Orthotropie

Ein Material (hier 2D) ist aufgrund seiner inneren Struktur rotationssymmetrisch bezüglich einer Drehung um 180 Grad um eine Achse senkrecht zur Blattebene. In 3D könnte es zusätzlich symmetrisch sein ggü. Drehungen um 180 Grad um die rote und grüne Achse.

Wenn ein Material unabhängig von der Belastungsrichtung jeweils dasselbe Kraft-Verformungs-Verhalten zeigt, spricht man von Isotropie. Den allgemeinen Fall, dass das Kraft-Verformungs-Verhalten von der Belastungsrichtung abhängt, bezeichnet man als Anisotropie. Die Orthotropie (von griechisch ορθός orthos „richtig, korrekt, recht“ und τρόπος tropos „Weg, Richtung, Art und Weise“) ist ein Spezialfall der Anisotropie. Hierbei zeigt das Material in bestimmten Richtungen dasselbe Kraft-Verformungs-Verhalten. Vom Allgemeinen zum Speziellen gelangt man also über Anisotropie-Orthotropie-Isotropie. Jedes isotrope Material ist also auch orthotrop, aber nicht jedes orthotrope ist isotrop.

In diesem Artikel wird ausschließlich die Orthotropie in der Elastizitätstheorie besprochen.

Holz kann näherungsweise als orthotrop angesehen werden. Aufgrund der Richtungsunabhängigkeit des Materialverhaltens gegenüber jeglicher Drehung mit Drehachse in Stamm-Längsrichtung ist das Materialverhalten sogar transversalisotrop.

Das Elastizitätsgesetz eines orthotropen Materials lautet in Bezug auf eine Orthonormalbasis entlang der Orthotropieachsen in 3D in Voigtscher Notation:

{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{1}}}&-{\frac {\nu _{12}}{E_{1}}}&-{\frac {\nu _{13}}{E_{1}}}&0&0&0\\&{\frac {1}{E_{2}}}&-{\frac {\nu _{23}}{E_{2}}}&0&0&0\\&&{\frac {1}{E_{3}}}&0&0&0\\&&&{\frac {1}{G_{23}}}&0&0\\&{\text{sym}}&&&{\frac {1}{G_{13}}}&0\\&&&&&{\frac {1}{G_{12}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}

Und in 2D:

{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{E_{1}}}&-{\frac {\nu _{12}}{E_{1}}}&0\\&{\frac {1}{E_{2}}}&0\\{\text{sym}}&&{\frac {1}{G_{12}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\\\end{bmatrix}}

Lineare Elastizitätstheorie und Voigtsche Notation

Der Zusammenhang zwischen Spannungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sigma und Verzerrungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon sei linear gemäß:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f_C: \varepsilon_{kl}\rightarrow \sigma_{ij}=C_{ijkl}\varepsilon_{kl}

Dies gilt unabhängig davon, ob das Material orthotrop ist oder nicht. Es ist der allgemeinste lineare Zusammenhang, den es zwischen 2 Tensoren zweiter Stufe gibt. C bildet 3x3 Komponenten auf 3x3 Komponenten ab. Und hat damit selbst 81 = 3x3 x 3x3 Komponenten. In der linearen Elastizitätstheorie (symm. Spannungstensor, symm. Verzerrungstensor, Potential, siehe Voigtsche Notation) kann man für den Zusammenhang zwischen Spannungen und Verzerrungen auch eine 6x6-Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): C^{\text{v}} definieren, so dass

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \sigma^\text{v}_{i}&=C^\text{v}_{ij}\varepsilon^\text{v}_{j} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{13} \\ \sigma_{12} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C_{1111} & C_{1122} & C_{1133} & C_{1123} & C_{1113} & C_{1112} & \\ & C_{2222} & C_{2233} & C_{2223} & C_{2213} & C_{2212} & \\ & & C_{3333} & C_{3323} & C_{3313} & C_{3312} & \\ & & & C_{2323} & C_{2313} & C_{2312} & \\ &\text{sym}& & & C_{1313} & C_{1312} & \\ & & & & & C_{1212} & \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2\varepsilon_{23} \\ 2\varepsilon_{13} \\ 2\varepsilon_{12} \\ \end{bmatrix} \end{align}

Im allgemeinen Fall verbleiben also im Materialgesetz 21 unabhängige Materialparameter.

Steifigkeitsmatrix bei Orthotropie

Ein Material heißt orthotrop, wenn eine Orthonormalbasis existiert, so dass das Elastizitätsgesetz dargestellt in Bezug auf diese Basis folgende Form (mit nur 9 Materialparametern) annimmt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{13} \\ \sigma_{12} \\ \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} C_{1111} & C_{1122} & C_{1133} & & & & \\ & C_{2222} & C_{2233} & & & & \\ & & C_{3333} & & & & \\ & & & C_{2323} & & & \\ &\text{sym}& & & C_{1313} & & \\ & & & & & C_{1212} & \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2\varepsilon_{23} \\ 2\varepsilon_{13} \\ 2\varepsilon_{12} \end{bmatrix} \end{align}

Die Inverse der Steifigkeitsmatrix (die Nachgiebigkeitsmatrix) ist ebenfalls symmetrisch und auch nur an denselben Stellen mit von Null verschiedenen Werten besetzt wie die Steifigkeitsmatrix. Für die Darstellung des Materialgesetzes mit der Nachgiebigkeitsmatrix ist die ganz oben verwendete Darstellung üblich, in der $E_{1},E_{2},E_{3},\nu _{12},\nu _{13},\nu _{23},G_{12},G_{13},G_{23}$ als die 9 Materialparameter verwendet werden.

Gründe für die Besetztheit der Steifigkeitsmatrix

In diesem Abschnitt wird die Frage geklärt, warum die Steifigkeitsmatrix nur an den entsprechenden Stellen besetzt ist. Im Allgemeinen tauchen in einem linearen Materialgesetz 21 unabhängige Materialkonstanten auf (siehe Voigtsche Notation). Im Fall der Orthotropie reduziert sich aber die Zahl der Konstanten auf 9. Warum das so ist, ist nachfolgend dargestellt.

Drehmatrizen bei 180-Grad-Drehungen

Die (linearen) Abbildungen, die 180-Grad-Drehungen um die Orthotropieachsen beschreiben, lassen sich mit Matrizen beschreiben. Wählt man als Bezug eine Basis, deren Basisvektoren sich mit den senkrecht auf einander stehenden Drehachsen decken, dann haben diese orthogonalen Matrizen folgende Gestalt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} A_x &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}, A_y = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}, A_z = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{align}

Diese 3 Matrizen (und zusätzlich die Einheitsmatrix) bilden eine Untergruppe von der Drehgruppe SO(3).

Symmetriebedingung in Indexschreibweise und Voigtscher Notation

Gedanken-Experiment: Ein Teilchen und dessen Umgebung wird einer bestimmten Deformation unterzogen und damit einem bestimmten Verzerrungstensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon . Im einfachsten Fall (der allerdings zur Definition der Orthotropie nicht ausreichend allgemein ist) könnte das Teilchen nur in einer bestimmten Richtung gestreckt werden. Nun ändert man die Streckungsrichtung aktiv. D.h. man lässt den materiellen Punkt wie er ist (dreht also das Material nicht) und unterzieht den Punkt aber (derselben) Streckung in anderer Richtung. Man gelangt damit zu einem anderen Verzerrungstensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon' .

Die Änderung der Verzerrungsrichtung kann mit einer Drehmatrix A beschrieben werden. Es gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon' = A \, \varepsilon \, A^{-1}

Mithilfe eines linearen Materialgesetzes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f_C lässt sich für gegebenen Verzerrungstensor der zugehörige Spannungstensor ermitteln. Es sei

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \sigma &:= f_C(\varepsilon)\\ \sigma' &:= f_C(\varepsilon') \end{align}

Im allgemeinen Fall der Anisotropie gilt zwar nicht

\sigma '=A\,\sigma \,A^{-1}

Aber genau dies fordert man für eine für die oben beschriebene Teilmenge von SO(3) im Fall der Orthotropie: Ein Material heißt orthotrop, wenn für die Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): f_C folgende Symmetrie-Transformation für jede der oben genannten (orthogonalen) Dreh-Matrizen und für beliebige Verzerrungen gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} A f_C(\varepsilon) A^{-1} &= f_C(A \varepsilon A^{-1})\Leftrightarrow A f_C(\varepsilon) A^T = f_C(A \varepsilon A^T) \end{align}

In Indexschreibweise

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \sigma_{mn}'=A_{mo}C_{opjk}\varepsilon_{jk}A_{np} &= C_{mnil}\varepsilon'_{il}=C_{mnil}A_{ij}\varepsilon_{jk}A_{lk} \end{align}

Nun dieselbe Bedingung in Voigtscher Notation: Mit der Definition

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} A^{\text{v}}_\sigma:= \begin{bmatrix} A_{11}A_{11} & A_{12}A_{12} & A_{13}A_{13} & A_{12}A_{13}+A_{13}A_{12} & A_{11}A_{13}+A_{13}A_{11} & A_{11}A_{12}+A_{12}A_{11} \\ A_{21}A_{21} & A_{22}A_{22} & A_{23}A_{23} & A_{22}A_{23}+A_{23}A_{22} & A_{21}A_{23}+A_{23}A_{21} & A_{21}A_{22}+A_{22}A_{21} \\ A_{31}A_{31} & A_{32}A_{32} & A_{33}A_{33} & A_{32}A_{33}+A_{33}A_{32} & A_{31}A_{33}+A_{33}A_{31} & A_{31}A_{32}+A_{32}A_{31} \\ A_{21}A_{31} & A_{22}A_{32} & A_{23}A_{33} & A_{22}A_{33}+A_{23}A_{32} & A_{21}A_{33}+A_{23}A_{31} & A_{21}A_{32}+A_{22}A_{31} \\ A_{11}A_{31} & A_{12}A_{32} & A_{13}A_{33} & A_{12}A_{33}+A_{13}A_{32} & A_{11}A_{33}+A_{13}A_{31} & A_{11}A_{32}+A_{12}A_{31} \\ A_{11}A_{21} & A_{12}A_{22} & A_{13}A_{23} & A_{12}A_{23}+A_{13}A_{22} & A_{11}A_{23}+A_{13}A_{21} & A_{11}A_{22}+A_{12}A_{21} \\ \end{bmatrix} \end{align}

gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \begin{bmatrix} \sigma'_{11} \\ \sigma'_{22} \\ \sigma'_{33} \\ \sigma'_{23} \\ \sigma'_{13} \\ \sigma'_{12} \end{bmatrix} = A^{\text{v}}_\sigma \begin{bmatrix} \sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{33} \\ \sigma_{23} \\ \sigma_{13} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix}\Leftrightarrow {\sigma'}^{\text{v}}=A^{\text{v}}_\sigma {\sigma}^{\text{v}}, \qquad\qquad \begin{bmatrix} \varepsilon'_{11} \\ \varepsilon'_{22} \\ \varepsilon'_{33} \\ \varepsilon'_{23} \\ \varepsilon'_{13} \\ \varepsilon'_{12} \end{bmatrix} = A^{\text{v}}_\sigma \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ \varepsilon_{23} \\ \varepsilon_{13} \\ \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \end{align}

Mit der neuen Definition

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} A^{\text{v}}_\varepsilon:= \begin{bmatrix} A_{11}A_{11} & A_{12}A_{12} & A_{13}A_{13} & A_{12}A_{13}+A_{13}A_{12} & A_{11}A_{13}+A_{13}A_{11} & A_{11}A_{12}+A_{12}A_{11} \\ A_{21}A_{21} & A_{22}A_{22} & A_{23}A_{23} & A_{22}A_{23}+A_{23}A_{22} & A_{21}A_{23}+A_{23}A_{21} & A_{21}A_{22}+A_{22}A_{21} \\ A_{31}A_{31} & A_{32}A_{32} & A_{33}A_{33} & A_{32}A_{33}+A_{33}A_{32} & A_{31}A_{33}+A_{33}A_{31} & A_{31}A_{32}+A_{32}A_{31} \\ 2 A_{21}A_{31} & 2 A_{22}A_{32} & 2 A_{23}A_{33} & A_{22}A_{33}+A_{23}A_{32} & A_{21}A_{33}+A_{23}A_{31} & A_{21}A_{32}+A_{22}A_{31} \\ 2 A_{11}A_{31} & 2 A_{12}A_{32} & 2 A_{13}A_{33} & A_{12}A_{33}+A_{13}A_{32} & A_{11}A_{33}+A_{13}A_{31} & A_{11}A_{32}+A_{12}A_{31} \\ 2 A_{11}A_{21} & 2 A_{12}A_{22} & 2 A_{13}A_{23} & A_{12}A_{23}+A_{13}A_{22} & A_{11}A_{23}+A_{13}A_{21} & A_{11}A_{22}+A_{12}A_{21} \\ \end{bmatrix} \end{align}

ergibt sich

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \begin{bmatrix} \varepsilon'_{11} \\ \varepsilon'_{22} \\ \varepsilon'_{33} \\ 2\varepsilon'_{23} \\ 2\varepsilon'_{13} \\ 2\varepsilon'_{12} \end{bmatrix} = A^{\text{v}}_\varepsilon \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{33} \\ 2\varepsilon_{23} \\ 2\varepsilon_{13} \\ 2\varepsilon_{12} \end{bmatrix}\Leftrightarrow {\varepsilon'}^{\text{v}}=A^{\text{v}}_\varepsilon {\varepsilon}^{\text{v}} \end{align}

In Voigtscher Notation erhält man also als Symmetriebedingung

{\begin{aligned}{\sigma '}^{\text{v}}=A_{\sigma }^{\text{v}}{\sigma }^{\text{v}}&=A_{\sigma }^{\text{v}}C^{\text{v}}{\varepsilon }^{\text{v}}=C^{\text{v}}{\varepsilon '}^{\text{v}}=C^{\text{v}}A_{\varepsilon }^{\text{v}}{\varepsilon }^{\text{v}}\end{aligned}}

Und da dies für beliebige Dehnungen gelten muss, ist die Symmetriebedingung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} A^{\text{v}}_\sigma C^{\text{v}}=C^{\text{v}} A^{\text{v}}_\varepsilon \end{align}

Spezialfall 180-Grad-Drehungen

Da im Spezialfall der Orthotropie die 3x3-Matrizen Matrizen A nur auf der Hauptdiagonalen besetzt sind, vereinfachen sich die Definitionen von oben zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} A^{\text{v}}_\sigma= A^{\text{v}}_\varepsilon &= \begin{bmatrix} A_{11}A_{11} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & A_{22}A_{22} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & A_{33}A_{33} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & A_{22}A_{33} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & A_{11}A_{33} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & A_{11}A_{22} \\ \end{bmatrix} \\ \end{align}

Die drei 3x3-Matrizen entsprechen also den drei 6x6-Matrizen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} A^{\text{v}}_x &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix},\qquad A^{\text{v}}_y &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{bmatrix},\qquad A^{\text{v}}_z &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{bmatrix} \end{align}

Auswertung der Symmetriebedingungen für den Spezialfall

Die Symmetriebedingung ausgewertet für diese Matrizen ergibt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} \text{wegen } A^{\text{v}}_x C^{\text{v}} = C^{\text{v}} A^{\text{v}}_x:\qquad \begin{bmatrix} C^{\text{v}}_{11} & C^{\text{v}}_{12} & C^{\text{v}}_{13} & C^{\text{v}}_{14} & C^{\text{v}}_{15} & C^{\text{v}}_{16}\\ C^{\text{v}}_{21} & C^{\text{v}}_{22} & C^{\text{v}}_{23} & C^{\text{v}}_{24} & C^{\text{v}}_{25} & C^{\text{v}}_{26}\\ C^{\text{v}}_{31} & C^{\text{v}}_{32} & C^{\text{v}}_{33} & C^{\text{v}}_{34} & C^{\text{v}}_{35} & C^{\text{v}}_{36}\\ -C^{\text{v}}_{41} & -C^{\text{v}}_{42} & -C^{\text{v}}_{43} & -C^{\text{v}}_{44} & -C^{\text{v}}_{45} & -C^{\text{v}}_{46}\\ -C^{\text{v}}_{51} & -C^{\text{v}}_{52} & -C^{\text{v}}_{53} & -C^{\text{v}}_{54} & -C^{\text{v}}_{55} & -C^{\text{v}}_{56}\\ C^{\text{v}}_{61} & C^{\text{v}}_{62} & C^{\text{v}}_{63} & C^{\text{v}}_{64} & C^{\text{v}}_{65} & C^{\text{v}}_{66} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} C^{\text{v}}_{11} & C^{\text{v}}_{12} & C^{\text{v}}_{13} & -C^{\text{v}}_{14} & -C^{\text{v}}_{15} & C^{\text{v}}_{16}\\ C^{\text{v}}_{21} & C^{\text{v}}_{22} & C^{\text{v}}_{23} & -C^{\text{v}}_{24} & -C^{\text{v}}_{25} & C^{\text{v}}_{26}\\ C^{\text{v}}_{31} & C^{\text{v}}_{32} & C^{\text{v}}_{33} & -C^{\text{v}}_{34} & -C^{\text{v}}_{35} & C^{\text{v}}_{36}\\ C^{\text{v}}_{41} & C^{\text{v}}_{42} & C^{\text{v}}_{43} & -C^{\text{v}}_{44} & -C^{\text{v}}_{45} & C^{\text{v}}_{46}\\ C^{\text{v}}_{51} & C^{\text{v}}_{52} & C^{\text{v}}_{53} & -C^{\text{v}}_{54} & -C^{\text{v}}_{55} & C^{\text{v}}_{56}\\ C^{\text{v}}_{61} & C^{\text{v}}_{62} & C^{\text{v}}_{63} & -C^{\text{v}}_{64} & -C^{\text{v}}_{65} & C^{\text{v}}_{66} \end{bmatrix} \\ \text{wegen } A^{\text{v}}_y C^{\text{v}} = C^{\text{v}} A^{\text{v}}_y:\qquad \begin{bmatrix} C^{\text{v}}_{11} & C^{\text{v}}_{12} & C^{\text{v}}_{13} & C^{\text{v}}_{14} & C^{\text{v}}_{15} & C^{\text{v}}_{16}\\ C^{\text{v}}_{21} & C^{\text{v}}_{22} & C^{\text{v}}_{23} & C^{\text{v}}_{24} & C^{\text{v}}_{25} & C^{\text{v}}_{26}\\ C^{\text{v}}_{31} & C^{\text{v}}_{32} & C^{\text{v}}_{33} & C^{\text{v}}_{34} & C^{\text{v}}_{35} & C^{\text{v}}_{36}\\ -C^{\text{v}}_{41} & -C^{\text{v}}_{42} & -C^{\text{v}}_{43} & -C^{\text{v}}_{44} & -C^{\text{v}}_{45} & -C^{\text{v}}_{46}\\ C^{\text{v}}_{51} & C^{\text{v}}_{52} & C^{\text{v}}_{53} & C^{\text{v}}_{54} & C^{\text{v}}_{55} & C^{\text{v}}_{56}\\ -C^{\text{v}}_{61} & -C^{\text{v}}_{62} & -C^{\text{v}}_{63} & -C^{\text{v}}_{64} & -C^{\text{v}}_{65} & -C^{\text{v}}_{66} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} C^{\text{v}}_{11} & C^{\text{v}}_{12} & C^{\text{v}}_{13} & -C^{\text{v}}_{14} & C^{\text{v}}_{15} & -C^{\text{v}}_{16}\\ C^{\text{v}}_{21} & C^{\text{v}}_{22} & C^{\text{v}}_{23} & -C^{\text{v}}_{24} & C^{\text{v}}_{25} & -C^{\text{v}}_{26}\\ C^{\text{v}}_{31} & C^{\text{v}}_{32} & C^{\text{v}}_{33} & -C^{\text{v}}_{34} & C^{\text{v}}_{35} & -C^{\text{v}}_{36}\\ C^{\text{v}}_{41} & C^{\text{v}}_{42} & C^{\text{v}}_{43} & -C^{\text{v}}_{44} & C^{\text{v}}_{45} & -C^{\text{v}}_{46}\\ C^{\text{v}}_{51} & C^{\text{v}}_{52} & C^{\text{v}}_{53} & -C^{\text{v}}_{54} & C^{\text{v}}_{55} & -C^{\text{v}}_{56}\\ C^{\text{v}}_{61} & C^{\text{v}}_{62} & C^{\text{v}}_{63} & -C^{\text{v}}_{64} & C^{\text{v}}_{65} & -C^{\text{v}}_{66} \end{bmatrix} \\ \text{wegen } A^{\text{v}}_z C^{\text{v}} = C^{\text{v}} A^{\text{v}}_z:\qquad \begin{bmatrix} C^{\text{v}}_{11} & C^{\text{v}}_{12} & C^{\text{v}}_{13} & C^{\text{v}}_{14} & C^{\text{v}}_{15} & C^{\text{v}}_{16}\\ C^{\text{v}}_{21} & C^{\text{v}}_{22} & C^{\text{v}}_{23} & C^{\text{v}}_{24} & C^{\text{v}}_{25} & C^{\text{v}}_{26}\\ C^{\text{v}}_{31} & C^{\text{v}}_{32} & C^{\text{v}}_{33} & C^{\text{v}}_{34} & C^{\text{v}}_{35} & C^{\text{v}}_{36}\\ C^{\text{v}}_{41} & C^{\text{v}}_{42} & C^{\text{v}}_{43} & C^{\text{v}}_{44} & C^{\text{v}}_{45} & C^{\text{v}}_{46}\\ -C^{\text{v}}_{51} & -C^{\text{v}}_{52} & -C^{\text{v}}_{53} & -C^{\text{v}}_{54} & -C^{\text{v}}_{55} & -C^{\text{v}}_{56}\\ -C^{\text{v}}_{61} & -C^{\text{v}}_{62} & -C^{\text{v}}_{63} & -C^{\text{v}}_{64} & -C^{\text{v}}_{65} & -C^{\text{v}}_{66} \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} C^{\text{v}}_{11} & C^{\text{v}}_{12} & C^{\text{v}}_{13} & C^{\text{v}}_{14} & -C^{\text{v}}_{15} & -C^{\text{v}}_{16}\\ C^{\text{v}}_{21} & C^{\text{v}}_{22} & C^{\text{v}}_{23} & C^{\text{v}}_{24} & -C^{\text{v}}_{25} & -C^{\text{v}}_{26}\\ C^{\text{v}}_{31} & C^{\text{v}}_{32} & C^{\text{v}}_{33} & C^{\text{v}}_{34} & -C^{\text{v}}_{35} & -C^{\text{v}}_{36}\\ C^{\text{v}}_{41} & C^{\text{v}}_{42} & C^{\text{v}}_{43} & C^{\text{v}}_{44} & -C^{\text{v}}_{45} & -C^{\text{v}}_{46}\\ C^{\text{v}}_{51} & C^{\text{v}}_{52} & C^{\text{v}}_{53} & C^{\text{v}}_{54} & -C^{\text{v}}_{55} & -C^{\text{v}}_{56}\\ C^{\text{v}}_{61} & C^{\text{v}}_{62} & C^{\text{v}}_{63} & C^{\text{v}}_{64} & -C^{\text{v}}_{65} & -C^{\text{v}}_{66} \end{bmatrix} \end{align}

An den letzten 3 Gleichungen erkennt man, dass C nur folgende Gestalt haben kann

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} C^{\text{v}}&= \begin{bmatrix} C^{\text{v}}_{11} & C^{\text{v}}_{12} & C^{\text{v}}_{13} & 0 & 0 & 0\\ C^{\text{v}}_{21} & C^{\text{v}}_{22} & C^{\text{v}}_{23} & 0 & 0 & 0\\ C^{\text{v}}_{31} & C^{\text{v}}_{32} & C^{\text{v}}_{33} & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & C^{\text{v}}_{44} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & C^{\text{v}}_{55} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & C^{\text{v}}_{66} \end{bmatrix} \end{align}

Da diese Voigtsche Steifigkeitsmatrix außerdem symmetrisch ist (siehe Voigtsche Notation), bleibt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} C^{\text{v}}&= \begin{bmatrix} C^{\text{v}}_{11} & C^{\text{v}}_{12} & C^{\text{v}}_{13} & 0 & 0 & 0\\ & C^{\text{v}}_{22} & C^{\text{v}}_{23} & 0 & 0 & 0\\ & & C^{\text{v}}_{33} & 0 & 0 & 0\\ & & & C^{\text{v}}_{44} & 0 & 0 \\ & \text{sym} & & & C^{\text{v}}_{55} & 0 \\ & & & & & C^{\text{v}}_{66} \end{bmatrix} \end{align}

Zusammenfassung

Die Orthotropie in der linearen Elastizitätstheorie lässt sich definieren als ein Spezialfall der Anisotropie, bei dem die Steifigkeits- oder Nachgiebigkeitsmatrix eine besonders einfache Form annimmt (9 Konstanten anstelle von 21 Konstanten im allgemeinen Fall).
Neben der Orthotropie gibt es noch andere Spezialfälle der Anisotropie, z.B. Transversalisotropie, Isotropie etc. . Hierbei werden dieselben Symmetriebedingungen angegeben. Nur werden dann andere Untergruppen der Drehgruppe (also andere Matrizen A) betrachtet.
An der Form des elastischen Gesetzes erkennt man, dass die Kopplung zwischen Zug und Schub für Belastung entlang der Orthotropierichtungen entfällt.

Literatur

J.F. Nye: Physical Properties of Crystals: Their Representation by Tensors and Matrices. Oxford University Press. 1985. ISBN 978-0-19-851165-6.
H. Altenbach, J. Altenbach, R. Rikards: Einführung in die Mechanik der Laminat- und Sandwichtragwerke. Stuttgart: Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie, 1996. ISBN 3-342-00681-1