Raum
besteht. Die möglichen Orte sind also nicht quantisiert, sondern kontinuierlich. - Die Ortsdarstellung ist durch die Spektraldarstellung des Ortsoperators definiert. Der Hilbertraum H ist der Raum der quadratintegrierbaren, komplexen Funktionen des Ortsraums
, jeder Zustand ist durch eine Ortswellenfunktion gegeben. Die Ortsoperatoren sind die Multiplikationsoperatoren mit den Koordinatenfunktionen, das heißt, der Ortsoperator wirkt auf Ortswellenfunktionen durch die Multiplikation der Wellenfunktion mit der Koordinatenfunktion
Der Erwartungswert ist
Der Impulsoperator wirkt auf Ortswellenfunktionen (bei geeigneter Wahl der Phasen) als Differentialoperator
- In der Impulsdarstellung wirkt der Impulsoperator multiplikativ auf Impulswellenfunktionen
und der Ortsoperator wirkt als Differentialoperator