Reziprokes Gitter


Reziprokes Gitter

Das reziproke Gitter ist eine Konstruktion der Kristallographie zur Beschreibung der Beugung an Kristallen, z. B. in der Laue-Bedingung. Es wird in der Röntgen-, Elektronen- und Neutronenbeugung verwendet. Dieses Konzept wurde – mit einer leicht veränderten Definition – in der Festkörperphysik zum reziproken Raum erweitert. Dort wird es bei der quantenmechanischen Beschreibung von physikalischen Vorgängen in einem Kristall durch Quasiteilchen eingesetzt.

Definition

Ein 3-dimensionales Punktgitter wird durch drei Basisvektoren $ \vec {a_1} $, $ \vec {a_2} $ und $ \vec {a_3} $ beschrieben. Dieses Gitter wird auch reales oder direktes Gitter genannt. Die Basisvektoren des zu diesem Gitter reziproken Gitters $ \vec {b_1} $, $ \vec {b_2} $ und $ \vec {b_3} $ ergeben sich aus den Gleichungen:

Kristallographie Festkörperphysik
$ \mathbf{b}_1=\frac{ \mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3}{\mathbf{a}_1 \cdot (\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3)} $ $ \mathbf{b}_1= 2\pi \,\frac{\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3}{\mathbf{a}_1 \cdot (\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3)} $
$ \mathbf{b}_2=\frac{\mathbf{a}_3 \times \mathbf{a}_1}{\mathbf{a}_1 \cdot (\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3)} $ $ \mathbf{b}_2=2\pi \,\frac{\mathbf{a}_3 \times \mathbf{a}_1}{\mathbf{a}_1 \cdot (\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3)} $
$ \mathbf{b}_3=\frac{ \mathbf{a}_1 \times \mathbf{a}_2}{\mathbf{a}_1 \cdot (\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3)} $ $ \mathbf{b}_3=2\pi \,\frac{ \mathbf{a}_1 \times \mathbf{a}_2}{\mathbf{a}_1 \cdot (\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3)} $

Hierbei ist $ \mathbf{a}_1 \cdot (\mathbf{a}_2 \times \mathbf{a}_3) $ das Volumen der Elementarzelle. Damit gilt für die kristallographische Definition allgemein: $ \vec {a_i} \cdot \vec{b_j} = \delta_{ij} $

Trägt man die Basisvektoren des realen Gittes (in kartesischen Koordinaten) in die Spalten einer Matrix $ A $ ein, so lässt sich durch Transposition und Inversion eine Matrix $ B $ berechnen, die als Spalten die Basisvektoren des reziproken Gitters enthält.[1] In kristallographischer Definition (ohne Faktor $ 2\pi $):

$ B=(A^T)^{-1} $

Der Unterschied zwischen beiden Definitionen hat seine Ursache in der unterschiedlichen Darstellung des Streuvorgangs. In der Kristallographie wird die einfallende bzw. gestreute Welle in der Regel durch Einheitsvektoren $ \vec {s_0} $ bzw. $ \vec {s_s} $ beschrieben. In einigen Fällen wird auch die Definition $ \vec k = \frac{\vec s}{\lambda} $ verwendet, wobei λ die Wellenlänge der verwendeten Strahlung ist. In der Festkörperphysik werden zur Beschreibung von Wellen generell die Wellenvektoren $ \vec k = \frac{2 \pi \vec s}{\lambda} $ verwendet. Im Folgenden wird die kristallographische Definition benutzt.

Eigenschaften der Basisvektoren

  • Ein Basisvektor bi des reziproken Gitters steht senkrecht auf den beiden anderen Vektoren des realen Gitters. Seine Länge hängt von den Winkeln zwischen den Basisvektoren a ab. Stehen alle Basisvektoren senkrecht aufeinander (kubische, tertagonale und orthorhombische Gitter), beträgt seine Länge 1/ai.
  • Die Koordinaten eines Punktes des reziproken Gitters werden in der Regel mit (h,k,l) bezeichnet.
  • Das zu einem reziproken Gitter reziproke Gitter ist wieder das entsprechende reale Gitter.
  • Das reziproke Gitter eines Bravais-Gitters gehört zum gleichen Kristallsystem wie das reale Gitter, kann aber eine andere Zentrierung haben:
Bravaisgitter reziprokes Gitter
Primitiv (P) Primitiv (P)
Innenzentriert (I) Allseitig Flächenzentriert (F)
Allseitig Flächenzentriert(F) Innenzentriert (I)
Basiszentriert (A,B,C) Basiszentriert (A,B,C)

Verwendung in der Kristallographie

Zusammenhang mit den Millerschen Indizes

Ein Vektor des reziproken Raums (h,k,l) steht senkrecht auf der Schar von Netzebenen mit den Millerschen Indizes (h,k,l). Die Länge des Vektors ist gleich dem reziproken des Netzebenenabstandes. Im reziproken Gitter haben aber auch die Punkte, deren Koordinaten ein gemeinsames Vielfaches besitzen, eine Bedeutung: Die mit (100) und (200) bezeichneten Netzebenenscharen liegen parallel zu einander, die Netzebenen der Schar (200) haben aber nur halb so großen Abstand wie die der Schar (100).

Bragg Gleichung

Die Bragg-Gleichung liefert einen Zusammenhang zwischen dem Netzebenenabstand dhkl und dem Beugungswinkel θ. Die Bragg Gleichung gilt nur für den Fall, dass der einfallende und der gestreute Strahl symmetrisch zur "reflektierenden" Netzebenenenschaar (h,k,l) verlaufen und lautet:

$ n \lambda = 2d_{hkl} \, \sin(\theta) $

In dieser Form liefert sie aber keine Aussagen über die Richtungen der Netzebenen und der einfallenden und gestreuten Welle zueinander. Beschreibt man die einfallende Welle mit $ \vec{k_0} = \frac{\vec{s_0}}{\lambda} $ und die gestreute Welle mit $ \vec{k_s} = \frac{\vec{s_s}}{\lambda} $, so lautet die Bragg-Gleichung in vektorieller Form:

$ \vec k = \vec{k_s}-\vec{k_0}=\vec{G}_{h,k,l} $

Dabei ist $ \vec {G}_{h,k,l} $ der Vektor (h,k,l) des reziproken Gitters und $ \vec k $ der Beugungsvektor.

Allgemein bedeutet diese Gleichung: ein Röntgenstrahl wird genau dann gestreut, wenn der Beugungsvektor $ \vec k $ gleich einem reziproken Gittervektor ist. Dieser Zusammenhang wird mit der Ewaldkugel anschaulich dargestellt.

Historisches

Das polare Gitter („réseau polaire“) als Vorläufer des reziproken Gitters wurde bereits von Auguste Bravais im Rahmen seiner Arbeit über Punktgitter behandelt.[2][3]

Josiah Willard Gibbs führte 1881 den Begriff des reziproken Systems („reciprocal system“) als rein mathematische Konstruktion in seinem Buch Vector Analysis ein.[4] Seine Definition ist identisch mit der oben angegebenen kristallographischen. Paul Peter Ewald war der erste, der dieses Gitter zur Beschreibung von Röntgenreflexen einsetzte.[5] Danach baute er die Theorie weiter aus.[6] Aber erst aufgrund einer Arbeit von John Desmond Bernal[7] wurde diese Konstruktion zur Beschreibung von Braggreflexen allgemein bekannt und etablierte sich.

Anmerkungen zum reziproken Gitter in der Festkörperphysik

Hauptartikel: Reziproker Raum

In der Festkörperphysik werden zur Beschreibung des Kristalls Quasiteilchen eingesetzt. Diese besitzen einen Wellenvektor $ \vec k $ und einen Quasiimpuls $ \hbar \vec k $. Daher werden sie im reziproken Raum beschrieben. In diesem Raum spielt das reziproke Gitter eine wichtige Rolle.

So ist der wesentliche Bereich des reziproken Gitters, in dem die Darstellungen der Quasiteilchen stattfinden, die erste Brillouinzone. Diese ist die Wigner-Seitz-Zelle des reziproken Gitters.

In dieser Beschreibung stellt die Bragg-Gleichung einen Impulserhaltungssatz für Quasiteilchen dar:

Bei der Wechselwirkung zwischen Quasiteilchen muss die Differenz der Impulse vor und nach der Wechselwirkung dem $ \hbar $-fachen eines reziproken Gittervektors entsprechen.

Einzelnachweise

  1.  Rudolf Gross, Achim Marx: Festkörperphysik. 1. Auflage. Oldenburg Verlag, München 2012, ISBN 9783486712940, S. 61–62.
  2. Auguste Bravais: Mémoire sur les systèmes formés par des points distribués régulièrement sur un plan ou dans l’éspace. In: Journal de l'École Polytechnique, Bd. 19 (1850), S. 1–128 ISSN 0368-2013
  3. Definition des polaren Gitters (IUCr, engl.)
  4. Josiah Willard Gibbs: Elements of Vector Analysis arranged for the Use of Students in Physics. Morehouse & Taylor, New Haven, Conn. 1881.
  5. Paul Peter Ewald: Zur Theorie der Interferenzen der Röntgenstrahlen in Kristallen. In: Physikalische Zeitschrift, Bd. 14 (1913), S. 465–472.
  6. Paul Peter Ewald: Das rezibroke Gitter in der Strukturtheorie. In: Zeitschrift für Kristallographie. International Journal for structural, physical and chemical aspects of crystalline materials, Bd. 56 (1921), S. 129–156 ISSN 0044-2968
  7. John Desmond Bernal: On the interpretation of x-ray, single crystal, rotation photographs. In: Proceedings of the Royal Society of London/Serie A, Bd. 113 (1926), Nr. 763, S. 117–160 ISSN 1471-2946

Literatur

  • Lew Dawidowitsch Landau, Jewgeni Michailowitsch Lifschitz: Lehrbuch der theoretischen Physik, Bd. 5: Statistische Physik. 8. Aufl. Akademischer Verlag, Berlin 2008, ISBN 978-3-8171-1330-9.
  • Will Kleber: Einführung in die Kristallographie. 19. Aufl. Oldenbiourg Wissenschaftsverlag, München 2010, ISBN 978-3-486-59075-3 (zusammen mit Hans-Joachim Bautsch und Joachim Böhm).
  • Martin Buerger: Kristallographie („Contemporary crystallography“, 1975). Walter de Gruyter, Berlin 1977, ISBN 3-11-004286-X.

Weblinks