Ewaldkugel
Mit Hilfe der Ewald-Kugel (benannt nach Paul Peter Ewald) lässt sich die Bragg-Bedingung für konstruktive Interferenz bei der Streuung an einem Kristall anschaulich darstellen. Die Konstruktion verknüpft dabei den realen und den reziproken Raum. Im Folgenden wird die kristallographische Definition des reziproken Gitters verwendet ($ |{\vec {k}}|={\frac {1}{\lambda }} $ anstatt der in der Festkörperphysik üblichen $ |{\vec {k}}|={\frac {2\pi }{\lambda }} $.)
Die Kugel wird wie folgt konstruiert (vgl. die Abbildung): Im Zentrum der Ewaldkugel liegt der Ursprung des Realraums, in dem sich der zu messende Kristall befindet (im Bild grün gezeichnet). Der Radius der Ewaldkugel beträgt 1/λ, wobei λ die Wellenlänge des Röntgenstrahls ist. Daher liegen alle Wellenvektoren $ {\vec {k}} $ mit $ |{\vec {k}}|={\frac {1}{\lambda }} $ auf der Oberfläche dieser Kugel (im Bild rot gezeichnet). Der Ursprung des zu diesem Kristallgitter gehörenden reziproken Gitters (Punkte im Bild) wird in den Schnittpunkt der Ewaldkugel mit dem durch den Kristall gehenden primären Röntgenstrahl gelegt (im Bild blau gezeichnet). Der Röntgenstrahl läuft daher immer entlang eines Kugeldurchmessers. Drehungen des Kristalls um den Ursprung des realen Raums führen zu einer entsprechenden Drehung des reziproken Gitters um den Ursprung des reziproken Raums. Reziprokes Gitter und Kristall behalten dabei dieselbe Orientierung bei. Wird der Kristall so gedreht, dass noch ein weiterer Punkt des reziproken Gitters auf der Oberfläche der Ewaldkugel liegt, erfüllt der entsprechende Wellenvektor $ {\vec {k_{s}}} $ zusätzlich die Bedingung
- $ \Delta {\vec {k}}={\vec {k_{s}}}-{\vec {k_{i}}}={\vec {G}} $ (ein Vektor des reziproken Gitters).
Dies ist die Bragg-Bedingung. Genau in diesem Fall findet also Braggstreuung in Richtung von $ {\vec {k_{s}}} $ statt.
Diese Konstruktion dient zur Veranschaulichung vieler Messverfahren in der Kristallographie. Aus ihr wird zum Beispiel ersichtlich, dass nur die Punkte des reziproken Gitters, die in einer Entfernung kleiner $ 2|{\vec {k_{s}}}| $ vom Ursprung entfernt liegen, die Braggbedingung erfüllen können (im Bild durch den schwarzen Kreis, der Lagenkugel mit Radius 2/λ, dargestellt). So wird auch anschaulich klar, warum bei großen Wellenlängen $ \lambda $ (d.h. kleiner Wellenzahl k) keine Beugung am Kristall stattfinden kann: Es gibt keine möglichen Vektoren $ {\vec {G}} $ mehr, die die Bragg-Bedingung erfüllen können, da die Ewald-Kugel zu klein wird.
Siehe auch
Literatur
- P. P. Ewald: Zur Theorie der Interferenzen der Röntgentstrahlen in Kristallen. In: Physik. Z. 14, 1913, S. 465-472.
- Martin J. Buerger: Kristallographie. 1 Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 1977, ISBN 3-11-004286-x.