Liouville-Gleichung

Die Liouville-Gleichung, nach Joseph Liouville, ist eine Beschreibung der zeitlichen Entwicklung eines physikalischen Systems in der statistischen Mechanik, im Hamilton-Formalismus der klassischen Mechanik und in der Quantenmechanik, dort auch Von-Neumann-Gleichung genannt. Die Liouville-Gleichung besagt anschaulich, dass das Volumen einer beliebigen Teilmenge des Phasenraums unter einer zeitlichen Entwicklung erhalten bleibt, das heißt, dass der Fluss durch den Phasenraum volumen- und sogar orientierungserhaltend ist.

Klassische Gleichung

In der statistischen Physik kann ein Ensemble von Realisierungen eines physikalischen Systems durch eine Wahrscheinlichkeitsdichte $ρ$ im Phasenraum charakterisiert werden ("Phasenraumdichte"). Für die zeitliche Entwicklung eines solchen Ensembles gilt

\frac{d ρ}{d t} = \frac{\partial ρ}{\partial t} + \sum_{i = 1}^{N} [\frac{\partial ρ}{\partial q_{i}} {\dot{q}}_{i} + \frac{\partial ρ}{\partial p_{i}} {\dot{p}}_{i}] = 0,

wobei die $q_{i}$ und $p_{i}$ die kanonischen Orts- und Impulskoordinaten des $i$ -ten Teilchens im Phasenraum bezeichnen. Unabhängig vom gewählten Ensemble verschwindet die totale zeitliche Ableitung, was bedeutet, dass sich entlang einer Phasenraumtrajektorie die Phasenraumdichte nicht verändert. Ersetzt man ${\dot{q}}_{i}$ und ${\dot{p}}_{i}$ gemäß der hamiltonschen Bewegungsgleichungen, so lässt sich dieser Sachverhalt mit Hilfe der Poisson-Klammer kürzer ausdrücken:

\frac{\partial}{\partial t} ρ (τ, t) = - {ρ (τ, t), H} = {H, ρ (τ, t)},

wobei H die Hamilton-Funktion und $τ$ die Gesamtheit der Phasenraumkoordinaten bezeichnet.

Aus der Liouville-Gleichung folgt unmittelbar der Satz von Liouville (auch „Liouville-Theorem“ genannt).

Die Liouvillegleichung kann auch bei Einführung des Liouvilleoperators

L = \sum_{i = 1}^{n} [\frac{\partial H}{\partial p_{i}} \frac{\partial}{\partial q^{i}} - \frac{\partial H}{\partial q^{i}} \frac{\partial}{\partial p_{i}}] = {\cdot, H}

wie folgt geschrieben werden:

\frac{\partial ρ}{\partial t} = - L ρ

Quantenmechanische Gleichung

\frac{\partial}{\partial t} ρ = \frac{i}{ℏ} [ρ, H]

Hier bezeichnet H den Hamilton-Operator, $ρ$ die Dichtematrix und die eckigen Klammern den Kommutator. Diese Form der Liouville-Gleichung wird auch Von-Neumann-Gleichung genannt.

Man kann formal wie im Fall der klassischen Mechanik einen Liouville-Operator $L$ einführen, definiert durch seine Wirkung auf einen Operator $A$ über $L A = \frac{i}{ℏ} [A, H]$ . Dann schreibt sich die von Neumann Gleichung:

\frac{\partial}{\partial t} ρ = \frac{i}{ℏ} [ρ, H] = L ρ

Mit Hilfe des Wigner-Bildes kann im semiklassischen Grenzfall eine direkte Beziehung zwischen der klassischen Poisson-Klammer und dem Hamilton-Operator hergeleitet werden:

\lim_{ℏ \to 0} \frac{i}{ℏ} [\hat{A}, \hat{B}] = {A_{w}, B_{w}}

Literatur

Franz Schwabl, Statistische Mechanik, Springer 2004

Siehe auch

Satz von Liouville (Physik)