Millikan-Versuch

Typischer Versuchsaufbau, wie er heute von Schülern und Studenten verwendet wird

Beim Millikan-Versuch handelt es sich um ein Experiment, mit dem es dem amerikanischen Physiker Robert Andrews Millikan 1910 gelang, die Größe der Elementarladung $ e $ relativ präzise zu bestimmen.^[1][2] Für diese Leistung erhielt er 1923 den Nobelpreis für Physik.

Millikan griff dazu auf zuvor von Harold Albert Wilson, Joseph John Thomson und anderen Forschern durchgeführte Versuche^[3] zurück, die er maßgeblich verbesserte. Seine wichtigste Verbesserung bestand darin, die zuvor eingesetzten Stoffe Wasser bzw. Alkohol durch schwerflüchtige Flüssigkeiten wie Öl und Quecksilber zu ersetzen.^[4] Um die Elementarladung $ e $ zu bestimmen, maß Millikan in seinem Versuch die Steig- bzw. Sinkgeschwindigkeit von elektrisch aufgeladenen Öltröpfchen bei ein- und ausgeschaltetem elektrischem Feld. Er ermittelte einen Wert der Elementarladung von

$ e=4{,}774\cdot 10^{-10} $ ESU $ =1{,}592\cdot 10^{-19} $ Coulomb^[5].

Seit Millikans Zeiten wurde sein Versuchsaufbau wiederholt durch präzisere Methoden der Elementarladungsbestimmung ersetzt. Die Elementarladung kann heute sehr genau beispielsweise aus dem Quanten-Hall-Effekt bestimmt werden. Der genaueste Wert dieser physikalischen Naturkonstanten beträgt heute e = 1,602 176 565 (35) · 10⁻¹⁹ C.^[6]

Versuchsaufbau und prinzipielle Vorgehensweise

Schematischer Versuchsaufbau des Millikan-Versuchs bei Verwendung der „Zweifeldmethode“

Aufnahme der Öltröpfchen (helle Punkte), die Skala hat eine Gesamtlänge von 0,98 Millimeter

Elektrisch geladene Tröpfchen im Feld eines Plattenkondensators

Mit einem Zerstäuber werden zunächst feinste Öltröpfchen erzeugt, die so klein (etwa 0,5 µm) sind, dass man sie mit einem herkömmlichen Mikroskop nicht mehr direkt beobachten kann. Um sie dennoch zu verfolgen, bedient man sich der Dunkelfeldmethode, bei der man die Öltröpfchen in einem Winkel von etwa 150° zum Betrachter, also aus fast entgegengesetzter Richtung beleuchtet und die dabei entstehenden Beugungsscheibchen im Mikroskop verfolgt (wobei zu beachten ist, dass das Mikroskop oben und unten vertauscht, man also die Beugungsscheibchen sinkender Öltröpfchen nach oben wandern sieht und umgekehrt). Wenigstens ein Teil der Öltröpfchen muss dabei elektrisch geladen sein, was in Millikans Versuchsaufbau durch eine Röntgenröhre erreicht wurde, deren ionisierende Strahlung die Öltröpfchen elektrostatisch auflud. In der Regel aber genügt schon die Reibung der Öltröpfchen aneinander beim Zerstäuben oder an der Luft, um sie hinreichend aufzuladen. Anschließend gelangen die Tröpfchen in das Innere eines Plattenkondensators, in dem zunächst einmal alle Tröpfchen zwei Kräften ausgesetzt sind: zum einen der die Tröpfchen nach unten ziehenden Gravitationskraft, zum anderen der dem archimedischen Prinzip zufolge wirkenden Auftriebskraft der Tröpfchen in der Luft, die sie nach oben zieht. Schaltet man schließlich das elektrische Feld des Kondensators ein, kommt als dritte, nur auf die geladenen Öltröpfchen wirkende Kraft die Coulomb-Kraft des elektrischen Feldes hinzu, die die Tröpfchen je nach Polung des Kondensators nach oben oder unten zieht.

Der nicht erreichbare Schwebefall

Montiert man die Platten des Kondensators horizontal übereinander, kann man durch Anlegen einer geeigneten Spannung an die Platten eine elektrische Kraft auf die Tröpfchen ausüben, die die Summe der beiden erstgenannten Kräfte kompensiert, die nach unten wirkenden Gewichtskraft $ F_{\mathrm {G} } $ sich also die Waage mit der Summe der elektrischen Kraft $ F_{\mathrm {E} } $ sowie der Auftriebskraft $ F_{\mathrm {A} } $ hält und das betreffende Öltröpfchen damit im Prinzip schwebt.

Durch Lösen der Gleichung $ F_{\mathrm {E} }=F_{\mathrm {G} }-F_{\mathrm {A} } $ könnte nun also vom Grundsatz her die Ladung der Öltröpfchen bestimmt werden – praktisch aber scheitert das daran, dass die Beugungsscheibchen im Mikroskop keinerlei Rückschlüsse auf den Radius der Öltröpfchen zulassen, die rechte Seite der Gleichung also unbestimmt bleibt. Hinzu kommt, dass der Schwebezustand aufgrund der brownschen Bewegung nur schwer exakt zu erkennen ist.

Indirekte Bestimmung des Tröpfchenradius über die stokessche Reibung

Um den Radius der Tröpfchen dennoch zu ermitteln, kann man den Umstand nutzen, dass sich nicht nur durch das elektrische Feld im Kondensator, sondern auch durch den Einfluss der geschwindigkeitsabhängigen stokesschen Reibungskraft ein Kräftegleichgewicht einstellt, allerdings nun nicht in Form eines Schwebezustands der betreffenden Öltröpfchen, sondern einer konstanten Geschwindigkeit $ v $ ihres Fallens bzw. Steigens.

In der Praxis gibt es dazu zwei verschiedene Verfahren: Bei der „Einfeldmethode“ misst man nach angenähert erreichtem Schwebezustand eines ausgewählten Öltröpfchens seine Fallgeschwindigkeit allein aufgrund der Schwerkraft, bei der „Zweifeldmethode“ dagegen lässt man das Öltröpfchen zunächst einmal vom Feld des Kondensators nach unten und (nach Umpolen des Feldes) anschließend wieder nach oben ziehen, wobei man jeweils die Sinkgeschwindigkeit $ v_{1} $ sowie Steiggeschwindigkeit $ v_{2} $ des Tröpfchens protokolliert.

Herleitung der Zusammenhänge

Sinken im Feld

Steigen im Feld

Es existieren zwei Varianten des Versuchs, die Schwebe- (oder Einfeld-) und die Gleichfeldmethode (oder Zweifeldmethode). Bei der Schwebemethode wird eine Geschwindigkeit zu Null gewählt und die zweite Geschwindigkeit sowie die für den Stillstand benötigte Spannung gemessen. Bei der Zweifeldmethode wird der Betrag der Spannung fest vorgegeben und die zwei Geschwindigkeiten bei Umpolung des elektrischen Feldes gemessen. Die Zweifeldmethode ist dabei die üblichere.

Bei der Bewegung des Öltröpchens treten folgende Kräfte auf, die in den Bildern grafisch veranschaulicht werden:

1. Gewichtskraft eines kugelförmigen Öltröpfchens: $ F_{G}=mg={\frac {4}{3}}\pi r^{3}\rho _{O}g $
2. Auftriebskraft einer Kugel in Luft: $ F_{A}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}\rho _{L}g $
3. Coulomb-Kraft im elektrischen Feld: $ F_{E}=qE={\frac {qU}{d}} $
4. Stokessche Reibungskraft: $ F_{R,1/2}=6\pi \eta rv_{1/2} $

Die darin vorkommenden Größen sind wie folgt definiert:

• $ \pi $ = Kreiszahl
• $ \rho _{O} $ = Dichte des Öls
• $ \rho _{L} $ = Dichte der Luft
• $ g $ = Erdbeschleunigung
• $ U $ = Spannung am Plattenkondensator
• $ d $ = Plattenabstand des Plattenkondensators
• $ \eta $ = Viskosität der Luft
• $ v_{1} $ = Betrag der Sinkgeschwindigkeit des Öltröpfchens
• $ v_{2} $ = Betrag der Steiggeschwindigkeit des Öltröpfchens

Die Schwebemethode

Ein ausgewähltes Öltröpfchen wird durch Variation der Kondensatorspannung annähernd zum Stillstand (Schweben) gebracht und anschließend bei ausgeschaltetem elektrischem Feld seine Fallgeschwindigkeit gemessen. Sobald sich beim Fallen des Öltröpfchens ein Gleichgewicht zwischen Reibung, Auftrieb und Gewicht eingestellt hat, gilt:

$ F_{R}=F_{G}-F_{A} $

Einsetzen der bekannten Zusammenhänge ergibt:

$ 6\pi \eta v_{1}r={\frac {4}{3}}r^{3}\pi \left(\rho _{O}-\rho _{L}\right)g $

Umstellen nach $ r $ ergibt:

$ r={\sqrt {\frac {9v_{1}\eta }{2\left(\rho _{O}-\rho _{L}\right)g}}} $

Damit ist der Radius der Öltröpchen alleine aus der messbaren Fallgeschwindigkeit bestimmbar. Um zur Ladung zu gelangen, wird nun der Schwebezustand betrachtet. In diesem gilt analog der obigen Formel die Gleichung:

$ F_{E}=F_{G}-F_{A} $

da sich nun die elektrische Kraft im Gleichgewicht mit Gewichts- und Auftriebskraft befindet. Einsetzen der Zusammenhänge für die Kräfte, ergibt:

$ {\frac {qU}{d}}={\frac {4}{3}}r^{3}\pi \left(\rho _{O}-\rho _{L}\right)g $

Das kann nach der Ladung umgeformt werden:

$ q={\frac {\left(\rho _{O}-\rho _{L}\right){\frac {4}{3}}\pi r^{3}gd}{U}} $

Einsetzen der Gleichung für $ r $ in die Gleichung für $ q $ liefert eine Gleichung für die Ladung, die nur noch von den messbaren Größen Spannung und Fallgeschwindigkeit abhängt:

$ q={\frac {9\pi d}{U}}{\sqrt {\frac {2\eta ^{3}v_{1}^{3}}{\left(\rho _{O}-\rho _{L}\right)g}}} $

Somit kann aus den Messgrößen direkt die Ladung und der Radius berechnet werden.

Die Gleichfeldmethode

Bei gegebener Kondensatorspannung wird für ein ausgewähltes sich zunächst nach unten bewegendes Öltröpfchen seine Sinkgeschwindigkeit $ v_{1} $ und anschließend, nach Umpolung des elektrischen Feldes bei betragsmäßig beibehaltener Kondensatorspannung, seine Steiggeschwindigkeit $ v_{2} $ bestimmt. Im Falle des Sinkens gilt:

$ F_{G}+F_{E}=F_{R,1}+F_{A} $

Im Falle des Steigens gilt:

$ F_{G}+F_{R,2}=F_{E}+F_{A} $

Subtrahieren der beiden Gleichungen voneinander, Einsetzen der bekannten Zusammenhänge und Auflösen nach $ r $ liefert:

$ r={\frac {qU}{3\pi d\eta \left(v_{1}+v_{2}\right)}} $

Einsetzen dieser Gleichung in eine der beiden Kraftgleichungen liefert eine Gleichung für die Ladung

$ q={\frac {9\pi d}{2U}}{\sqrt {\frac {(v_{1}-v_{2})\eta ^{3}}{\left(\rho _{O}-\rho _{L}\right)g}}}(v_{1}+v_{2}) $

Einsetzen der Gleichung für $ q $ in die Gleichung für $ r $ liefert für den Radius

$ r={\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {(v_{1}-v_{2})\eta }{\left(\rho _{O}-\rho _{L}\right)g}}} $

Nun sind sowohl Radius als auch Ladung allein durch messbare Größen bestimmbar.

Cunningham-Korrektur

Da die Größe der Öltröpfchen im Bereich der mittleren freien Weglänge von Luft liegt, sollte für die Stokessche Reibung noch die Cunningham-Korrektur berücksichtigt werden.^[7] Dabei wird die Reibungskraft um einen Term erweitert, der im Normalfall bei großen Körpern vernachlässigt werden kann:

$ F_{\mathrm {R} }\rightarrow F_{\mathrm {R} }\left(1+{\frac {1,257\cdot \lambda }{r}}\right)^{-1} $

wobei $ \lambda $ die mittlere freie Weglänge von Luft und $ r $ der Tröpfchenradius ist. Die Gleichungen müssen nun neu gelöst werden und werden etwas komplexer, aber auch signifikant genauer.

Bestimmung der Elementarladung

Messergebnisse der Tröpfchenladung beim Millikan-Versuch

Da jedes Öltröpfchen aus einer größeren Anzahl von Atomen besteht und nicht nur eine, sondern auch mehrere Ladungen tragen kann, ist jede berechnete Ladung $ q $ eines Öltröpfchens ein ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung. Zeichnet man die Ladungsverteilung vieler Versuche in ein Schaubild ein, ergibt sich keine kontinuierliche Verteilung. Es zeigt sich, dass nur Vielfache der Elementarladung $ e=1{,}602\cdot 10^{-19}\,\mathrm {C} $ auftreten können.

Eine einzelne Elementarladung auf einem Teilchen lässt sich nur dann beobachten, wenn die Spannung hoch genug ist, um gerade noch sichtbare Öltröpfchen mit einer Elementarladung mindestens im Schwebezustand zu halten. Das ist in den meisten Versuchsaufbauten nicht der Fall.

Weblinks

Commons: Millikan-Versuch – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Vorlage:Commonscat/WikiData/Difference

• On the Elementary Electrical Charge and the Avogadro Constant (engl.) - Informationen zu Robert Millikan inklusive der Original-Publikation, erschienen 1913 im Physical Review ^[5]
• Remotely Controlled Lab (RCL) (Realexperiment, über das Internet fernbedienbar, siehe dort unter "RCLs")
• Millikan-Versuch auf der Website der Universität des Saarlandes (PDF-Datei; 116 kB)
• Öltröpfchenversuch von Millikan auf www.leifiphysik.de
• Materialien zum Millikan-Versuch zusammengestellt von T. Unkelbach
• Beschreibung des Millikan-Versuchs bei Lern-Online.net (PDF-Datei; 250 kB)

Quellen