Temperaturleitfähigkeit
Die Temperaturleitfähigkeit oder Temperaturleitzahl[1], gelegentlich auch „Wärmediffusivität“ (von englisch thermal diffusivity), ist eine Materialeigenschaft, die zur Beschreibung der zeitlichen Veränderung der räumlichen Verteilung der Temperatur durch Wärmeleitung als Folge eines Temperaturgefälles dient. Sie ist verwandt mit der Wärmeleitfähigkeit $ \lambda $, die zur Beschreibung des Energietransportes dient.
Definition und Einheit
Die Temperaturleitfähigkeit $ a $ ist definiert als:
- $ a={\frac {\lambda }{\rho \cdot c_{p}}} $
mit
$ \lambda $ - Wärmeleitfähigkeit
$ \rho $ - Dichte
$ c_{p} $ - Spezifische Wärmekapazität
Die Temperaturleitfähigkeit hat die Einheit $ \mathrm {m} ^{2}/\mathrm {s} $.
Sie ist eine temperaturabhängige Stoffeigenschaft, da insbesondere die Wärmeleitfähigkeit, jedoch auch die Dichte und die spezifische Wärme temperaturabhängig sind.
Wärmeleitungsgleichung
Die räumliche und zeitliche Verteilung der Temperatur T(x,t) in einem Körper lässt sich über die fouriersche Differentialgleichung (nach J. B. J. Fourier) berechnen. Sie geht in ersten Überlegungen bereits auf Newton zurück, und drückt mathematisch einen einfachen Sachverhalt aus: Die Veränderung des Wärmeinhaltes eines Raumgebietes fließt als Wärmestrom durch dessen Hülle. Oder etwas weniger mathematisch ausgedrückt: Was im Inneren eines Körpers an Wärme verloren geht, fließt als Wärmestrom durch die Oberfläche des Körpers in die Umgebung ab und umgekehrt.
Für isotrope Körper mit inhomogener Wärmeleitfähigkeit aber konstanter Wärmekapazität pro Volumen gilt[2]:
- $ {\frac {\partial T({\vec {x}},t)}{\partial t}}\ =\nabla \left[a({\vec {x}},T)\,.\nabla T({\vec {x}},t)\right] $
In der mathematischen Symbolik bedeuten:
- x: Ortsvektor (in der Gleichung symbolisiert durch den Vektorpfeil über der Ortsvariablen x)
- $ \nabla $ : Nabla-Operator. Er ist eine spezielle Differenziervorschrift bezüglich der Ortsableitungen, die in unterschiedlicher Weise auf skalare Größen, Vektoren und Operatoren angewendet werden kann.
Für homogene, isotrope Medien (also wärmetransportierende Stoffe, die überall gleiche Zusammensetzung zeigen, und die in keine Raumrichtung charakteristisch veränderte Eigenschaften zeigen), vereinfacht sich die Wärmeleitungsgleichung unter Annahme einer von der Temperatur unabhängigen Temperaturleitfähigkeit zu:
- $ {\frac {\partial T({\vec {x}},t)}{\partial t}}\ =a\cdot \Delta T({\vec {x}},t) $.
In der mathematischen Symbolik bedeutet:
- $ \Delta $: Laplace-Operator. Auch er ist eine spezielle Differenziervorschrift bezüglich der Ortsableitungen, die hier auf die skalare Größe „Temperatur“ angewendet wird.
Die Differentialgleichung heißt „Wärmeleitungsgleichung“ und beschreibt generell Transportprozesse (wie z. B. Diffusionsprozesse – worunter man einen Materialtransport auf Grund eines Konzentrationsunterschiedes versteht, oder im Fall der Wärmeleitungsgleichung eben ein „Wandern“ der Temperaturverteilung in einem Körper auf Grund eines Temperaturgefälles). Mathematisch betrachtet ist die Temperaturleitfähigkeit daher der „Transportkoeffizient des Wärmeleitproblems“. Streng genommen gelten die beiden angegebenen Varianten der Wärmeleitungsgleichung nur so lange keine Fremdeffekte Wärme in den betrachteten Körper einbringen oder aus ihm entfernen. Ist das der Fall, müsste ein sog. Quellterm hinzugefügt werden. Die analytische Lösung dieser Gleichung ist in vielen Fällen nicht möglich. Heute berechnet man technisch relevante Wärmeleitaufgaben mit Hilfe von Finite-Element-Programmen. Als Resultat erhält man die zeitliche wie räumliche Temperaturverteilung (Temperaturfeld). Damit kann man z. B. auf das räumliche Ausdehnungsverhalten der Bauteile schließen, das seinerseits wieder den örtlichen Spannungszustand mitbestimmt. So wird die Temperaturfeldrechnung zu einer wichtigen Grundlage für alle technischen Auslegungsaufgaben, bei denen die thermischen Bauteilbelastung nicht vernachlässigt werden kann.
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