Ortsoperator

Der Ortsoperator gehört in der Quantenmechanik zur Ortsmessung von Teilchen.

Der physikalische Zustand $\mathrm{\Psi }$ eines Teilchens ist in der Quantenmechanik mathematisch durch einen zugehörigen Vektor eines Hilbertraumes H gegeben. Dieser Zustand wird folglich in der Bra-Ket-Notation durch den Vektor $|\mathrm{\Psi }⟩$ beschrieben. Die Observablen werden durch selbstadjungierte Operatoren auf H dargestellt. Speziell ist der Ortsoperator die Zusammenfassung der drei Observablen $\widehat{\mathbf{𝐱}}=({\hat{x}}_1,{\hat{x}}_2,{\hat{x}}_3)$, so dass

$E({\hat{x}}_j)=⟨\mathrm{\Psi }|{\hat{x}}_j|\mathrm{\Psi }⟩,j=1,2,3$

der Mittelwert (Erwartungswert) der Messergebnisse der j-ten Ortskoordinate des Teilchens im Zustand $\mathrm{\Psi }$ ist.

Definition und Eigenschaften

• Die drei Ortsoperatoren sind selbstadjungierte Operatoren ${\hat{x}}_j$, die mit den ebenfalls selbstadjungierten Impulsoperatoren ${\hat{p}}_k$ die folgenden, kanonischen Vertauschungsrelationen erfüllen,

$[{\hat{x}}_j,{\hat{p}}_k]=\mathrm{i}\hslash {\delta }_{jk},[{\hat{x}}_j,{\hat{x}}_k]=0=[{\hat{p}}_j,{\hat{p}}_k],j,k\in \{1,2,3\}.$

• Daraus folgt, dass die drei Ortskoordinaten gemeinsam messbar sind und dass ihr Spektrum (Bereich der möglichen Messwerte) aus dem gesamten Raum ${\mathbb{ℝ}}^3$ besteht. Die möglichen Orte sind also nicht quantisiert, sondern kontinuierlich.
• Die Ortsdarstellung ist durch die Spektraldarstellung des Ortsoperators definiert. Der Hilbertraum H ist der Raum der quadratintegrierbaren, komplexen Funktionen des Ortsraums ${\mathbb{ℝ}}^3$, jeder Zustand $\mathrm{\Psi }$ ist durch eine Ortswellenfunktion $\psi (\mathbf{𝐱})$ gegeben. Die Ortsoperatoren $\widehat{\mathbf{𝐱}}=({\hat{x}}_1,{\hat{x}}_2,{\hat{x}}_3)$ sind die Multiplikationsoperatoren mit den Koordinatenfunktionen, das heißt, der Ortsoperator ${\hat{x}}_j$ wirkt auf Ortswellenfunktionen $\psi (x)$ durch die Multiplikation der Wellenfunktion mit der Koordinatenfunktion $x_j$

$({\hat{x}}_j\psi )(\mathbf{𝐱})=x_j\psi (\mathbf{𝐱}).$

Der Erwartungswert ist

$E({\hat{x}}_j)=⟨\mathrm{\Psi }|{\hat{x}}_j|\mathrm{\Psi }⟩=\int \overline{\psi (\mathbf{𝐱})}{x}_j\psi (\mathbf{𝐱}){\mathrm{d}}^{3}x.$

Der Impulsoperator wirkt auf Ortswellenfunktionen (bei geeigneter Wahl der Phasen) als Differentialoperator

$\left({\hat{p}}_k\psi \right)(\mathbf{𝐱})=-\mathrm{i}\hslash \left(\frac{\partial }{\partial x_k}\psi \right)(\mathbf{𝐱}).$

• In der Impulsdarstellung wirkt der Impulsoperator multiplikativ auf Impulswellenfunktionen $\tilde{\psi }(\mathbf{𝐩})$

$({\hat{p}}_k\tilde{\psi })(\mathbf{𝐩})=p_k\tilde{\psi }(\mathbf{𝐩})$

und der Ortsoperator wirkt als Differentialoperator

$({\hat{x}}_j\tilde{\psi })(\mathbf{𝐩})=\mathrm{i}\hslash \frac{\partial }{\partial p_j}\tilde{\psi }(\mathbf{𝐩}).$