Elektrischer Widerstand

Dieser Artikel betrachtet Widerstand als physikalische Eigenschaft; zu dem gleichnamigen elektrischen Bauelement siehe Widerstand (Bauelement).

Der elektrische Widerstand ist in der Elektrotechnik ein Maß dafür, welche elektrische Spannung erforderlich ist, um einen bestimmten elektrischen Strom durch einen elektrischen Leiter (Widerstand) fließen zu lassen. Als Formelzeichen für den elektrischen Widerstand wird in der Regel R – abgeleitet vom Lateinischen resistere für „widerstehen“ – verwendet. Der Widerstand hat die SI-Einheit Ohm, ihr Einheitenzeichen ist das große Omega (Ω).

Verwandt mit dem Widerstand ist der spezifische elektrische Widerstand (Formelzeichen ρ). Bei dieser Größe handelt es sich um eine von der Spannung unabhängige Materialkonstante (zu anderen Einflussgrößen siehe unten). Sie ermöglicht eine von der geometrischen Form des ausgeführten Leiters unabhängige Beschreibung der Widerstandseigenschaft.

Auf historische Zusammenhänge wird im Artikel „Ohmsches Gesetz“ eingegangen.

Ohmscher Widerstand

Grundlegende Zusammenhänge

Ein ohmscher Widerstand ist ein elektrischer Widerstand, dessen Widerstandswert im Idealfall unabhängig von der Spannung, der Stromstärke und der Frequenz ist. An einem solchen ohmschen Widerstand gilt das ohmsche Gesetz für beliebige Spannungen, Ströme und Frequenzen. Wenn man die Spannung U über der Stromstärke I in Form eines U-I-Diagramms aufträgt, erhält man eine Ursprungsgerade, der Zusammenhang ist also direkt proportional:

$ R={\frac {U}{I}}={\text{const.}}\ ;\quad U=R\cdot I\ ;\quad I={\frac {U}{R}}. $

Näherungsweise und mit Einschränkungen kann ein ohmscher Widerstand durch ein Bauelement, im einfachsten Fall einen Metalldraht, realisiert werden, das üblicherweise ebenfalls einfach Widerstand – siehe Widerstand (Bauelement) – genannt wird.

Wenn Strom durch einen Widerstand fließt und Spannung daran abfällt, wird elektrische Leistung gemäß

$ P=U\cdot I={\frac {U^{2}}{R}}=I^{2}\cdot R $

in Wärmeleistung umgesetzt.

Der Kehrwert des ohmschen Widerstands, also der Proportionalitätsfaktor zwischen Stromstärke und Spannung, heißt elektrischer Leitwert G eines Leiters. Es gilt also:

$ G={\frac {1}{R}}. $

Berechnung des Widerstands eines Leiters

Der ohmsche Widerstand eines Körpers lässt sich aus seinen geometrischen Abmessungen und einer materialspezifischen Konstante, dem spezifischen Widerstand ρ, berechnen.

Für einen in Längsrichtung durchflossenen geraden Leiter mit konstanter Querschnittsfläche A und der Länge l gilt:

$ R=\rho \cdot {\frac {l}{A}} $

Der spezifische Widerstand selbst ist im Allgemeinen von der Temperatur und eventuell noch weiteren Größen abhängig.

Einflusseffekte

1. Ein Einfluss der Spannung auf den zuvor beschriebenen Widerstand ist nicht bekannt. Ganz anders sieht das bei nicht linearen Widerständen, z. B. Halbleitern, aus; siehe unten: Differentieller Widerstand. Ein Spannungseinfluss auf den Widerstand einer Glühlampe ergibt sich indirekt über den Temperatureinfluss.
2. Ein Einfluss der Frequenz ergibt sich erst bei höheren Frequenzen durch den Skineffekt. Ganz anders sieht das bei Wechselstromwiderständen aus; siehe unten. Zur Abgrenzung bezeichnet man den ohmschen Widerstand auch als Gleichstromwiderstand.
3. Ein Einfluss der Temperatur ist häufig zu beachten:

Die oben aufgestellte Gleichung für den Gleichstromwiderstand eines geraden Leiters ersetzt man dann beispielsweise durch

$ R_{20}=\rho _{20}\cdot {\frac {l}{A}}\ , $

wobei der Index die Temperatur kennzeichnet, für die die Größen gelten. In Tabellenbüchern ist die übliche Bezugstemperatur 20 °C. Die Werte sind abhängig von Reinheitsgrad und mechanischer Behandlung, und die Tabellenwerte sind nur als Richtwerte zu verstehen.

Beispiele für spezifischen Widerstand und Temperaturkoeffizient bei 20 °C

Material	ρ20 in (Ω·mm²)/m	α20 in 1/K
Silber	16,5 × 10−3	3,8 × 10−3
Kupfer	17,8 × 10−3	3,9 × 10−3
Silizium	2,3 × 109	−75 × 10−3

Der Einfluss der Temperatur t auf den Widerstand R(t) lässt sich in einfachen Fällen mit dem Linear-Temperaturkoeffizienten α und dem Temperaturunterschied $ \Delta t=t-t_{0} $ darstellen. Dann beschreibt man den Zusammenhang durch eine lineare Gleichung

$ R(t)=R(t_{0})(1+\alpha _{t_{0}}\cdot (t-t_{0})) $

bei

$ t_{0}=20\,^{\circ }\mathrm {C} \ . $

Für die meisten Anwendungen mit metallischen Materialien bei nicht zu großen Temperaturbereichen reicht diese lineare Näherung aus; sonst sind Glieder höherer Ordnungen in die Gleichung einzubeziehen. (Ein Beispiel mit Summanden bis zur vierten Potenz siehe Platin im Artikel Widerstandsthermometer.)

Je nachdem, ob der Widerstandswert mit steigender Temperatur größer oder kleiner wird, unterscheidet man zwischen Kaltleitern oder PTC (Widerstandswert steigt, prinzipiell bei allen Metallen; engl. positive temperature coefficient) und Heißleitern oder NTC (Widerstandswert sinkt; engl. negative temperature coefficient).

In der Mess- und Regelungstechnik wird die Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstandes ausgenutzt, zum Beispiel bei Widerstandsthermometern, thermischen Anemometern, Thermostaten oder Einschaltstrombegrenzern.

Es gibt auch verschiedene spezielle Legierungen, die sich durch einen über weite Temperaturbereiche annähernd konstanten spezifischen elektrischen Widerstand auszeichnen, wie das für einen Messwiderstand erforderlich ist.

Wechselstromwiderstand

Darstellung

An einem linearen, rein ohmschen Widerstand R, der von Wechselstrom durchflossen wird, sind Spannung und Strom in Phase. Wenn allerdings eine frequenzabhängige Phasenverschiebung und Widerstandsänderung auftritt, kommt als Anteil am Widerstand eine Komponente X hinzu, die auf Spannungs- bzw. Stromänderungen verzögernd reagiert. Bei sinusförmigem Verlauf von Spannung und Strom wird der Quotient aus den Amplituden oder Effektivwerten als Scheinwiderstand Z bezeichnet. In der komplexen Wechselstromrechnung wird der Scheinwiderstand mit dem Phasenverschiebungswinkel $ \scriptstyle {\varphi _{z}} $ als Impedanz oder komplexer Widerstand $ \scriptstyle {\underline {Z}} $ zusammengefasst.

$ {\underline {Z}}=Z\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} \varphi _{z}} $

In einer anderen Darstellung werden die zwei Komponenten in der komplexen Ebene zueinander rechtwinklig zu $ \scriptstyle {\underline {Z}} $ zusammengefasst,

$ {\underline {Z}}=R+\mathrm {j} X $

Darin werden R als Wirkwiderstand und X als Blindwiderstand bezeichnet. Der Wirkwiderstand, welcher nicht phasenverschiebend arbeitet, wird auch als ohmscher Anteil der Impedanz bezeichnet.

Umrechnungen

Werden die Spannung $ \scriptstyle {u(t)} $ und der Strom $ \scriptstyle {i(t)} $ als sinusförmige Größen mit der Frequenz $ \scriptstyle f $ bzw. der Kreisfrequenz $ \scriptstyle {\omega =2\pi f} $ in der komplexen Ebene durch Zeiger $ \scriptstyle {{\underline {u}}(\omega t)} $ und $ \scriptstyle {{\underline {i\,}}(\omega t)} $ dargestellt, so erhält man

$ {\underline {Z}}={\frac {\underline {u}}{\underline {i}}}={\frac {{\hat {u}}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} (\omega t+\varphi _{u})}}{{\hat {\imath }}\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} (\omega t+\varphi _{i})}}}=Z\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {j} (\varphi _{u}-\varphi _{i})}=Z\cdot (\cos \varphi _{z}+\mathrm {j} \sin \varphi _{z}) $

mit

$ \varphi _{u}-\varphi _{i}\!\,=\varphi _{z}\ . $

Durch Vergleich der beiden Darstellungen von $ {\underline {Z}} $ erhält man

$ \operatorname {Re} ({\underline {Z}})=Z\cdot \cos(\varphi _{z})=R $ (Wirkwiderstand)

$ \operatorname {Im} ({\underline {Z}})=Z\cdot \sin(\varphi _{z})=X $ (Blindwiderstand)

Es ergeben sich der Scheinwiderstand:

$ Z=|{\underline {Z}}|={\frac {|{\underline {u}}|}{|{\underline {i}}|}}={\frac {\hat {u}}{\hat {\imath }}}={\frac {u_{\text{eff}}}{i_{\text{eff}}}} $

oder

$ Z={\sqrt {R^{2}+X^{2}}} $

und der Phasenverschiebungswinkel zwischen $ {\underline {u}} $ und $ {\underline {i\,}} $:

$ \varphi _{z}=\arctan \left({\frac {X}{R}}\right)\ . $

Man bezeichnet auch

$ X=X_{C}\ $ = kapazitiver Blindwiderstand

oder

$ X=X_{L}\ $ = induktiver Blindwiderstand.

Wie weiter unten gezeigt wird, ist

$ X_{L}\geq 0 $ und $ X_{C}\leq 0\ . $

Sonderfälle

• Für R = 0 ergibt sich:

$ \varphi _{z}=\arctan \left({\frac {X}{0}}\right) $

• Für X > 0 ist $ \varphi _{z}=+90^{\circ } $ und $ {\underline {Z}}=\mathrm {j} Z=\mathrm {j} X $ ;

• für X < 0 ist $ \varphi _{z}=-90^{\circ } $ und $ {\underline {Z}}=-\mathrm {j} Z=\mathrm {j} X $.

• Für X = 0 ergibt sich:

$ \varphi _{z}=\arctan \left({\frac {0}{R}}\right)=\arctan(0)=0^{\circ } $

$ {\underline {Z}}=Z=R $

Ursachen der komplexen Widerstände

Bei einer Spule mit der Induktivität L gilt

$ u=L\ {\frac {\mathrm {d} i}{\mathrm {d} t}} $

Aufgrund einer Spannung wächst der Strom mit der Zeit an. Bei Wechselstrom folgt dieser verzögert.
Mit dem Ansatz in komplexer Schreibweise $ {\underline {u}} $ und $ {\underline {i\,}} $ wie oben erhält man nach der Differenziation

$ {\underline {u}}=\mathrm {j} \omega L\cdot {\underline {i}} $

$ {\frac {\underline {u}}{\underline {i}}}=\mathrm {j} \omega L=\mathrm {j} X_{L}\ ;\quad X_{L}=\omega L\geq 0 $

Das bedeutet, dass eine Induktivität für sinusförmige Wechselgrößen wie ein phasendrehender Blindwiderstand wirkt. Mit $ \mathrm {j} =\mathrm {e} ^{\mathrm {j\pi } /2}\ $ ergibt sich $ \varphi _{z}=\mathrm {\pi } /2=+90^{\circ } $ .

Entsprechend gilt bei einem Kondensator mit der Kapazität C

$ u={\frac {1}{C}}\int i\mathrm {d} t $

Aufgrund eines Stromes wächst die Spannung mit der Zeit an. Bei Wechselspannung folgt diese verzögert.
Man erhält in komplexer Schreibweise und nach der Integration

$ {\underline {u}}={\frac {1}{\mathrm {j} \omega C}}\cdot {\underline {i}} $

$ {\frac {\underline {u}}{\underline {i}}}={\frac {1}{\mathrm {j} \omega C}}=-\mathrm {j} \;{\frac {1}{\omega C}}=\mathrm {j} X_{C}\ ;\quad X_{C}=-\;{\frac {1}{\omega C}}\leq 0 $

Das bedeutet, dass eine Kapazität für sinusförmige Wechselgrößen wie ein phasendrehender Blindwiderstand wirkt. Hier ist $ \varphi _{z}=-\pi /2=-90^{\circ } $ .

Zusammenschaltung, Ersatzwiderstand

Als Ersatzwiderstand wird der komplexe elektrische Widerstand bezeichnet, der denselben Widerstand besitzt wie eine elektrische Schaltung oder der Teil einer elektrischen Schaltung, den er ersetzt. Ein Ersatzwiderstand kann das Verhalten komplexer elektrischer Anordnungen veranschaulichen und eine Berechnung ermöglichen; siehe auch Ersatzschaltbild.

Tatsächlich auftretende Wechselstromwiderstände lassen sich häufig durch Reihenschaltung oder Parallelschaltung aus einem ohmschen Widerstand mit einer Induktivität oder mit einer Kapazität beschreiben. Welches der Bilder verwendet wird, ist eine Frage der besseren Annäherung an die Wirklichkeit mit möglichst frequenzunabhängigen Größen und der Zweckmäßigkeit für die mathematische Behandlung.

Bei genauer Betrachtung hat aber auch jeder Kondensator einen kleinen induktiven Anteil, so wie eine Spule auch einen kapazitiven Anteil hat. Selbst ein Stück Draht muss exakt mit R, C und L beschrieben werden; siehe auch Leitungsbelag. Dies zeigt sich im Besonderen dann, wenn die Bauteile mit ihren geometrischen Abmessungen in den Bereich der Wellenlänge der angelegten Wechselspannung kommen; dann besitzen sie einen nicht zu vernachlässigenden sowohl induktiven, als auch einen kapazitiven Anteil. Sie werden gegebenenfalls zum Schwingkreis, als Beispiel sei hier die Antenne genannt. Die Enden dürfen als Kondensatorplatten gesehen werden, der „Draht“ dazwischen als Spule.

Werden ein ohmscher Widerstand und ein Blindwiderstand zusammengeschaltet, so können in komplexer Schreibweise die weiter unten folgenden Regeln für Reihen- und Parallelschaltung angewendet werden.

Werden eine kapazitive und eine induktive Impedanz zusammengeschaltet, so entsteht bei genügend kleiner ohmscher Belastung ein Schwingkreis; die Reihen- und Parallelschaltung und die weiteren Konsequenzen werden unter diesem Stichwort behandelt.

Ortskurve

Ein anschauliches Hilfsmittel zur Analyse und Beschreibung von Schaltungen mit Wechselstromwiderständen ist die Ortskurve.

Komplexe Größen lassen sich durch Zeiger in der komplexen Ebene darstellen. Wenn die komplexe Größe eine Funktion eines (reellen) Parameters ist und wenn dieser Parameter variiert wird, verschiebt sich die Spitze des Zeigers. Eine Linie durch alle denkbaren Zeigerspitzen bezeichnet man als Ortskurve.

Die Bilder zeigen Ortskurven der Impedanz als Funktion der Frequenz für die angegebenen Schaltungen. Bei einer RL- oder RC-Reihenschaltung mit einem von der Frequenz unabhängigen ohmschen Widerstand ist auch der Wirkanteil der Impedanz von der Frequenz unabhängig. Bei der entsprechenden Parallelschaltung sind der Wirk- und der Blindanteil der Impedanz ersichtlich beide von der Frequenz abhängig.

Der elektrische Widerstand im Teilchenmodell

Die physikalische Beschreibung benutzt die Vorstellung, dass sich die Valenzelektronen im Metall wie ein Gas (Elektronengas) verhalten. Im einfachsten Modell bildet das Metall ein positiv homogen geladenes Volumen, in denen sich die Elektronen frei bewegen können. In dieses Volumen sind die Atomrümpfe eingebettet, die aus dem Atomkern und den stärker gebundenen Elektronen auf den tieferen, vollbesetzten Schalen bestehen.

Ohne äußere elektrische Spannung bewegen sich die Elektronen ungeordnet im Metall (siehe: brownsche Bewegung). Legt man nun eine Spannung an die zwei Seiten an, so werden die freien Elektronen durch das elektrische Feld in Richtung der Feldlinien beschleunigt. Es fließt ein elektrischer Strom.

Auf ihrem Weg durch das Metall kommt es zu elastischen Stößen der Elektronen mit anderen Elektronen, den Atomrümpfen und Phononen. Dabei geben die Elektronen Energie an ihre Stoßpartner ab, werden gestreut und wieder durch das elektrische Feld beschleunigt. Die Elektronen werden durch diese Wechselwirkung dauernd abgebremst und es stellt sich eine mittlere Strömungsgeschwindigkeit ein.

Die bei diesen Stößen an die Atomrümpfe beziehungsweise Phononen übertragene Energie führt zu einer größeren Eigenschwingung um ihre Gleichgewichtslage, ihre Temperatur erhöht sich. Durch die stärkeren Schwingungen erhöht sich die Querschnittsfläche für mögliche Stöße, deren Anzahl mit steigender Temperatur zunimmt und den Widerstand steigen lässt (Kaltleiter). Der Leitungsvorgang in Heißleitern kann mit diesem Modell nicht vollständig erklärt werden, da es hier mit steigender Temperatur zu einer deutlichen Ladungsträgergeneration kommt, die den eben beschriebenen Vorgang überlagern.

Bei sehr hohen Temperaturen, bei denen die Atome des Materials ionisiert werden (Plasma), ist jeder Stoff elektrisch leitend, da die vorher gebundenen Elektronen nun für den Ladungstransport zur Verfügung stehen. Umgekehrt sind Metalle und Oxide bekannt, für die der elektrische Widerstand bei sehr niedrigen Temperaturen unterhalb der so genannten Sprungtemperatur verschwindet: Supraleiter.

Durch die thermische Bewegung der Elektronen entsteht ein temperaturabhängiger Rauschstrom, der als Widerstandsrauschen bezeichnet wird.

Reihen- und Parallelschaltung

Reihenschaltung

Werden $ n $ Widerstände in Reihe geschaltet, so addieren sich die Widerstände:

$ {R_{\rm {ges}}=\sum _{k=1}^{n}R_{k}=R_{1}+R_{2}+\cdots +R_{n}={1 \over G_{1}}+{1 \over G_{2}}+\cdots +{1 \over G_{n}}} $

Veranschaulichen kann man sich dieses an zwei Widerständen, die sich nur in der Länge unterscheiden.

Die Reihenschaltung ergibt einen Widerstandskörper der Länge $ l_{1}+l_{2} $. Dann gilt:

$ R=\rho \cdot {{l_{1}+l_{2}} \over A}=\rho \cdot {l_{1} \over A}+\rho \cdot {l_{2} \over A}=R_{1}+R_{2} $

Parallelschaltung

Bei der Parallelschaltung von n Widerständen addieren sich die Leitwerte beziehungsweise die reziproken Widerstände:

$ {1 \over R_{\rm {ges}}}=\sum _{k=1}^{n}{1 \over R_{k}}={1 \over R_{1}}+{1 \over R_{2}}+\cdots +{1 \over R_{n}} $

alternative Schreibweise:

$ R_{\rm {ges}}=R_{1}\Vert R_{2}\Vert \cdots \Vert R_{n} $

Formel für zwei parallele Widerstände:

$ R_{\rm {ges}}={\frac {R_{1}\cdot R_{2}}{R_{1}+R_{2}}} $

Schreibweise als Leitwerte:

$ G_{\rm {ges}}=G_{1}+G_{2}+\cdots +G_{n} $

Der Leitwert ist der Kehrwert des Widerstandes, seine SI-Einheit ist das reziproke Ohm, das auch den besonderen Namen Siemens führt.

Man veranschaulicht sich diesen Zusammenhang an der Parallelschaltung zweier Widerstände, die sich nur in ihrer Querschnittsfläche $ A $ unterscheiden.

Man erhält einen Widerstand vom Gesamtquerschnitt $ A_{1}+A_{2} $, also gilt:

$ R=\rho \cdot {l \over {A_{1}+A_{2}}} $

und daher

$ {1 \over R}={{A_{1}+A_{2}} \over {\rho \cdot l}}={{A_{1}} \over {\rho \cdot l}}+{{A_{2}} \over {\rho \cdot l}}={1 \over R_{1}}+{1 \over R_{2}} $

Sind in einer Parallelschaltung nur Widerstände eines gleichen Wertes vorhanden, ($ R_{n}=R_{1}=R_{2}=\cdots $) so kann der Gesamtwiderstand errechnet werden, indem man den Einzelwiderstand durch die Anzahl der Widerstände in der Schaltung dividiert:

$ R_{\text{ges}}={\tfrac {1}{n}}R_{n} $

Dabei bezeichnet $ R_{n} $ die Werte der Einzelwiderstände und $ n $ deren Anzahl.

Unendliches Gitter

Der Widerstand zwischen zwei Knoten in einem unendlichen zweidimensionalen Gitter mit verbundenen Widerständen von jeweils 1 Ohm, wenn die Knoten in einer Richtung $ m $ Schritte voneinander entfernt sind und in der anderen Richtung $ n $ Schritte, berechnet sich als:

$ R_{m,n}={\frac {1}{2\pi }}\,\int _{0}^{\infty }{\frac {1-\left({\frac {t-i}{t+i}}\right)^{m+n}\left({\frac {t-1}{t+1}}\right)^{|m-n|}}{t}}\,\mathrm {d} t $

Der Widerstand zwischen zwei unmittelbar benachbarten Knoten $ R_{1,0} $ beträgt also 0,5 Ohm, der Widerstand $ R_{2,0} $ 0,72676 Ohm (d. h. $ {\tfrac {2}{\pi }} $), der Widerstand $ R_{3,0} $ beträgt 0,860563 Ohm ($ {\tfrac {17}{2}}-{\tfrac {24}{\pi }} $) und der Widerstand $ R_{1,1} $ ist 0,63662 Ohm ($ 2-{\tfrac {4}{\pi }} $).^[1]

Differentieller Widerstand

Bei nichtlinearen Strom-Spannungs-Kennlinien – wie zum Beispiel von Dioden – ist der Quotient für jedes Strom-Spannungspaar unterschiedlich. In diesem Fall gilt das ohmsche Gesetz nicht und man kann nicht von einem ohmschen Widerstand $ R $ sprechen. Kleine Spannungsänderungen sind jedoch näherungsweise proportional zu kleinen Stromänderungen. Der Quotient aus kleiner Spannungsänderung und zugehöriger Stromänderung bei einer bestimmten Spannung wird als differentieller Widerstand $ r $ bezeichnet. In einem Diagramm, in dem $ U $ über $ I $ aufgetragen wird, entspricht er der Steigung der Tangente am betrachteten Punkt der Kennlinie.

$ r={\frac {\mathrm {d} \,u}{\mathrm {d} i}} $

Negativer differentieller Widerstand

Der differentielle Widerstand kann in einem Teil der Kennlinie negativ sein, so dass die Stromstärke bei steigender Spannung sinkt beziehungsweise die Stromstärke bei sinkender Spannung steigt. Im Bild ist das im Bereich V_P < V < V_V der Fall. Ein negativer differentieller Widerstand kann zum Anregen (Entdämpfen) von Schwingkreisen oder zur Erzeugung von Kippschwingungen verwendet werden (Oszillator). Der negative differentielle Widerstand tritt zum Beispiel bei Gasentladungen oder bei Bauteilen wie Avalanche- und Tunneldioden auf, in einfachen elektronischen Schaltungen wie der Lambda-Diode, aber auch bei komplexeren Modulen wie z. B. Schaltnetzteilen auf der Eingangsseite.

Positiver differentieller Widerstand

Bei positiven differentiellen Widerständen nimmt die Stromstärke mit zunehmender Spannung zu. Alle real existierenden Schaltungselemente besitzen in einem Teil ihrer Kennlinie, jedoch stets für sehr große Werte, einen positiven differentiellen Widerstand. Die meisten Elemente in der Schaltungstechnik besitzen einen ausschließlich positiven differentiellen Widerstand.

Beispiele: realer Widerstand, Diode, Zener-Diode, alle halbleitenden Keramiken.

Supraleitung

Unterhalb einer spezifischen Sprungtemperatur besitzt ein supraleitfähiges Material bei Gleichstrom keinen ohmschen Widerstand. Ein solches Material wird als Supraleiter bezeichnet, weil der Strom in ihm bei dieser tiefen Temperatur ohne Verluste fließt.

Weblinks

• Versuche und Aufgaben zum elektrischen Widerstand
• „ Bewahrung und Darstellung der Einheit des elektrischen Widerstandes Ohm“. Exponat-Informationsblatt der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt, Hannover Messe '82, 21. April 1982

Einzelnachweise