Orthotropie


Orthotropie

Ein Material (hier 2D) ist aufgrund seiner inneren Struktur rotationssymmetrisch bezüglich einer Drehung um 180 Grad um eine Achse senkrecht zur Blattebene. In 3D könnte es zusätzlich symmetrisch sein ggü. Drehungen um 180 Grad um die rote und grüne Achse.

Wenn ein Material unabhängig von der Belastungsrichtung jeweils dasselbe Kraft-Verformungs-Verhalten zeigt, spricht man von Isotropie. Den allgemeinen Fall, dass das Kraft-Verformungs-Verhalten von der Belastungsrichtung abhängt, bezeichnet man als Anisotropie. Die Orthotropie (von griechisch ορθός orthos „richtig, korrekt, recht“ und τρόπος tropos „Weg, Richtung, Art und Weise“) ist ein Spezialfall der Anisotropie. Hierbei zeigt das Material in bestimmten Richtungen dasselbe Kraft-Verformungs-Verhalten. Vom Allgemeinen zum Speziellen gelangt man also über Anisotropie-Orthotropie-Isotropie. Jedes isotrope Material ist also auch orthotrop, aber nicht jedes orthotrope ist isotrop.

In diesem Artikel wird ausschließlich die Orthotropie in der Elastizitätstheorie besprochen.

Holz kann näherungsweise als orthotrop angesehen werden. Aufgrund der Richtungsunabhängigkeit des Materialverhaltens gegenüber jeglicher Drehung mit Drehachse in Stamm-Längsrichtung ist das Materialverhalten sogar transversalisotrop.

Das Elastizitätsgesetz eines orthotropen Materials lautet in Bezug auf eine Orthonormalbasis entlang der Orthotropieachsen in 3D in Voigtscher Notation:

$ \begin{bmatrix} \varepsilon_{11}\\ \varepsilon_{22}\\ \varepsilon_{33}\\ 2\varepsilon_{23}\\ 2\varepsilon_{13}\\ 2\varepsilon_{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{E_1} & -\frac{\nu_{12}}{E_1} & -\frac{\nu_{13}}{E_1} & 0 & 0 & 0 \\ & \frac{1}{E_2} & -\frac{\nu_{23}}{E_2} & 0 & 0 & 0 \\ & & \frac{1}{E_3} & 0 & 0 & 0 \\ & & & \frac{1}{G_{23}} & 0 & 0 \\ &\text{sym} & & & \frac{1}{G_{13}} & 0\\ & & & & & \frac{1}{G_{12}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma_{11}\\ \sigma_{22}\\ \sigma_{33}\\ \sigma_{23}\\ \sigma_{13}\\ \sigma_{12} \end{bmatrix} $

Und in 2D:

$ \begin{bmatrix} \varepsilon_{11}\\ \varepsilon_{22}\\ 2\varepsilon_{12} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{E_1} & -\frac{\nu_{12}}{E_1} & 0 \\ & \frac{1}{E_2} & 0 \\ \text{sym} & & \frac{1}{G_{12}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma_{11}\\ \sigma_{22}\\ \sigma_{12}\\ \end{bmatrix} $


Lineare Elastizitätstheorie und Voigtsche Notation

Der Zusammenhang zwischen Spannungen $ \sigma $ und Verzerrungen $ \varepsilon $ sei linear gemäß:

$ f_C: \varepsilon_{kl}\rightarrow \sigma_{ij}=C_{ijkl}\varepsilon_{kl} $

Dies gilt unabhängig davon, ob das Material orthotrop ist oder nicht. Es ist der allgemeinste lineare Zusammenhang, den es zwischen 2 Tensoren zweiter Stufe gibt. C bildet 3x3 Komponenten auf 3x3 Komponenten ab. Und hat damit selbst 81 = 3x3 x 3x3 Komponenten. In der linearen Elastizitätstheorie (symm. Spannungstensor, symm. Verzerrungstensor, Potential, siehe Voigtsche Notation) kann man für den Zusammenhang zwischen Spannungen und Verzerrungen auch eine 6x6-Matrix $ C^{\text{v}} $ definieren, so dass

$ \begin{align} \sigma^\text{v}_{i}&=C^\text{v}_{ij}\varepsilon^\text{v}_{j} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{13} \\ \sigma_{12} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C_{1111} & C_{1122} & C_{1133} & C_{1123} & C_{1113} & C_{1112} & \\ & C_{2222} & C_{2233} & C_{2223} & C_{2213} & C_{2212} & \\ & & C_{3333} & C_{3323} & C_{3313} & C_{3312} & \\ & & & C_{2323} & C_{2313} & C_{2312} & \\ &\text{sym}& & & C_{1313} & C_{1312} & \\ & & & & & C_{1212} & \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2\varepsilon_{23} \\ 2\varepsilon_{13} \\ 2\varepsilon_{12} \\ \end{bmatrix} \end{align} $

Im allgemeinen Fall verbleiben also im Materialgesetz 21 unabhängige Materialparameter.

Steifigkeitsmatrix bei Orthotropie

Ein Material heißt orthotrop, wenn eine Orthonormalbasis existiert, so dass das Elastizitätsgesetz dargestellt in Bezug auf diese Basis folgende Form (mit nur 9 Materialparametern) annimmt:

$ \begin{align} \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{13} \\ \sigma_{12} \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} C_{1111} & C_{1122} & C_{1133} & & & & \\ & C_{2222} & C_{2233} & & & & \\ & & C_{3333} & & & & \\ & & & C_{2323} & & & \\ &\text{sym}& & & C_{1313} & & \\ & & & & & C_{1212} & \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2\varepsilon_{23} \\ 2\varepsilon_{13} \\ 2\varepsilon_{12} \end{bmatrix} \end{align} $

Die Inverse der Steifigkeitsmatrix (die Nachgiebigkeitsmatrix) ist ebenfalls symmetrisch und auch nur an denselben Stellen mit von Null verschiedenen Werten besetzt wie die Steifigkeitsmatrix. Für die Darstellung des Materialgesetzes mit der Nachgiebigkeitsmatrix ist die ganz oben verwendete Darstellung üblich, in der $ E_1, E_2, E_3, \nu_{12}, \nu_{13}, \nu_{23}, G_{12}, G_{13},G_{23} $ als die 9 Materialparameter verwendet werden.

Gründe für die Besetztheit der Steifigkeitsmatrix

In diesem Abschnitt wird die Frage geklärt, warum die Steifigkeitsmatrix nur an den entsprechenden Stellen besetzt ist. Im Allgemeinen tauchen in einem linearen Materialgesetz 21 unabhängige Materialkonstanten auf (siehe Voigtsche Notation). Im Fall der Orthotropie reduziert sich aber die Zahl der Konstanten auf 9. Warum das so ist, ist nachfolgend dargestellt.

Drehmatrizen bei 180-Grad-Drehungen

Die (linearen) Abbildungen, die 180-Grad-Drehungen um die Orthotropieachsen beschreiben, lassen sich mit Matrizen beschreiben. Wählt man als Bezug eine Basis, deren Basisvektoren sich mit den senkrecht auf einander stehenden Drehachsen decken, dann haben diese orthogonalen Matrizen folgende Gestalt

$ \begin{align} A_x &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}, A_y = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}, A_z = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{align} $

Diese 3 Matrizen (und zusätzlich die Einheitsmatrix) bilden eine Untergruppe von der Drehgruppe SO(3).

Symmetriebedingung in Indexschreibweise und Voigtscher Notation

Gedanken-Experiment: Ein Teilchen und dessen Umgebung wird einer bestimmten Deformation unterzogen und damit einem bestimmten Verzerrungstensor $ \varepsilon $. Im einfachsten Fall (der allerdings zur Definition der Orthotropie nicht ausreichend allgemein ist) könnte das Teilchen nur in einer bestimmten Richtung gestreckt werden. Nun ändert man die Streckungsrichtung aktiv. D.h. man lässt den materiellen Punkt wie er ist (dreht also das Material nicht) und unterzieht den Punkt aber (derselben) Streckung in anderer Richtung. Man gelangt damit zu einem anderen Verzerrungstensor $ \varepsilon' $.

Die Änderung der Verzerrungsrichtung kann mit einer Drehmatrix A beschrieben werden. Es gilt

$ \varepsilon' = A \, \varepsilon \, A^{-1} $

Mithilfe eines linearen Materialgesetzes $ f_C $ lässt sich für gegebenen Verzerrungstensor der zugehörige Spannungstensor ermitteln. Es sei

$ \begin{align} \sigma &:= f_C(\varepsilon)\\ \sigma' &:= f_C(\varepsilon') \end{align} $

Im allgemeinen Fall der Anisotropie gilt zwar nicht

$ \sigma' = A \, \sigma \, A^{-1} $

Aber genau dies fordert man für eine für die oben beschriebene Teilmenge von SO(3) im Fall der Orthotropie: Ein Material heißt orthotrop, wenn für die Funktion $ f_C $ folgende Symmetrie-Transformation für jede der oben genannten (orthogonalen) Dreh-Matrizen und für beliebige Verzerrungen gilt

$ \begin{align} A f_C(\varepsilon) A^{-1} &= f_C(A \varepsilon A^{-1})\Leftrightarrow A f_C(\varepsilon) A^T = f_C(A \varepsilon A^T) \end{align} $

In Indexschreibweise

$ \begin{align} \sigma_{mn}'=A_{mo}C_{opjk}\varepsilon_{jk}A_{np} &= C_{mnil}\varepsilon'_{il}=C_{mnil}A_{ij}\varepsilon_{jk}A_{lk} \end{align} $

Nun dieselbe Bedingung in Voigtscher Notation: Mit der Definition

$ \begin{align} A^{\text{v}}_\sigma:= \begin{bmatrix} A_{11}A_{11} & A_{12}A_{12} & A_{13}A_{13} & A_{12}A_{13}+A_{13}A_{12} & A_{11}A_{13}+A_{13}A_{11} & A_{11}A_{12}+A_{12}A_{11} \\ A_{21}A_{21} & A_{22}A_{22} & A_{23}A_{23} & A_{22}A_{23}+A_{23}A_{22} & A_{21}A_{23}+A_{23}A_{21} & A_{21}A_{22}+A_{22}A_{21} \\ A_{31}A_{31} & A_{32}A_{32} & A_{33}A_{33} & A_{32}A_{33}+A_{33}A_{32} & A_{31}A_{33}+A_{33}A_{31} & A_{31}A_{32}+A_{32}A_{31} \\ A_{21}A_{31} & A_{22}A_{32} & A_{23}A_{33} & A_{22}A_{33}+A_{23}A_{32} & A_{21}A_{33}+A_{23}A_{31} & A_{21}A_{32}+A_{22}A_{31} \\ A_{11}A_{31} & A_{12}A_{32} & A_{13}A_{33} & A_{12}A_{33}+A_{13}A_{32} & A_{11}A_{33}+A_{13}A_{31} & A_{11}A_{32}+A_{12}A_{31} \\ A_{11}A_{21} & A_{12}A_{22} & A_{13}A_{23} & A_{12}A_{23}+A_{13}A_{22} & A_{11}A_{23}+A_{13}A_{21} & A_{11}A_{22}+A_{12}A_{21} \\ \end{bmatrix} \end{align} $

gilt

$ \begin{align} \begin{bmatrix} \sigma'_{11} \\ \sigma'_{22} \\ \sigma'_{33} \\ \sigma'_{23} \\ \sigma'_{13} \\ \sigma'_{12} \end{bmatrix} = A^{\text{v}}_\sigma \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{13} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}\Leftrightarrow {\sigma'}^{\text{v}}=A^{\text{v}}_\sigma {\sigma}^{\text{v}}, \qquad\qquad \begin{bmatrix} \varepsilon'_{11} \\ \varepsilon'_{22} \\ \varepsilon'_{33} \\ \varepsilon'_{23} \\ \varepsilon'_{13} \\ \varepsilon'_{12} \end{bmatrix} = A^{\text{v}}_\sigma \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ \varepsilon_{23} \\ \varepsilon_{13} \\ \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \end{align} $

Mit der neuen Definition

$ \begin{align} A^{\text{v}}_\varepsilon:= \begin{bmatrix} A_{11}A_{11} & A_{12}A_{12} & A_{13}A_{13} & A_{12}A_{13}+A_{13}A_{12} & A_{11}A_{13}+A_{13}A_{11} & A_{11}A_{12}+A_{12}A_{11} \\ A_{21}A_{21} & A_{22}A_{22} & A_{23}A_{23} & A_{22}A_{23}+A_{23}A_{22} & A_{21}A_{23}+A_{23}A_{21} & A_{21}A_{22}+A_{22}A_{21} \\ A_{31}A_{31} & A_{32}A_{32} & A_{33}A_{33} & A_{32}A_{33}+A_{33}A_{32} & A_{31}A_{33}+A_{33}A_{31} & A_{31}A_{32}+A_{32}A_{31} \\ 2 A_{21}A_{31} & 2 A_{22}A_{32} & 2 A_{23}A_{33} & A_{22}A_{33}+A_{23}A_{32} & A_{21}A_{33}+A_{23}A_{31} & A_{21}A_{32}+A_{22}A_{31} \\ 2 A_{11}A_{31} & 2 A_{12}A_{32} & 2 A_{13}A_{33} & A_{12}A_{33}+A_{13}A_{32} & A_{11}A_{33}+A_{13}A_{31} & A_{11}A_{32}+A_{12}A_{31} \\ 2 A_{11}A_{21} & 2 A_{12}A_{22} & 2 A_{13}A_{23} & A_{12}A_{23}+A_{13}A_{22} & A_{11}A_{23}+A_{13}A_{21} & A_{11}A_{22}+A_{12}A_{21} \\ \end{bmatrix} \end{align} $

ergibt sich

$ \begin{align} \begin{bmatrix} \varepsilon'_{11} \\ \varepsilon'_{22} \\ \varepsilon'_{33} \\ 2\varepsilon'_{23} \\ 2\varepsilon'_{13} \\ 2\varepsilon'_{12} \end{bmatrix} = A^{\text{v}}_\varepsilon \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2\varepsilon_{23} \\ 2\varepsilon_{13} \\ 2\varepsilon_{12} \end{bmatrix}\Leftrightarrow {\varepsilon'}^{\text{v}}=A^{\text{v}}_\varepsilon {\varepsilon}^{\text{v}} \end{align} $

In Voigtscher Notation erhält man also als Symmetriebedingung

$ \begin{align} {\sigma'}^{\text{v}}=A^{\text{v}}_\sigma {\sigma}^{\text{v}}&=A^{\text{v}}_\sigma C^{\text{v}}{\varepsilon}^{\text{v}}=C^{\text{v}}{\varepsilon'}^{\text{v}}=C^{\text{v}} A^{\text{v}}_\varepsilon {\varepsilon}^{\text{v}} \end{align} $

Und da dies für beliebige Dehnungen gelten muss, ist die Symmetriebedingung

$ \begin{align} A^{\text{v}}_\sigma C^{\text{v}}=C^{\text{v}} A^{\text{v}}_\varepsilon \end{align} $

Spezialfall 180-Grad-Drehungen

Da im Spezialfall der Orthotropie die 3x3-Matrizen Matrizen A nur auf der Hauptdiagonalen besetzt sind, vereinfachen sich die Definitionen von oben zu

$ \begin{align} A^{\text{v}}_\sigma= A^{\text{v}}_\varepsilon &= \begin{bmatrix} A_{11}A_{11} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & A_{22}A_{22} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & A_{33}A_{33} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & A_{22}A_{33} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & A_{11}A_{33} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & A_{11}A_{22} \\ \end{bmatrix} \\ \end{align} $

Die drei 3x3-Matrizen entsprechen also den drei 6x6-Matrizen

$ \begin{align} A^{\text{v}}_x &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix},\qquad A^{\text{v}}_y &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{bmatrix},\qquad A^{\text{v}}_z &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \end{align} $

Auswertung der Symmetriebedingungen für den Spezialfall

Die Symmetriebedingung ausgewertet für diese Matrizen ergibt

$ \begin{align} \text{wegen } A^{\text{v}}_x C^{\text{v}} = C^{\text{v}} A^{\text{v}}_x:\qquad \begin{bmatrix} C^{\text{v}}_{11} & C^{\text{v}}_{12} & C^{\text{v}}_{13} & C^{\text{v}}_{14} & C^{\text{v}}_{15} & C^{\text{v}}_{16}\\ C^{\text{v}}_{21} & C^{\text{v}}_{22} & C^{\text{v}}_{23} & C^{\text{v}}_{24} & C^{\text{v}}_{25} & C^{\text{v}}_{26}\\ C^{\text{v}}_{31} & C^{\text{v}}_{32} & C^{\text{v}}_{33} & C^{\text{v}}_{34} & C^{\text{v}}_{35} & C^{\text{v}}_{36}\\ -C^{\text{v}}_{41} & -C^{\text{v}}_{42} & -C^{\text{v}}_{43} & -C^{\text{v}}_{44} & -C^{\text{v}}_{45} & -C^{\text{v}}_{46}\\ -C^{\text{v}}_{51} & -C^{\text{v}}_{52} & -C^{\text{v}}_{53} & -C^{\text{v}}_{54} & -C^{\text{v}}_{55} & -C^{\text{v}}_{56}\\ C^{\text{v}}_{61} & C^{\text{v}}_{62} & C^{\text{v}}_{63} & C^{\text{v}}_{64} & C^{\text{v}}_{65} & C^{\text{v}}_{66} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} C^{\text{v}}_{11} & C^{\text{v}}_{12} & C^{\text{v}}_{13} & -C^{\text{v}}_{14} & -C^{\text{v}}_{15} & C^{\text{v}}_{16}\\ C^{\text{v}}_{21} & C^{\text{v}}_{22} & C^{\text{v}}_{23} & -C^{\text{v}}_{24} & -C^{\text{v}}_{25} & C^{\text{v}}_{26}\\ C^{\text{v}}_{31} & C^{\text{v}}_{32} & C^{\text{v}}_{33} & -C^{\text{v}}_{34} & -C^{\text{v}}_{35} & C^{\text{v}}_{36}\\ C^{\text{v}}_{41} & C^{\text{v}}_{42} & C^{\text{v}}_{43} & -C^{\text{v}}_{44} & -C^{\text{v}}_{45} & C^{\text{v}}_{46}\\ C^{\text{v}}_{51} & C^{\text{v}}_{52} & C^{\text{v}}_{53} & -C^{\text{v}}_{54} & -C^{\text{v}}_{55} & C^{\text{v}}_{56}\\ C^{\text{v}}_{61} & C^{\text{v}}_{62} & C^{\text{v}}_{63} & -C^{\text{v}}_{64} & -C^{\text{v}}_{65} & C^{\text{v}}_{66} \end{bmatrix} \\ \text{wegen } A^{\text{v}}_y C^{\text{v}} = C^{\text{v}} A^{\text{v}}_y:\qquad \begin{bmatrix} C^{\text{v}}_{11} & C^{\text{v}}_{12} & C^{\text{v}}_{13} & C^{\text{v}}_{14} & C^{\text{v}}_{15} & C^{\text{v}}_{16}\\ C^{\text{v}}_{21} & C^{\text{v}}_{22} & C^{\text{v}}_{23} & C^{\text{v}}_{24} & C^{\text{v}}_{25} & C^{\text{v}}_{26}\\ C^{\text{v}}_{31} & C^{\text{v}}_{32} & C^{\text{v}}_{33} & C^{\text{v}}_{34} & C^{\text{v}}_{35} & C^{\text{v}}_{36}\\ -C^{\text{v}}_{41} & -C^{\text{v}}_{42} & -C^{\text{v}}_{43} & -C^{\text{v}}_{44} & -C^{\text{v}}_{45} & -C^{\text{v}}_{46}\\ C^{\text{v}}_{51} & C^{\text{v}}_{52} & C^{\text{v}}_{53} & C^{\text{v}}_{54} & C^{\text{v}}_{55} & C^{\text{v}}_{56}\\ -C^{\text{v}}_{61} & -C^{\text{v}}_{62} & -C^{\text{v}}_{63} & -C^{\text{v}}_{64} & -C^{\text{v}}_{65} & -C^{\text{v}}_{66} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} C^{\text{v}}_{11} & C^{\text{v}}_{12} & C^{\text{v}}_{13} & -C^{\text{v}}_{14} & C^{\text{v}}_{15} & -C^{\text{v}}_{16}\\ C^{\text{v}}_{21} & C^{\text{v}}_{22} & C^{\text{v}}_{23} & -C^{\text{v}}_{24} & C^{\text{v}}_{25} & -C^{\text{v}}_{26}\\ C^{\text{v}}_{31} & C^{\text{v}}_{32} & C^{\text{v}}_{33} & -C^{\text{v}}_{34} & C^{\text{v}}_{35} & -C^{\text{v}}_{36}\\ C^{\text{v}}_{41} & C^{\text{v}}_{42} & C^{\text{v}}_{43} & -C^{\text{v}}_{44} & C^{\text{v}}_{45} & -C^{\text{v}}_{46}\\ C^{\text{v}}_{51} & C^{\text{v}}_{52} & C^{\text{v}}_{53} & -C^{\text{v}}_{54} & C^{\text{v}}_{55} & -C^{\text{v}}_{56}\\ C^{\text{v}}_{61} & C^{\text{v}}_{62} & C^{\text{v}}_{63} & -C^{\text{v}}_{64} & C^{\text{v}}_{65} & -C^{\text{v}}_{66} \end{bmatrix} \\ \text{wegen } A^{\text{v}}_z C^{\text{v}} = C^{\text{v}} A^{\text{v}}_z:\qquad \begin{bmatrix} C^{\text{v}}_{11} & C^{\text{v}}_{12} & C^{\text{v}}_{13} & C^{\text{v}}_{14} & C^{\text{v}}_{15} & C^{\text{v}}_{16}\\ C^{\text{v}}_{21} & C^{\text{v}}_{22} & C^{\text{v}}_{23} & C^{\text{v}}_{24} & C^{\text{v}}_{25} & C^{\text{v}}_{26}\\ C^{\text{v}}_{31} & C^{\text{v}}_{32} & C^{\text{v}}_{33} & C^{\text{v}}_{34} & C^{\text{v}}_{35} & C^{\text{v}}_{36}\\ C^{\text{v}}_{41} & C^{\text{v}}_{42} & C^{\text{v}}_{43} & C^{\text{v}}_{44} & C^{\text{v}}_{45} & C^{\text{v}}_{46}\\ -C^{\text{v}}_{51} & -C^{\text{v}}_{52} & -C^{\text{v}}_{53} & -C^{\text{v}}_{54} & -C^{\text{v}}_{55} & -C^{\text{v}}_{56}\\ -C^{\text{v}}_{61} & -C^{\text{v}}_{62} & -C^{\text{v}}_{63} & -C^{\text{v}}_{64} & -C^{\text{v}}_{65} & -C^{\text{v}}_{66} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} C^{\text{v}}_{11} & C^{\text{v}}_{12} & C^{\text{v}}_{13} & C^{\text{v}}_{14} & -C^{\text{v}}_{15} & -C^{\text{v}}_{16}\\ C^{\text{v}}_{21} & C^{\text{v}}_{22} & C^{\text{v}}_{23} & C^{\text{v}}_{24} & -C^{\text{v}}_{25} & -C^{\text{v}}_{26}\\ C^{\text{v}}_{31} & C^{\text{v}}_{32} & C^{\text{v}}_{33} & C^{\text{v}}_{34} & -C^{\text{v}}_{35} & -C^{\text{v}}_{36}\\ C^{\text{v}}_{41} & C^{\text{v}}_{42} & C^{\text{v}}_{43} & C^{\text{v}}_{44} & -C^{\text{v}}_{45} & -C^{\text{v}}_{46}\\ C^{\text{v}}_{51} & C^{\text{v}}_{52} & C^{\text{v}}_{53} & C^{\text{v}}_{54} & -C^{\text{v}}_{55} & -C^{\text{v}}_{56}\\ C^{\text{v}}_{61} & C^{\text{v}}_{62} & C^{\text{v}}_{63} & C^{\text{v}}_{64} & -C^{\text{v}}_{65} & -C^{\text{v}}_{66} \end{bmatrix} \end{align} $

An den letzten 3 Gleichungen erkennt man, dass C nur folgende Gestalt haben kann

$ \begin{align} C^{\text{v}}&= \begin{bmatrix} C^{\text{v}}_{11} & C^{\text{v}}_{12} & C^{\text{v}}_{13} & 0 & 0 & 0\\ C^{\text{v}}_{21} & C^{\text{v}}_{22} & C^{\text{v}}_{23} & 0 & 0 & 0\\ C^{\text{v}}_{31} & C^{\text{v}}_{32} & C^{\text{v}}_{33} & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & C^{\text{v}}_{44} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & C^{\text{v}}_{55} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & C^{\text{v}}_{66} \end{bmatrix} \end{align} $

Da diese Voigtsche Steifigkeitsmatrix außerdem symmetrisch ist (siehe Voigtsche Notation), bleibt

$ \begin{align} C^{\text{v}}&= \begin{bmatrix} C^{\text{v}}_{11} & C^{\text{v}}_{12} & C^{\text{v}}_{13} & 0 & 0 & 0\\ & C^{\text{v}}_{22} & C^{\text{v}}_{23} & 0 & 0 & 0\\ & & C^{\text{v}}_{33} & 0 & 0 & 0\\ & & & C^{\text{v}}_{44} & 0 & 0 \\ & \text{sym} & & & C^{\text{v}}_{55} & 0 \\ & & & & & C^{\text{v}}_{66} \end{bmatrix} \end{align} $

Zusammenfassung

  • Die Orthotropie in der linearen Elastizitätstheorie lässt sich definieren als ein Spezialfall der Anisotropie, bei dem die Steifigkeits- oder Nachgiebigkeitsmatrix eine besonders einfache Form annimmt (9 Konstanten anstelle von 21 Konstanten im allgemeinen Fall).
  • Neben der Orthotropie gibt es noch andere Spezialfälle der Anisotropie, z.B. Transversalisotropie, Isotropie etc. . Hierbei werden dieselben Symmetriebedingungen angegeben. Nur werden dann andere Untergruppen der Drehgruppe (also andere Matrizen A) betrachtet.
  • An der Form des elastischen Gesetzes erkennt man, dass die Kopplung zwischen Zug und Schub für Belastung entlang der Orthotropierichtungen entfällt.

Literatur

  • J.F. Nye: Physical Properties of Crystals: Their Representation by Tensors and Matrices. Oxford University Press. 1985. ISBN 978-0-19-851165-6.
  • H. Altenbach, J. Altenbach, R. Rikards: Einführung in die Mechanik der Laminat- und Sandwichtragwerke. Stuttgart: Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie, 1996. ISBN 3-342-00681-1