Ortsoperator
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Der Ortsoperator gehört in der Quantenmechanik zur Ortsmessung von Teilchen.
Der physikalische Zustand $ \Psi \, $ eines Teilchens ist in der Quantenmechanik mathematisch durch einen zugehörigen Vektor eines Hilbertraumes H gegeben. Dieser Zustand wird folglich in der Bra-Ket-Notation durch den Vektor $ |\Psi \rangle $ beschrieben. Die Observablen werden durch selbstadjungierte Operatoren auf H dargestellt. Speziell ist der Ortsoperator die Zusammenfassung der drei Observablen $ {\hat {\mathbf {x} }}=({\hat {x}}_{1},{\hat {x}}_{2},{\hat {x}}_{3}) $, so dass
- $ E({\hat {x}}_{j})=\langle \Psi |{\hat {x}}_{j}|\Psi \rangle \ ,\quad j=1,2,3 $
der Mittelwert (Erwartungswert) der Messergebnisse der j-ten Ortskoordinate des Teilchens im Zustand $ \,\Psi $ ist.
Definition und Eigenschaften
- Die drei Ortsoperatoren sind selbstadjungierte Operatoren $ {\hat {x}}_{j} $, die mit den ebenfalls selbstadjungierten Impulsoperatoren $ {\hat {p}}_{k} $ die folgenden, kanonischen Vertauschungsrelationen erfüllen,
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): [\hat{x}_j,\hat{p}_k]=\mathrm i\,\hbar\,\delta_{jk}\ ,\quad [\hat{x}_j,\hat{x}_k]= 0 = [\hat{p}_j,\hat{p}_k]\ ,\quad j,k\in \{1,2,3\}\,.
- Daraus folgt, dass die drei Ortskoordinaten gemeinsam messbar sind und dass ihr Spektrum (Bereich der möglichen Messwerte) aus dem gesamten Raum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbb{R}^3 besteht. Die möglichen Orte sind also nicht quantisiert, sondern kontinuierlich.
- Die Ortsdarstellung ist durch die Spektraldarstellung des Ortsoperators definiert. Der Hilbertraum H ist der Raum der quadratintegrierbaren, komplexen Funktionen des Ortsraums Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbb{R}^3 , jeder Zustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Psi ist durch eine Ortswellenfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi(\mathbf{x}) gegeben. Die Ortsoperatoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{\mathbf{x}}=(\hat{x}_1,\hat{x}_2,\hat{x}_3) sind die Multiplikationsoperatoren mit den Koordinatenfunktionen, das heißt, der Ortsoperator $ {\hat {x}}_{j} $ wirkt auf Ortswellenfunktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \psi(x) durch die Multiplikation der Wellenfunktion mit der Koordinatenfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x_j
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\hat{x}_j\, \psi)(\mathbf{x})= x_j\, \psi(\mathbf{x})\,.
Der Erwartungswert ist
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E(\hat{x}_j)=\langle \Psi|\hat{x}_j|\Psi\rangle= \int \overline{\psi(\mathbf{x})}\,x_j\, \psi(\mathbf{x})\, \mathrm d^3 x\,.
Der Impulsoperator wirkt auf Ortswellenfunktionen (bei geeigneter Wahl der Phasen) als Differentialoperator
- $ {\bigl (}{\hat {p}}_{k}\psi {\bigr )}(\mathbf {x} )=-\mathrm {i} \,\hbar \,{\bigl (}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}\psi {\bigr )}(\mathbf {x} )\,. $
- In der Impulsdarstellung wirkt der Impulsoperator multiplikativ auf Impulswellenfunktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tilde{\psi}(\mathbf{p})
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\hat{p}_k\,\tilde{\psi})(\mathbf{p})=p_k\,\tilde{\psi}(\mathbf{p})
und der Ortsoperator wirkt als Differentialoperator
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (\hat{x}_j\,\tilde{\psi})(\mathbf{p})=\mathrm i\, \hbar\,\frac{\partial} {\partial p_j}\tilde{\psi}(\mathbf{p})\,.