Reziproker Raum

Der reziproke Raum ist ein fundamentaler Begriff aus der Festkörperphysik. Die Basis dieses Raumes wird von den Basisvektoren des reziproken Gitters gebildet. Daher werden die Begriffe reziproker Raum und reziprokes Gitter teilweise auch synonym gebraucht.

Seine Bedeutung für die Festkörperphysik hat dieser Raum aufgrund des Blochtheorems, das dazu führt, dass die physikalischen Effekte in einem Kristall in diesem Raum effektiv beschrieben werden können. Ein zentraler Begriff dieser Beschreibungen ist dabei die erste Brillouin-Zone. Unter Verwendung des reziproken Raumes werden Quasiteilchen und deren Dispersion beschrieben. Je nach Thema haben sich dabei unterschiedliche Sichtweisen und Zugänge zu diesem Begriff entwickelt.

Der reziproke Raum wird auch „Raum der Wellenvektoren“ („k-Raum“) beziehungsweise „Fourierraum“ genannt. Der normale 3-dimensionale Raum wird demgegenüber auch als „Realraum“ oder „x-Raum“ bezeichnet.

Definition

Der reziproke Raum ist der 3-dimensionale Raum der ebenen Wellen. Jeder Vektor k des reziproken Raumes entsprich hierbei einer ebenen Welle mit dem Wellenvektor k:

e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}

Zusammenhang mit dem reziproken Gitter

Ein Kristallgitter ist eine regelmäßige Anordnung von Punkten im Raum. Es wird durch seine Translationssymmetrie beschrieben. Die Menge aller Translationsvektoren R, die einen Kristall in sich selbst überführen, bilden das Kristallgitter. Für die Wellenvektoren G aller Wellen, die diese Translationssymmetrie nicht zerstören, muss demzufolge gelten:

e^{i{\vec {G}}\cdot {\vec {r}}}=e^{i{\vec {G}}({\vec {r}}+{\vec {R}})}

oder

e^{i{\vec {G}}\cdot {\vec {R}}}=1

Dies entspricht genau der Bestimmungsgleichung für die Punkte des reziproken Gitters. Diese Punkte repräsentieren alle die Wellen, bei denen alle Elementarzellen in der gleichen Phase schwingen. Im reziproken Raum wird daher das gleiche Koordinatensystem wie im reziproken Gitter verwendet. Der Zusammenhang zwischen den Basisvektoren des realen Gitters a_i und des reziproken Raumes b_i ist:

{\vec {b_{1}}}=2\pi {\frac {{\vec {a_{2}}}\times {\vec {a_{3}}}}{{\vec {a_{1}}}\cdot ({\vec {a_{2}}}\times {\vec {a_{3}}})}}

{\vec {b_{2}}}=2\pi {\frac {{\vec {a_{3}}}\times {\vec {a_{1}}}}{{\vec {a_{1}}}\cdot ({\vec {a_{2}}}\times {\vec {a_{3}}})}}

{\vec {b_{3}}}=2\pi {\frac {{\vec {a_{1}}}\times {\vec {a_{2}}}}{{\vec {a_{1}}}\cdot ({\vec {a_{2}}}\times {\vec {a_{3}}})}}

Ist der Wellenvektor ein Vektor des reziproken Gitters, wird er in der Literatur oft mit G oder K bezeichnet. Für eine Funktion f(r) gilt: f(r) ist genau dann gitterperiodisch, wenn die Fouriertransformierte F(k) nur für die Vektoren des reziproken Gitters ungleich null ist.

Der Begriff reziprok kommt daher, dass die Einheit der Basisvektoren eine reziproke Länge ist. Auch verhält sich die Länge dieser Vektoren umgekehrt proportional (reziprok) zur Länge der Vektoren der realen Gitters.

Die erste Brillouin-Zone

Für die physikalische Beschreibung sind nur Wellen, bei denen der Betrag des Wellenvektors kleiner als ${\frac {\pi }{a}}$ ist, relevant. Hat eine Welle einen größeren Wellenvektor, so kann von ihm so oft ein Vektor des reziproken Gitters ( ${\frac {2\pi }{a}}$ ) abgezogen werden, bis der Wellenvektor im Bereich $\pm {\frac {\pi }{a}}$ liegt, ohne dass sich an der physikalischen Bedeutung dieser Welle etwas ändert. Dieser so definierte Volumenbereich heißt erste Brillouin-Zone.

Bloch-Funktionen

Das Blochtheorem beschreibt unter anderem die Wellenfunktion eines Elektrons in einem kristallinen Festkörper. Es besagt, dass die stationäre Schrödingergleichung mit einem translationsinvarianten Potential als Lösung nur ebene Wellen besitzen kann, deren Amplitudenfunktion die Translationssymmetrie des Gitters besitzt. Der einzige Unterschied zwischen den Zellen kann daher nur darin bestehen, dass die Wellen in den unterschiedlichen Elementarzellen unterschiedliche Phasen haben. Der Wellenvektor k hat hierbei die Bedeutung eines Indexes zur Klassifizierung der Lösungen der Schrödingergleichung.

Darüber hinaus geht k in Erhaltungssätze ein: Stößt ein Elektron mit Wellenvektor k mit einem Phonon mit Wellenvektor q, so gilt folgende Auswahlregel:

{\vec {k}}+{\vec {q}}={\vec {k}}'+{\vec {q}}'+{\vec {G}}

,

wobei G ein Vektor des reziproken Gitter ist.

Daher bezeichnet man $\hbar {\vec {k}}$ als Quasiimpuls oder Kristallimpuls des Elektrons.

Phononen

Bild 1: Schematische Darstellung der Dispersionszweige eines Kristalls mit 2 Atomen in der primitiven Zelle.

Phononen sind elastische Wellen. Sie werden durch ein Auslenkungsmuster und einen Wellenvektor beschrieben. Hat der Kristall s Atome in der primitiven Zelle, so gibt es zu jedem Wellenvektor der Brillouin-Zone 3s Phononen, von denen 3 akustisch und 3s-3 optisch sind. Jedes dieser Phononen besitzt eine bestimmte Frequenz. In einer Dispersionskurve werden diese Frequenzen gegenüber dem Wellenvektor, der in bestimmte Richtungen der Brillouin-Zone variiert wird, aufgetragen. Die für die einzelnen Modi auftretenden Graphen nennt man Dispersionszweige oder Äste. Im Bild 1 sind die Dispersionszweige eines Kristalls mit 2 Atomen in der primitiven Zelle dargestellt. Der Wellenvektor geht dabei vom Zentrum zum Rand der Brillouin-Zone. Es gibt 3 akustische und 3 optische Modi. Die akustischen Modi sind diejenigen, deren Frequenz im Zentrum der Brillouin-Zone verschwindet.

Beispiel

Bild 2: Kristall in der Paraphase
Bild 3: Kristall in einer ferroischen Phase
Bild 4: Kristall in einer antiferroischen Phase
Bild 5: Kristall in einer inkommensurablen Phase

Bei einem Phasenübergang kann die Tieftemperaturphase dadurch entstehen, dass Atome in der Elementarzelle gegenüber ihrer Hochtemperaturlage verschoben werden. Die Struktur der Tieftemperaturphase entspricht dann dem mit einem Phonon verbundenen Auslenkungsmuster. Im folgenden werden drei hypothetische Fälle exemplarisch betrachtet, bei denen der Phasenübergang mit derselben Verrückung aber an unterschiedlichen Stellen in der Brillouin-Zone stattfindet. Als Beispielstruktur wird eine kubisch primitive Zelle betrachtet, bei der eine Atomsorte auf den Eckpunkten (0;0;0) (rote Kreise) und eine andere in der Mitte (0,5;0,5;0,5) (schwarze Kreise) der Elementarzelle liegt. In diesem Fall sind die Richtungen der realen und reziproken Basisvektoren identisch. Das Atom in der Mitte soll in z-Richtung ausgelenkt werden. Die Bilder zeigen jeweils die Projektionen auf die xz Ebene. Dabei stellen Pfeile die Verrückung und der blaue Punkt die Lage in der Hochtemperaturphase dar. Bild 2 stellt die Hochtemperaturphase - auch Paraphase genannt - dar.

1. Der Phasenübergang findet in der Mitte der Brillouinzone statt (am sogenannten Gamma – Punkt)

Dies bedeutet, dass alle Zellen in derselben Phase sind. In allen Zellen findet der gleiche Vorgang statt. Die Gitterkonstante bleibt unverändert. Dies führt zu einem ferroischen Phasenübergang. (siehe Bild 3)

2. Der Phasenübergang findet am Schnittpunkt der b₁-Achse mit dem Rand der Brillouin-Zone statt.

Dies bedeutet, dass es zwischen in x-Richtung benachbarten Zellen einen Phasensprung von 180° gibt. In der einen Zelle bewegt sich das mittlere Atom genau entgegensetzt zu seinem Gegenstück in der nächsten Zelle. In der Tieftemperaturphase sind die Mittenatome benachbarter Zellen in entgegengesetzte Richtungen ausgelenkt. Daher verdoppelt sich die Gitterkonstante in dieser Richtung. Diese Phasenübergänge heißen antiferroisch. (siehe Bild 4)

3. Der Phasenübergang findet in einem Punkt auf der b₁-Achse statt.

Dieser Phasenübergang ist vor allem dann interessant, wenn die b₁-Koordinate dieses Punktes eine irrationale Zahl ist. In diesem Fall gibt es 2 inkommensurable Periodizitäten in dieser Richtung: die eine wird durch das Gitter, die andere durch die Auslenkungen des Atoms erzeugt. In der Regel wandert der Phasenübergangspunkt auf der b₁ – Achse mit der Temperatur und es findet eine Folge von Phasenübergängen statt. Dies führt zu einer „Devil’s staircase“. Solche Phasen werden inkommensurabel (IC – Phasen) genannt. (siehe Bild 5)

Korrespondenz in der Mathematik

In der Mathematik (insbesondere in der Differentialgeometrie der sog. Riemann'schen Räume) entspricht der Begriff des x- bzw. des k-Raums den sog. „kontravarianten“ bzw. „kovarianten“ Vektorkomponenten (obere bzw. untere Indizes), wobei noch die Raumkrümmung hinzukommt (vgl. auch die Allgemeine Relativitätstheorie). Man benutzt also als Basisvektoren im ersten Fall die Vektoren a₁, a₂ und a₃ und schreibt Vektoren in der Form v=Σ v^j a_j , im zweiten Fall benutzt man die Basisvektoren b¹, b² und b³ und schreibt v=Σ v_j b^j. Die b-Vektoren sind dabei wie oben definiert, ohne Unterscheidung von oberen und unteren Indizes, die erst durch die Raumkrümmung hinzukommt. Indem man die Einsteinsche Summenkonvention benutzt, läßt man der Einfachheit halber die Summenzeichen weg, indem man bei doppelten Indizes immer summiert, und verzichtet zugleich auf die explizite Angabe der Basisvektoren, indem man implizit nur ausnutzt, dass a_i•b^k= 1 bei gleichen Werten, also für i=k, bzw. =0 für verschiedene Werte ist.

Literatur

Ch. Kittel: Einführung in die Festkörperphysik 10.Auflage Oldebourg Verlag, München, 1993, ISBN 3-486-22716-5
Ch. Kittel: Quantentheorie der Festkörper, 2.Auflage, Oldenbourg,1988,ISBN 3-486-20748-2
Ashcroft: Festkörperphysik, 2.Auflage, Oldenbourg 2005, ISBN 3-486-57720-4
Kopitzki: Einführung in die Festkörperphysik, 6.Auflage, Teubner, 2007, ISBN 978-3-8351-0144-9