Ortsoperator

Ortsoperator

Der Ortsoperator gehört in der Quantenmechanik zur Ortsmessung von Teilchen.

Der physikalische Zustand Ψ eines Teilchens ist in der Quantenmechanik mathematisch durch einen zugehörigen Vektor eines Hilbertraumes H gegeben. Dieser Zustand wird folglich in der Bra-Ket-Notation durch den Vektor |Ψ beschrieben. Die Observablen werden durch selbstadjungierte Operatoren auf H dargestellt. Speziell ist der Ortsoperator die Zusammenfassung der drei Observablen x^=(x^1,x^2,x^3), so dass

E(x^j)=Ψ|x^j|Ψ ,j=1,2,3

der Mittelwert (Erwartungswert) der Messergebnisse der j-ten Ortskoordinate des Teilchens im Zustand Ψ ist.

Definition und Eigenschaften

  • Die drei Ortsoperatoren sind selbstadjungierte Operatoren x^j, die mit den ebenfalls selbstadjungierten Impulsoperatoren p^k die folgenden, kanonischen Vertauschungsrelationen erfüllen,
[x^j,p^k]=iδjk ,[x^j,x^k]=0=[p^j,p^k] ,j,k{1,2,3}.
  • Daraus folgt, dass die drei Ortskoordinaten gemeinsam messbar sind und dass ihr Spektrum (Bereich der möglichen Messwerte) aus dem gesamten Raum R3 besteht. Die möglichen Orte sind also nicht quantisiert, sondern kontinuierlich.
  • Die Ortsdarstellung ist durch die Spektraldarstellung des Ortsoperators definiert. Der Hilbertraum H ist der Raum der quadratintegrierbaren, komplexen Funktionen des Ortsraums R3, jeder Zustand Ψ ist durch eine Ortswellenfunktion ψ(x) gegeben. Die Ortsoperatoren x^=(x^1,x^2,x^3) sind die Multiplikationsoperatoren mit den Koordinatenfunktionen, das heißt, der Ortsoperator x^j wirkt auf Ortswellenfunktionen ψ(x) durch die Multiplikation der Wellenfunktion mit der Koordinatenfunktion xj
(x^jψ)(x)=xjψ(x).

Der Erwartungswert ist

E(x^j)=Ψ|x^j|Ψ=ψ(x)xjψ(x)d3x.

Der Impulsoperator wirkt auf Ortswellenfunktionen (bei geeigneter Wahl der Phasen) als Differentialoperator

(p^kψ)(x)=i(xkψ)(x).
  • In der Impulsdarstellung wirkt der Impulsoperator multiplikativ auf Impulswellenfunktionen ψ~(p)
(p^kψ~)(p)=pkψ~(p)

und der Ortsoperator wirkt als Differentialoperator

(x^jψ~)(p)=ipjψ~(p).