Millersche Indizes

Auswahl millerscher Indizes in einem Würfel

Millersche Indizes dienen in der Kristallographie der eindeutigen Bezeichnung von Kristallflächen bzw. Ebenen im Kristallgitter. Die Schreibweise (hkl) wurde im Jahr 1839 von William Hallowes Miller (1801–1880) vorgeschlagen.^[1] In der gleichen Arbeit führte Miller auch die heute gebräuchlichen Schreibweisen [uvw] für Richtungen (Richtungsindizes) und {hkl} für Kristallformen, d. h. die Menge aller symmetrisch äquivalenten Flächen, ein.

Anwendungen

In der Mineralogie werden sie z. B. verwendet, um Kristallflächen eindeutig zu beschreiben. Auch zur Angabe der Spaltbarkeit oder von Verzwillingungen werden sie benötigt.

Bei Beugungsmethoden, wie der Röntgenbeugung oder der Elektronenbeugung, bezeichnen sie eine Netzebenen-Schar. Hier werden auch höhere Indizes – beispielsweise 222 – eingesetzt, um die Beugung höherer Ordnung anzugeben. Diese Indizes werden als Laue-Indizes, Laue-Symbol oder (im angelsächsischen Sprachraum) als Bragg-Indizes bezeichnet. Sie werden zur Unterscheidung von den nach Definition teilerfremden^[2] millerschen Indizes üblicherweise ohne Klammern geschrieben. Laue-Indizes werden z. B. bei der Angabe von systematischen Auslöschungen verwendet und gehen in die Formel des Strukturfaktors ein.

In der Materialwissenschaft werden sowohl Gitterebenen als auch Gittervektoren benötigt, um Gitterfehler wie Versetzungen zu charakterisieren. Auch Gleitsysteme, Texturen oder die Kristallorientierung von Einkristallen können mit millerschen Indizes beschrieben werden.

Notation

Gitterebene (millersche Indizes)

Drei ganzzahlige Indizes $h$ , $k$ und $l$ bilden das Zahlentriplett $(h k l)$ , dies sind die millerschen Indizes. Negative Indizes werden mit einem über die Zahl geschriebenen Balken gekennzeichnet, also beispielsweise $(\bar{1} 0 \bar{2})$ . Dieses Triplett bezeichnet eine spezifische Ebene.

Sind anstatt einer spezifischen Netzebene alle symmetrisch äquivalenten Ebenen gemeint, so wird die Notation ${h k l}$ verwendet. Beispielsweise bezeichnet man mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \{1 0 0\}\!\, im kubischen Kristallsystem die aufgrund der kubischen Symmetrie äquivalenten Ebenen $(100)$ , $(\bar{1} 00)$ , $(010)$ , $(0 \bar{1} 0)$ , $(001)$ und $(00 \bar{1})$ , was den sechs Oberflächen eines Würfels entspricht.

Jeder Netzebenen-Schar $(h k l)$ im direkten Gitter entspricht ein Punkt bzw. Ortsvektor im reziproken Gitter des Kristalls. Dieser Vektor hat im reziproken Raum die Koordinaten $h, k, l$ ; er steht immer senkrecht auf der gleichnamigen Netzebene und hat als Länge den Kehrwert des Netzebenabstandes.

Gittervektoren (Richtungsindizes)

Auch Vektoren innerhalb des Gitters können durch Indizes bezeichnet werden. Dabei wird die Notation $[u v w]$ verwendet, um einen spezifischen Vektor zu bezeichnen. Die Notation $⟨ u v w ⟩$ bezeichnet alle zum Vektor $[u v w]$ symmetrisch äquivalenten Richtungen.

Beispiele: Bei einem kubischen Kristall (also einem Würfel) ist $[100]$ eine Richtung parallel zu einer der Würfelkanten, $[110]$ die Richtung einer der Flächendiagonalen und $[111]$ die Richtung einer Raumdiagonalen.

Definition

Abhängig von seinem Kristallsystem wird jedem Kristall ein Koordinatensystem zugeordnet. Die drei Vektoren $\vec{a_{1}}$ , $\vec{a_{2}}$ und $\vec{a_{3}}$ mögen die Basis dieses Gitterkoordinatensystems bilden (nicht zu verwechseln mit den primitiven Translationen des Gitters). Die Basis des zugehörigen reziproken Gitters sei durch die Vektoren $\vec{g_{1}}$ , $\vec{g_{2}}$ und $\vec{g_{3}}$ gegeben.

Gitterebene

Es ergeben sich zwei äquivalente Möglichkeiten, eine Gitterebene zu definieren.

Betrachtet man eine Ebene mit den Spurpunkten $s_{1} \vec{a_{1}}$ , $s_{2} \vec{a_{2}}$ und $s_{3} \vec{a_{3}}$ , so ist die Achsenabschnittsform gegeben durch:

\frac{1}{s_{1}} x_{1} + \frac{1}{s_{2}} x_{2} + \frac{1}{s_{3}} x_{3} = 1

Hierbei ist $\vec{n} = (\begin{matrix} \frac{1}{s_{1}} \\ \frac{1}{s_{2}} \\ \frac{1}{s_{3}} \end{matrix})$ ein Normalenvektor der Ebene. Man bilde nun ein Vielfaches dieses Normalenvektors, sodass alle Einträge dieses Vielfachen des Normalenvektors ganze teilerfremde Zahlen sind. Sei dies z. B. im Folgenden durch die ganze Zahl $j$ gewährleistet (möglich, da die $s_{i} \in Z$ , da die Schnittpunkte auf dem Kristallgitter liegen sollen), dann gilt

\vec{n_{2}} = (\begin{matrix} \frac{j}{s_{1}} \\ \frac{j}{s_{2}} \\ \frac{j}{s_{3}} \end{matrix}) = (\begin{matrix} h \\ k \\ l \end{matrix})

Das Tupel (hkl) heißt nun millersche Indizes^[3]. Negative Zahlen werden dabei durch einen Strich über dem zugehörigen Index anstelle des Minuszeichens gekennzeichnet. Ein Index von Null bezeichnet dabei einen Schnittpunkt im Unendlichen (wie man aus der Achsenabschnittsform sieht), d. h., der zugehörige Basisvektor ist parallel zur Ebene.

Die andere Möglichkeit ist, mit $(h k l)$ den reziproken Gittervektor

h \vec{g_{1}} + k \vec{g_{2}} + l \vec{g_{3}}

zu bezeichnen. Dieser Vektor steht senkrecht auf den entsprechenden Gitterebenen.

Dabei werden diejenigen ganzen Zahlen $h$ , $k$ und $l$ verwendet, die keinen gemeinsamen Teiler mehr haben. Dies entspricht dem kürzesten reziproken Gittervektor, der senkrecht auf der Ebene steht.

Gittervektor

Entsprechend beschreibt die Notation $[u v w]$ einen Vektor im realen Gitter (Gittervektor)

u \vec{a_{1}} + v \vec{a_{2}} + w \vec{a_{3}} .

Dieser Vektor steht im Allgemeinen nicht senkrecht auf der Ebene $(u v w)$ . Dies ist nur im kubischen Gitter der Fall.

Vierer-Schreibweise

Millersche Indizes im hexagonalen Kristallsystem

Im trigonalen Kristallsystem und im hexagonalen Kristallsystem wird häufig die Schreibweise mit vier Indizes, $(H K I L)$ verwendet. Diese abgewandelten millerschen Indizes werden als Bravaissche Indizes (auch Bravais-Miller-Indizes oder Miller-Bravais-Indizes) bezeichnet. Die Indizes $H$ , $K$ und $L$ stimmen mit den üblichen millerschen Indizes überein, $I$ ergibt sich immer als $- (H + K)$ .

Auch für die Richtungsindizes gibt es eine Vierer-Schreibweise. In der Kristallographie und Mineralogie werden meist die normalen Richtungsindizes [uv.w] oder [uv*w] verwendet, wobei durch einen Platzhalter für $t$ angedeutet wird, dass das trigonale bzw. hexagonale Kristallsystem gemeint ist. t ist dabei immer null. In den Werkstoffwissenschaften wird eine andere Schreibweise $[U V T W]$ bevorzugt, die sogenannten Weber-Indizes oder Weber symbols (engl.). Die Umrechnung aus der Dreier-Schreibweise $[u v w]$ ist hier unterschiedlich zur Umrechnung der Ebenen-Indizes:

\begin{aligned} U & = 2 u - v \\ V & = 2 v - u \\ T & = - (u + v) \\ W & = 3 w . \end{aligned}

Der Vorteil dieser Schreibweise liegt darin, dass der Vektor $[U V T W]$ , ähnlich wie in kubischen Kristallsystemen, senkrecht auf der Ebene $(U V T W)$ steht. In der Dreier-Schreibweise ist dies in diesen Kristallsystemen im Allgemeinen nicht der Fall.

Einzelnachweise

↑ William Hallowes Miller: A treatise on crystallography. Deighton, Cambridge 1839, LCCN 04-30688, OCLC 8547577 (Volltext in der Google Buchsuche).
↑ Max von Laue: Röntgenstrahl-Interferenzen. 3. Auflage. Frankfurt am Main 1960, S. 114.
↑ Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 3: Atome, Moleküle und Festkörper. Springer, 2005, ISBN 3540214739, S. 386 (eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche).

Literatur

Charles Kittel: Introduction to solid state physics. 7. Aufl. Wiley, New York 1996. ISBN 0-471-11181-3.
Werner Schatt, H. Worch: Werkstoffwissenschaft. 8. Aufl. Dt. Verl. für Grundstoffindustrie, Stuttgart 1996. ISBN 3-342-00675-7.
Hans-Joachim Bautsch, Will Kleber, Joachim Bohm: Einführung in die Kristallographie. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 1998 (eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche).
Christopher Hammond: The basics of crystallography and diffraction. Oxford University Press, Oxford 2001, ISBN 978-0-19-850552-5 (eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche).

Weblinks

Commons: Miller Index – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

IUCr Online Dictionary of Crystallography: Miller indices
IUCr Online Dictionary of Crystallography: Bravais-Miller indices
Richtungen und Ebenen im Gitter bei der Universität Kiel
Videovorlesung der Universität Tübingen

[1] William Hallowes Miller: A treatise on crystallography. Deighton, Cambridge 1839, LCCN 04-30688, OCLC 8547577 (Volltext in der Google Buchsuche).

[2] Max von Laue: Röntgenstrahl-Interferenzen. 3. Auflage. Frankfurt am Main 1960, S. 114.

[3] Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 3: Atome, Moleküle und Festkörper. Springer, 2005, ISBN 3540214739, S. 386 (eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche).

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