Temperaturkoeffizient

Der Temperaturkoeffizient (deutsch: Temperaturbeiwert) beschreibt die relative Änderung einer Materialeigenschaft oder eines Bauteils in Abhängigkeit von der Änderung der Temperatur gegenüber einer festgelegten Referenztemperatur.

Temperaturkoeffizienten gibt es für die Länge, das Volumen (siehe Ausdehnungskoeffizient), den Druck, den elektrischen Widerstand, die Spannung einer Halbleiterdiode und andere Größen. Ein linearer Zusammenhang liegt im Allgemeinen nur in einem begrenzten Temperaturintervall vor.

Grundlagen

Materialeigenschaften sind immer von der Temperatur abhängig. Dieser Zusammenhang ist im Allgemeinen nichtlinear. Ist diese Materialeigenschaft hysteresefrei und ohne Sprungstellen von der Temperatur abhängig, also eineindeutig, kann sie ausgehend von der Referenztemperatur T₀ beschrieben werden. Im einfachsten Fall erfolgt die Beschreibung mit nur einem Temperaturkoeffizienten anhand der Näherungsfunktion:

$ \xi ({\rm {T}})=\xi ({\rm {T_{0}}})\cdot \left[1+\alpha _{\rm {T_{0}}}\,\left(T-{\rm {T_{0}}}\right)\right] $

Als Bezugstemperatur wird oft 20 °C gewählt.

$ \xi ({\rm {T}})=\xi (20\,^{\circ }\mathrm {C} )\cdot \left[1+\alpha _{20}\,\left(T-20\,^{\circ }\mathrm {C} \right)\right] $

Allgemein kann jede Temperaturkennlinie durch eine Taylorreihe beschrieben werden:

$ \xi ({\rm {T}})=\xi ({\rm {T_{0}}}+{\rm {\Delta T}})=\xi ({\rm {T_{0}}})\cdot (1+\alpha _{\rm {T_{0}}}\cdot {\rm {\Delta T}}+\beta _{\rm {T_{0}}}\cdot {\rm {\Delta T}}^{2}+\gamma _{\rm {T_{0}}}\cdot {\rm {\Delta T}}^{3}+\dots +k_{n{\rm {T_{0}}}}\cdot {\rm {\Delta T}}^{n}+\dots ) $

Angenähert durch ein Taylorpolynom n-ten Grades ergibt sich die Approximation:

$ \xi ({\rm {T}})=\xi ({\rm {T_{0}}}+{\rm {\Delta T}})=\xi ({\rm {T_{0}}})\cdot (1+\alpha _{\rm {T_{0}}}\cdot {\rm {\Delta T}}+\beta _{\rm {T_{0}}}\cdot {\rm {\Delta T}}^{2}+\gamma _{\rm {T_{0}}}\cdot {\rm {\Delta T}}^{3}+\dots +k_{n{\rm {T_{0}}}}\cdot {\rm {\Delta T}}^{n}) $

Für $ n=1 $ ergibt sich die meist verwendete lineare Approximation:

$ \xi ({\rm {T}})=\xi ({\rm {T_{0}}}+{\rm {\Delta T}})=\xi ({\rm {T_{0}}})\cdot (1+\alpha _{\rm {T_{0}}}\cdot {\rm {\Delta T}}) $

Dabei sind:

• $ \xi $ = temperaturabhängige physikalische Größe
• $ {\rm {T}} $ = Begutachtete Temperatur
• $ {\rm {T_{0}}} $ = Referenztemperatur
• $ {\rm {\Delta T}} $ = Temperaturdifferenz zur Referenztemperatur ($ {\rm {T-T_{0}}} $)
• $ \alpha _{\rm {T_{0}}} $ = Temperaturkoeffizient 1. Ordnung an der Referenztemperatur
• $ \beta _{\rm {T_{0}}} $ = Temperaturkoeffizient 2. Ordnung an der Referenztemperatur
• $ \gamma _{\rm {T_{0}}} $ = Temperaturkoeffizient 3. Ordnung an der Referenztemperatur
• $ k_{n{\rm {T_{0}}}} $ = Temperaturkoeffizient n. Ordnung an der Referenztemperatur

Die Temperaturkoeffizienten können wie folgt durch Ableitung der bekannten Funktion $ \xi (\tau ) $ berechnet werden:

$ \alpha _{\rm {T_{0}}}={\frac {1}{1\,\xi ({\rm {T_{0}}})}}\cdot \left.{\frac {\mathrm {d} \xi (\tau )}{\mathrm {d} \tau }}\right|_{\tau ={\rm {T_{0}}}} $

$ \beta _{\rm {T_{0}}}={\frac {1}{2\,\xi ({\rm {T_{0}}})}}\cdot \left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}\xi (\tau )}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}\right|_{\tau ={\rm {T_{0}}}} $

$ \gamma _{\rm {T_{0}}}={\frac {1}{3!\,\xi ({\rm {T_{0}}})}}\cdot \left.{\frac {\mathrm {d} ^{3}\xi (\tau )}{\mathrm {d} \tau ^{3}}}\right|_{\tau ={\rm {T_{0}}}} $

$ k_{n{\rm {T_{0}}}}={\frac {1}{n!\,\xi ({\rm {T_{0}}})}}\cdot \left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}\xi (\tau )}{\mathrm {d} \tau ^{n}}}\right|_{\tau ={\rm {T_{0}}}} $

Es ist zu beachten, dass die Temperaturkoeffizienten von der Bezugstemperatur abhängen.

Beispiele

Temperaturkoeffizienten beim idealen Gas

Für das ideale Gas sind die Temperaturkoeffizienten für Druckänderung und Volumenänderung gleich $ {\tfrac {1}{273,15}}K^{-1} $.

Durch die idealisierenden Annahmen sind Druckänderung und Volumenänderung linear.

Temperaturkoeffizient des elektrischen Widerstands

Die Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstands und damit der Bauelemente (Leitungen, Widerstände) muss bei der Konstruktion von Baugruppen und der Auslegung von Schaltungen immer einkalkuliert werden. Andererseits wird diese Eigenschaft auch genutzt, z. B. bei Widerstandsthermometern.

Da der Temperaturkoeffizient des elektrischen Widerstands streng genommen nicht linear ist, gibt es Polynome zur Berechnung der absoluten Temperatur aus dem gemessenen Widerstand, zum Beispiel für das standardisierte Widerstandsthermometer Pt100.. Für regelungstechnische Anwendungen sind oft lineare Funktionen erwünscht. Der lineare Temperaturkoeffizient α gibt die relative Änderung des Widerstandswertes pro 1 Kelvin Unterschied zur Bezugstemperatur an; statt 20 °C wird diese oft mit 0 °C oder 25 °C gewählt. Bei den in der Elektrotechnik wichtigen Leitermaterialien Kupfer und Aluminium kann im Temperaturbereich 0 bis 50 °C für Abschätzungen mit dem Wert 0,04 % pro Kelvin gerechnet werden.

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Lineare Widerstands-Temperaturkoeffizienten einiger Stoffe bei 20 °C

Reine Metalle	α in K−1	Legierungen	α in K−1	Nichtmetalle	α in K−1
Aluminium (99,5 %)	4,0 · 10−3[1]	Aldrey (AlMgSi)	3,6 · 10−3[1]	Kohlenstoff	−0,5 · 10−3[2]
Blei	4,2 · 10−3[1]	Berylliumbronze (SnBe4Pb)	0,5 · 10−3	Graphit	−0,2 · 10−3
Eisen (rein)	6,57 · 10−3[3]	Manganin (Cu84Ni4Mn12)	±0,04 · 10−3	Lichtbogen-Kohle	0,5 · 10−3[4]
Gold	3,7 · 10−3[1]	Konstantan	±0,01 · 10−3[1]	Germanium	−48 · 10−3[2]
Kupfer (99,9 %)	3,93 · 10−3[1]	Messing (CuZn37)	1,6 · 10−3[1]	Silizium	−75 · 10−3[2]
Nickel	6,0 · 10−3[1]	Nickelin (CuNi30Mn)	0,15 · 10−3
Platin	3,1 · 10−3[1]	Weicheisen (4 % Si)	0,9 · 10−3[4]
Quecksilber	0,9 · 10−3[1]	Stahl C15	5,7 · 10−3
Silber	3,8 · 10−3[1]
Tantal	3,3 · 10−3[1]
Wolfram	4,4 · 10−3[1]

Einzelnachweise