Schwache Wechselwirkung

Die schwache Wechselwirkung (auch schwache Kernkraft genannt) ist eine der vier Grundkräfte der Physik. Im Gegensatz zu den aus dem Alltag bekannten Wechselwirkungen der Gravitation und des Elektromagnetismus wirkt sie jedoch nur auf sehr kleinen Abständen. Dabei kann sie wie andere Kräfte für Energie- und Impuls-Austausch sorgen, wirkt aber vor allem bei Zerfällen oder Umwandlungen der beteiligten Teilchen, etwa dem Betazerfall bestimmter radioaktiver Atomkerne. Durch die schwache Wechselwirkung lassen sich keine gebundenen Zustände bilden, was sie von den anderen drei Wechselwirkungen unterscheidet.

Entscheidende Bedeutung hat die schwache Wechselwirkung durch ihre Rolle bei der Fusion von Wasserstoff zu Helium in der Sonne, da nur durch sie die Umwandlung von Protonen in Neutronen möglich ist. So entsteht aus vier Protonen (den Wasserstoffkernen) über mehrere Zwischenschritte der stabile Heliumkern mit zwei Protonen und zwei Neutronen. Aus diesem Prozess bezieht die Sonne ihre Energie. Aufgrund der Schwäche der schwachen Wechselwirkung läuft dieser Prozess so langsam ab, dass die Sonne schon seit vielen Milliarden Jahren stabil leuchtet, und es voraussichtlich noch einmal so lange tun wird.

Überblick

Die schwache Wechselwirkung lässt sich in geladene Ströme und ungeladene Ströme unterscheiden. Geladene Ströme wirken zwischen allen (linkshändigen) Quarks und (linkshändigen) Leptonen, sowie den (rechtshändigen) Antiquarks und (rechtshändigen) Anti-Leptonen. Ungeladene Ströme wirken zwischen denselben Teilchen, die durch geladene Ströme wechselwirken, aber zusätzlich auch zwischen allen geladenen (Anti-)Quarks und (Anti-)Leptonen unabhängig von ihrer Chiralität.

Die elektromagnetische ist ca. 10¹¹ mal, die starke Wechselwirkung ca. 10¹³ mal stärker als die schwache Wechselwirkung. Wie die starke und die elektromagnetische Wechselwirkung wird sie durch den Austausch von Eichbosonen beschrieben. Diese Austauschteilchen der schwachen Wechselwirkung sind das neutrale Z-Boson sowie die beiden positiv bzw. negativ geladenen W-Bosonen. Da diese massiv sind, ist die schwache Kraft nur von geringer Reichweite (kleiner als ein Atomkernradius).

Die schwache Wechselwirkung lässt sich am einfachsten bei Zerfällen von Quarks oder Leptonen beobachten. In Streuexperimenten hingegen ist diese eher schwer zugänglich, da sie bei geladenen Leptonen oder Hadronen von der starken bzw. elektromagnetischen Wechselwirkung überlagert wird. Teilchen, die weder der starken noch der elektromagnetischen Wechselwirkung unterliegen (keine Farbladung und keine elektrische Ladung tragen), sind die ungeladenen Leptonen, also die Neutrinos, die aber in Streuexperimenten äußerst kleine Wirkungsquerschnitte besitzen.

Die schwache Wechselwirkung verletzt die Paritätserhaltung, wie im Wu-Experiment nachgewiesen wurde. Außerdem verletzt sie die CP-Erhaltung etwa beim Zerfall des ungeladenen K⁰-Mesons (Kaonen).

Eine Quantenfeldtheorie, die die schwache Wechselwirkung zusammen mit der elektromagnetischen Wechselwirkung beschreibt, ist das Glashow-Weinberg-Salam-Modell. Man spricht in dieser Formulierung auch von zwei Aspekten der elektroschwachen Wechselwirkung, die durch den Higgs-Mechanismus vereinheitlicht werden.

Austauschteilchen

Die Austauschteilchen der schwachen Wechselwirkung sind massive Vektorbosonen, d. h. sie haben Spin 1.

Folgende Tabelle gibt eine Übersicht der Eigenschaften der Austauschteilchen (Masse und Resonanzbreite nach Particle Data Group, Lebensdauer über die Energie-Zeit-Unschärferelation berechnet).

Die Reichweite $r$ lässt sich grob abschätzen, indem man annimmt dass sich die Teilchen während ihrer Lebensdauer $\tau$ (im Ruhesystems des Teilchens) mit 71 % der Lichtgeschwindigkeit $c$ im Laborsystem bewegen (Lorentzfaktor $\gamma =1,41$): $r\approx \gamma v\tau \approx c\tau$. Dies ergibt bei einer Lebensdauer von 3·10⁻²⁵ s eine Reichweite von etwa 0,09 Femtometer – der kleinste Atomkern, das Proton, hat einen Durchmesser von etwa einem Femtometer.

Das Massenverhältnis von W und Z Bosonen wird durch die elektroschwache Theorie mit dem Weinbergwinkel${\theta }_W\approx 28,{74}^{\circ }$ vorhergesagt:

$\frac{m_W}{m_Z}=\cos {\theta }_W\approx 0,8768$

Das experimentell bestimmte Massenverhältnis beträgt etwa 0,882.

Als Konsequenz der Weinbergmischung ergibt sich, dass die Kopplungsstärke der Z-Bosonen nicht mit der der W-Bosonen identisch ist. Die Kopplungsstärke des W-Bosons an ein linkshändiges Fermion ist gegeben durch

$Q_W=g{T}_z$ ,

die Kopplungsstärke des $Z^0$ an ein Fermion ist dagegen

$Q_Z=\frac{g}{\cos {\theta }_W}(T_z-z_f{\sin }^2{\theta }_W)$

wobei $z_f$ die Ladung des Fermions in Einheiten der Elementarladung $e$ ist. $T_z$ bezeichnet den schwachen Isospin (3. Komponente), für linkshändige Neutrinos gilt beispielsweise $T_z=1/2$.

Die Kopplungsstärken von schwacher und elektromagnetischer Wechselwirkung, also die schwache Ladung $g$ und die elektrische Ladung $e$ hängen zusammen über:

$e=g\sin {\theta }_W\approx 0,481g$

Reaktionen, Crossing-Symmetrie, Reaktionswahrscheinlichkeit

Zur Beschreibung eines schwachen Prozesses verwendet man üblicherweise die Schreibweise einer Reaktionsgleichung, wie

$a+b\to c+d$

Die Teilchen a und b werden also in einem Prozess zu den Teilchen c und d umgewandelt. Ist dieser Vorgang möglich, so sind auch alle anderen möglich, die nach der Vertauschungsregel des Kreuzens (engl. crossing) entstehen. Ein Teilchen kann also auf die andere Seite der Reaktionsgleichung geschrieben werden, indem dort sein entsprechendes Antiteilchen notiert wird:

$b\to c+d+\overline{a}$

Außerdem sind die Umkehrprozesse möglich.

$c+d\to a+b$

$c+d+\overline{a}\to b$

Ob diese Prozesse tatsächlich in der Natur beobachtet werden (also ihre Wahrscheinlichkeit, die sich um viele Größenordnungen unterscheiden kann), hängt nicht nur von der Stärke der schwachen Wechselwirkung ab, sondern unter anderem auch von Energie, Ruhemasse und Impuls der beteiligten Teilchen.

Für jede Reaktion gelten die bekannten Sätze der Energieerhaltung, Impulserhaltung und Drehimpulserhaltung, die nach dem Theorem von Noether mit den Invarianzen gegenüber zeitlicher und räumlicher Translation sowie Drehungen im Raum verbunden sind.

Sind die Summen der Ruhemassen der beteiligten Teilchen auf der rechten Seite größer als auf der linken, so handelt es sich um eine endotherme Reaktion, die nur möglich ist, wenn die Teilchen auf der linken Seite ausreichend kinetische Energie tragen. Sollte auf der linken Seite nur ein Teilchen stehen, dann ist die Reaktion in diesem Fall verboten, denn es gibt immer ein Bezugssystem, in dem dieses Teilchen in Ruhe ist (d.h. dass Masse aus dem Nichts erzeugt werden müsste, was nicht möglich ist).

Sind die Ruhemassen der eingehenden Teilchen größer als die Ruhemassen der erzeugten Teilchen, so ist die Reaktion exotherm, und die Differenz der Ruhemassen findet sich als kinetische Energie der erzeugten Teilchen wieder.

Prozesse

Man unterscheidet schwache Prozesse sowohl danach, ob Leptonen und/oder Quarks an ihnen beteiligt sind, als auch danach, ob der Prozess durch ein elektrisch geladenes $W^{+}$ oder $W^{-}$-Boson (geladene Ströme bzw. charged currents: CC) oder das neutrale $Z^0$ Boson (neutrale Ströme bzw. neutral currents: NC) vermittelt wurde. Die Bezeichnungen schwacher Prozesse lauten wie folgt:

Alle Reaktionen, an denen Neutrinos beteiligt sind, verlaufen ausschließlich über die schwache Wechselwirkung (die Gravitation vernachlässigt). Umgekehrt gibt es aber auch schwache Reaktionen ohne Beteiligung von Neutrinos.

Ähnlich wie das Photon und im Gegensatz zu den W-Bosonen vermittelt das Z-Boson eine Wechselwirkung zwischen Teilchen, ohne die Teilchenart (genauer: Flavour) dabei zu verändern. Während das Photon aber nur Kräfte zwischen elektrisch geladenen Teilchen vermittelt, wechselwirkt das Z-Boson auch mit den ungeladenen Neutrinos. Bei neutralen Prozessen bleiben die beteiligten Fermionen unverändert (keine Änderung von Masse oder Ladung). Das Z⁰-Boson wirkt auf alle linkshändigen Fermionen und durch die Weinberg-Mischung auch auf die rechtshändigen Anteile von geladenen Fermionen. Es ist nicht wie die W-Bosonen maximal paritätsverletzend, da es einen Anteil des B⁰-Bosons enthält (siehe: Elektroschwache Wechselwirkung).

Beispiele für neutrale Prozesse sind: Die Streuung zweier Elektronen aneinander (wird für geringe Energien aber durch die stärkere elektromagnetische Wechselwirkung überlagert und erst bei hohen Energien werden die Wechselwirkungen in der Stärke vergleichbar). Die Streuung von Myon-Neutrinos an Elektronen (keine konkurrierenden Prozesse, erster experimenteller Nachweis der neutralen Ströme 1973 am CERN).

Leptonischer Prozess

Ein elementarer geladener leptonischer Prozess ist ein Zerfallsprozess eines Leptons L in ein Lepton L' unter Beteiligung ihrer entsprechenden Neutrinos bzw. Antineutrinos (${\nu }_L,{\overline{\nu }}_L$):

$L\to {\nu }_L+L^{\prime }+{\overline{\nu }}_{L^{\prime }}$

Als Beispiel möge der Zerfall von Myonen dienen:

${\mu }^{-}\to e^{-}+{\overline{\nu }}_e+{\nu }_{\mu }$

wie auch die damit verbundenen Streuprozesse

${\mu }^{-}+{\overline{\nu }}_{\mu }\to e^{-}+{\overline{\nu }}_e$

${\mu }^{-}+{\nu }_e\to e^{-}+{\nu }_{\mu }$

Semileptonischer Prozess

Bei einem elementaren geladenen semileptonischen Prozess sind neben Leptonen auch Quarks bzw. Antiquarks ($q_1,{\overline{q}}_2$) beteiligt:

$q_1+{\overline{q}}_2\to L+{\overline{\nu }}_L$

Ein Beispiel für einen semileptonischen Prozess ist der bereits genannte β⁻-Zerfall des Neutrons, bei welchem sich ein Down-Quark des Neutrons in ein Up-Quark umwandelt, wodurch das Neutron zu einem Proton wird:

Quarkdarstellung: $d^{-\frac{1}{3}}\to u^{+\frac{2}{3}}+e^{-}+{\overline{\nu }}_e$

Hadronendarstellung: $n\to p+e^{-}+{\overline{\nu }}_e$,

Wobei beteiligten Nukleonen folgendermaßen aufgebaut sind: $n=udd$, $p=uud$. Der hier gezeigte Prozess wird durch ein $W^{-}$ Boson vermittelt, weil das negativ geladene Down-Quark in ein positiv geladenes Up-Quark umgewandelt wird – die negative Ladung muss daher durch ein $W^{-}$ Boson „weggetragen“ werden. $d^{-1/3}$ und $u^{+2/3}$ müssen also Quarks sein, deren Ladungsdifferenz gerade $-e$ ist. Da sich ein Neutron aus zwei Down- und einem Up-Quark aufbaut, jedoch nur eines umgewandelt wird, sind zwei von ihnen unbeteiligt. Solche unbeteiligten Quarks nennt man daher „Zuschauerquarks“ (engl. spectator quarks).

Weitere Beispiele von semileptonischen Prozessen sind:

${\pi }^{-}\equiv d+\overline{u}\to {\mu }^{-}+{\overline{\nu }}_{\mu }$

$K^{-}\equiv s+\overline{u}\to {\mu }^{-}+{\overline{\nu }}_{\mu }$

Hadronischer Prozess

Bei einem elementaren geladenen hadronischen (bzw. nichtleptonischen) Prozess sind nur Quarks bzw. Antiquarks beteiligt:

$q_1+{\overline{q}}_2\to q_3+{\overline{q}}_4$

Der Kaon-Zerfall ist ein gutes Beispiel für einen hadronischen Prozess

Quarkdarstellung: ${\overline{s}}^{+\frac{1}{3}}\to u^{+\frac{2}{3}}+{\overline{u}}^{-\frac{2}{3}}+{\overline{d}}^{+\frac{1}{3}}$

Hadronendarstellung: $K^{+}\to {\pi }^{+}+{\pi }^0$

Wobei die beteiligten Teilchen folgendermaßen aufgebaut sind: $K^{+}=u\overline{s}$ und ${\pi }^{+}=u\overline{d}$ sowie ${\pi }^0=u\overline{u}$. Bei diesem Prozess ist das Up-Quark des Kaons wieder ein unbeteiligter Zuschauer. Die positive Ladung des Strange-Antiquarks wird durch ein $W^{+}$ Boson weggetragen. Durch diesen Austausch ändert das Quark seinen Flavor zu einem Anti-Up-Quark.

Weitere Beispiele von hadronischen Prozessen sind zwei Zerfallskanäle des Λ-Baryons:

${\mathrm{\Lambda }}^0\equiv (u,d,s)\to (u,d,u)+(\overline{u},d)\equiv p+{\pi }^{-}$

${\mathrm{\Lambda }}^0\equiv (u,d,s)\to (u,d,d)+(\overline{u},u)\equiv n+{\pi }^0$

Teilchenumwandlungen

Bei geladenen Strömen der schwachen Wechselwirkung können sich nur Teilchen aus demselben Duplett ineinander umwandeln:

${\left(\begin{array}{c}{\nu }_e\\ e^{-}\end{array}\right)}_L,{\left(\begin{array}{c}{\nu }_{\mu }\\ {\mu }^{-}\end{array}\right)}_L,{\left(\begin{array}{c}{\nu }_{\tau }\\ {\tau }^{-}\end{array}\right)}_L,{\left(\begin{array}{c}{u}^{\frac{2}{3}}\\ (d^{\prime }{)}^{-\frac{1}{3}}\end{array}\right)}_L,{\left(\begin{array}{c}{c}^{\frac{2}{3}}\\ (s^{\prime }{)}^{-\frac{1}{3}}\end{array}\right)}_L,{\left(\begin{array}{c}{t}^{\frac{2}{3}}\\ (b^{\prime }{)}^{-\frac{1}{3}}\end{array}\right)}_L$

Es handelt sich nur um linkshändige Fermionen. Diese besitzen einen schwachen Isospin $T=1/2$, wobei dritte Komponente des schwachen Isospins für die oberen Teilchen $T_3=+1/2$ und die unteren $T_3=-1/2$ ist. Die schwache Hyperladung $Y_W=2(Q-T_3)$, also die doppelte Differenz aus elektrischer Ladung und dritter schwacher Isospinkomponente, ist innerhalb eines Dubletts konstant. Sie beträgt für die Leptonendupletts $Y_W=-1$ und für die Quarkdupletts $Y_W=1/3$.

Rechtshändige Fermionen koppeln nicht an W-Bosonen und tragen deshalb keinen schwachen Isospin. Weiterhin stellt man fest, dass Neutrinos in der Natur nur linkshändig vorkommen (Goldhaber-Experiment). Somit werden rechtshändige Fermionen als Singuletts $T=T_3=0$ beschrieben. Da die geladenen Ströme ausschließlich an die linkshändigen Dubletts koppeln, tritt bei diesen Vorgängen eine maximale Verletzung der Parität auf. Experimentell wurde dies im Wu-Experiment untersucht und durch die V-A-Theorie erklärt.

Bei den Quarks sind die Dubletts (u,d'), (c,s'), (t,b') Eigenzustände der schwachen Wechselwirkung und nicht (u,d), (c,s), (t,b). Die Zustände der gestrichenen Teilchen jeweils eine Linearkombination von drei Zuständen. Die gestrichenen Quarkzustände $d^{\prime },s^{\prime },b^{\prime }$ sind gegenüber den Quarkzuständen $d,s,b$ rotiert^[1]:

$\left(\begin{array}{c}|d^{\prime }⟩\\ |s^{\prime }⟩\\ |b^{\prime }⟩\end{array}\right)=\mathbf{V}\left(\begin{array}{c}|d⟩\\ |s⟩\\ |b⟩\end{array}\right)\text{mit}|\mathbf{V}|\approx \left(\begin{array}{ccc}0,9743& 0,2253& 0,0035\\ 0,2252& 0,9734& 0,0412\\ 0,0087& 0,0404& 0,9991\end{array}\right)$

Masse-Ladung-Diagramm der Quarks und ihre Zerfallsmöglichkeiten unter schwacher Wechselwirkung (Je feiner gestrichelt die Pfeile sind, desto unwahrscheinlicher ist der Prozess)

Dabei ist $\mathbf{V}$ die sog. CKM-Matrix. Diese ist unitär und hat vier unabhängige Parameter. Die angegebene Matrix $|\mathbf{V}|$ gibt die Beträge der Elemente an, deren Quadrat proportional zur Übergangswahrscheinlichkeit zwischen den Quarks ist.

Die Übergänge innerhalb derselben Quarkfamilie (u,d), (c,s), (t,b) finden am häufigsten statt, da die Diagonalelemente die größten Übergangswahrscheinlichkeiten anzeigen. Es besteht mit geringerer Wahrscheinlichkeit auch die Möglichkeit auch das Flavour ändern. Dieses Verhalten wird dadurch verursacht, dass die Masseneigenzustände nicht mit den so genannten Wechselwirkungseigenzuständen übereinstimmen.

Der Zerfall von Quarks oder Leptonen durch neutrale Ströme, also z. B. die Übergänge c → u oder s → d oder μ → e wurden bisher nicht beobachtet.

Neutrinooszillationen

Die Neutrino-Eigenzustände der schwachen Wechselwirkung $|{\nu }_e⟩$, $|{\nu }_{\mu }⟩$, $|{\nu }_{\tau }⟩$ (Flavour-Zustände sind Eigenzustände des schwach wechselwirkenden Teils des Hamilton-Operators) sind nicht identisch mit den Eigenzuständen des Massenoperators $|{\nu }_1⟩$, $|{\nu }_2⟩$, $|{\nu }_3⟩$ (Eigenzustände des kinematischen Teils des Hamilton-Operators). Analog zur CKM-Matrix lässt sich hier die sog. Pontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata (PMNS)-Matrix einführen

$\left(\begin{array}{c}|{\nu }_e⟩\\ |{\nu }_{\mu }⟩\\ |{\nu }_{\tau }⟩\end{array}\right)=\mathbf{U}\left(\begin{array}{c}|{\nu }_1⟩\\ |{\nu }_2⟩\\ |{\nu }_3⟩\end{array}\right)$

Aktuelle Werte liegen bei^[2]:

$\mathbf{U}\approx \left(\begin{array}{ccc}0,82& 0,55& -0,15+0,045\mathrm{i}\\ -0,35+0,023\mathrm{i}& 0,70+0,015\mathrm{i}& 0,62\\ 0,45+0,028\mathrm{i}& -0,46+0,019\mathrm{i}& 0,77\end{array}\right)$

$|\mathbf{U}{|}^2=\left(\begin{array}{ccc}0,68& 0,30& 0,024\\ 0,13& 0,49& 0,38\\ 0,20& 0,21& 0,59\end{array}\right)$

Die Matrix hat große Werte auch außerhalb der Diagonalen. Dies unterscheidet sie von der CKM-Matrix und führt zu einer starken Mischung der Neutrinofamilien mit der Zeit.

$\left(\begin{array}{c}|{\nu }_e(t)⟩\\ |{\nu }_{\mu }(t)⟩\\ |{\nu }_{\tau }(t)⟩\end{array}\right)=\mathbf{U}\left(\begin{array}{c}\exp (-i{E}_{{\nu }_1}t/\hslash )|{\nu }_1⟩\\ \exp (-i{E}_{{\nu }_2}t/\hslash )|{\nu }_2⟩\\ \exp (-i{E}_{{\nu }_3}t/\hslash )|{\nu }_3⟩\end{array}\right)\text{mit}{E}_{{\nu }_i}=\sqrt{p^2{c}^2+m_{{\nu }_i}^2{c}^4}$

Wurde ein Neutrino ursprünglich mit einem bestimmten dieser drei Flavours erzeugt, so kann eine spätere Quantenmessung einen anderen Flavour ergeben (Erhaltung der Leptonenfamilienzahlen ist verletzt). Da die Wahrscheinlichkeiten für jeden Flavour sich periodisch mit der Ausbreitung des Neutrinos ändern, spricht man von Neutrinooszillationen.

Beim Zerfall eines (linkshändigen) Leptons durch die schwache Wechselwirkung ändert sich während der Wechselwirkung nicht die Flavour (Erhaltung der Leptonenfamilienzahl in jedem Wechselwirkungsvertex), jedoch in der weiteren Zeitevolution können sich entstehende Neutrinos ineinander umwandeln, ändern somit die Flavour und verletzen somit die Leptonenfamilienzahl-Erhaltung. Die Leptonenzahl ist jedoch bei dieser Oszillation stets erhalten.

Hätten die Neutrinos keine Masse, dann wäre jeder Flavorzustand auch ein Eigenzustand des Massenoperators. Folglich könnte man keine Flavor-Oszillationen beobachten.

Lagrange-Dichte

Im folgenden werden für die Lagrange-Dichte $\mathcal{L}$ der schwachen Wechselwirkung die Wechselwirkungsanteile zwischen Fermionen und Eichbosonen analysiert.

Um die Beschreibung der schwachen Wechselwirkung besser einordnen zu können, wird zunächst die elektromagnetische Wechselwirkung beschrieben. Alle im Folgenden mit griechischen Indizes versehenen Größen stellen Vierervektoren dar.

Elektromagnetische Wechselwirkung

In der Quantenelektrodynamik ist die Wechselwirkungsenergie die die Kopplung von (Vierer-)Strömen geladener Teilchen $J_{\mu }^{em}$ an Photonen, dargestellt durch das elektromagnetische (Vierer-)Potential $A^{\mu }$, gegeben durch:

${\mathcal{L}}_{em}=e{J}_{\mu }^{em}{A}^{\mu }$

Die Kopplungskonstante ist die Elementarladung $e$. Die Stromdichte ist gegeben durch

$J_{\mu }^{em}=\sum _{u}Q\bar{u}(p_f){\gamma }_{\mu }u(p_i)$

wobei $Q$ die Ladungsquantenzahl (die elektrische Ladung der Teilchen in Einheiten der Elementarladung) ist, ${\gamma }_{\mu }$ sind die Dirac-Matrizen. $u(p_i)$ ist das Feld des einlaufenden Fermions (bzw. auslaufenden Antifermions) mit (Vierer-)Impuls $p_i$ und $\bar{u}(p_f)$ das des auslaufenden Fermions (bzw. des einlaufenden Antifermions) mit Impuls $p_f$. In einem Feynman-Diagramm beschreiben die Spinoren $u(p_i)$ und $\bar{u}(p_f)$ die äußeren durchgezogenen Linien.

Elektron-Elektron-Streuung mit $p_1=p_i$, $p_2=k_i$, $p_3=p_f$, $p_4=k_f$

Die Streuung zweier geladener Teilchen wird in der Bornschen Näherung (niedrigste Ordnung Störungstheorie) durch das nebenstehende Feynman-Diagramm beschreiben. Die dazugehörige Streuamplitude ist

$\begin{array}{rl}{T}_{fi}& =\overline{u}(p_f)[-\mathrm{i}Qe{\gamma }^{\mu }]u(p_i)[-\mathrm{i}\frac{{\eta }_{\mu \nu }}{q^2}]\overline{u}(k_f)[-\mathrm{i}Qe{\gamma }^{\nu }]u(k_i)\\ & =\underset{j^{\mu }}{\underbrace{Q\overline{u}(p_f){\gamma }^{\mu }u(p_i)}}\left[\frac{e^2}{q^2}\right]\underset{j_{\mu }}{\underbrace{Q\overline{u}(k_f){\gamma }_{\mu }u(k_i)}}\end{array}$

An jeden Vertex der Ladung $Qe$ muss ein Faktor $-\mathrm{i}Qe{\gamma }^{\mu }$ multipliziert werden. Am Vertex gilt wegen der Energie-Impuls-Erhaltung für den Vierervektor des Photons $q^{\mu }=(p_f-p_i{)}^{\mu }=(k_i-k_f{)}^{\mu }$.

Innere Linien des Feynman-Diagramms sind die sog. Propagatoren, hier der Photonenpropagator $-\mathrm{i}\frac{{\eta }_{\mu \nu }}{q^2}$, wobei $q$ der (Vierer-)Impulsübertrag und ${\eta }_{\mu \nu }$ der metrische Tensor der speziellen Relativitätstheorie ist.

Schwache Wechselwirkung

Bei der schwachen Wechselwirkung beschreiben ${\mathcal{L}}_{NC}$ (neutral current) und ${\mathcal{L}}_{CC}$ (charged current) die Summanden der Lagrange-Dichte, die die Wechselwirkung zwischen Fermionen und den Eichbosonen enthalten.

Geladene Ströme

Die schwachen geladenen Ströme werden durch folgenden Wechselwirkungsanteil beschrieben:

${\mathcal{L}}_{CC}=-\frac{g}{\sqrt{2}}[{\left(J_{d^{\prime }u}^{\mu }\right)}_L^{+}+{\left(J_{e\nu }^{\mu }\right)}_L^{+}]W_{\mu }^{+}-\frac{g}{\sqrt{2}}[{\left(J_{u{d}^{\prime }}^{\mu }\right)}_L^{-}+{\left(J_{\nu e}^{\mu }\right)}_L^{-}]W_{\mu }^{-}$

Die $W^{\pm }$ Bosonen koppeln mit derselben Kopplungskonstante $g/\sqrt{2}$ an alle linkshändigen Leptonen und Quarks.

Bei der Beschreibung der einzelnen Strömen tritt jeweils der Chiralitätsoperator ${\gamma }^5$ auf (dieser transformiert einen polaren in einen axialen Vektor). Bei massiven Teilchen wandelt dieser Teilchenspinoren positiver Helizität in Antiteilchenspinoren negativer Helizität um und umgekehrt (${\gamma }^5{\gamma }^{\mu }=-{\gamma }^{\mu }{\gamma }^5$). Daraus lässt sich der Linkshändigkeitsoperator konstruieren:

$L=\frac{1-{\gamma }^5}{2}$

Dieser Operator auf einen Spinor $u=u_R+u_L$ angewandt, projiziert auf den linkshändigen Anteil:

$Lu=u_L$

Wegen des Auftretens dieses Operators ist die schwache Wechselwirkung eine chirale Theorie. Der linkshändige Strom

$J_L^{\mu }=\bar{u}{\gamma }^{\mu }\frac{1-{\gamma }^5}{2}u=\frac{1}{2}(\bar{u}{\gamma }^{\mu }u-\bar{u}{\gamma }^{\mu }{\gamma }^{5}u)=\frac{1}{2}(J_V^{\mu }-J_A^{\mu })$

ist die (Halbe) Differenz aus Vektorstrom $J_V^{\mu }$ und Axialvektorstrom $J_A^{\mu }$, deswegen V minus A (siehe: V-A-Theorie).

Schwache geladene linkshändige Quarkströme mit $u_i=\{u,c,t\}$, $d_i=\{d,s,b\}$, $d_i^{\prime }=\{d^{\prime },s^{\prime },b^{\prime }\}$, $V_{ij}^{\mathrm{CKM}}$ ist die CKM-Mischungsmatrix:

$\begin{array}{rl}{\left(J_{d^{\prime }u}^{\mu }\right)}_L^{-}& ={\bar{d}}_{i,L}^{\prime }{\gamma }^{\mu }{u}_{i,L}={\bar{d}}_i{\gamma }^{\mu }\frac{1-{\gamma }^5}{2}{V}_{ij}^{\mathrm{CKM}}{u}_j\\ {\left(J_{u{d}^{\prime }}^{\mu }\right)}_L^{+}& ={\bar{u}}_{i,L}{\gamma }^{\mu }{d}_{i,L}^{\prime }={\bar{u}}_i{\gamma }^{\mu }\frac{1-{\gamma }^5}{2}{V}_{ij}^{\mathrm{CKM}}{d}_j\end{array}$

Schwache geladene linkshändige Leptonenströme mit $e_i=\{e,\mu ,\tau \}$, ${\nu }_i=\{{\nu }_e,{\nu }_{\mu },{\nu }_{\tau }\}$:

$\begin{array}{rl}{\left(J_{e\nu }^{\mu }\right)}_L^{+}& ={\bar{\nu }}_{i,L}{\gamma }^{\mu }{e}_{i,L}={\bar{\nu }}_i{\gamma }^{\mu }\frac{1-{\gamma }^5}{2}{e}_i\\ {\left(J_{\nu e}^{\mu }\right)}_L^{-}& ={\bar{e}}_{i,L}{\gamma }^{\mu }{\nu }_{i,L}={\bar{e}}_i{\gamma }^{\mu }\frac{1-{\gamma }^5}{2}{\nu }_i\end{array}$

An einen $W$ Vertex muss folgender Faktor multipliziert werden:

$-\mathrm{i}\frac{g}{\sqrt{2}}{\gamma }^{\mu }\frac{1-{\gamma }^5}{2}$

Der Propagator für massive (Masse $M$) Spin-1-Teilchen, wie es die W- und Z-Bosonen sind, lautet:

$-\mathrm{i}\frac{{\eta }_{\mu \nu }-q_{\mu }{q}_{\nu }/M^2}{q^2-M^2}\approx \mathrm{i}\frac{{\eta }_{\mu \nu }}{M^2}$

Da für die meisten Fälle $q^2\ll M^2$ gilt, kann der Propatator genähert werden. Im Gegensatz zum Photonenpropagator $-\frac{\mathrm{i}{\eta }_{\mu \nu }}{q^2}$ ist der Propagator $\frac{\mathrm{i}{\eta }_{\mu \nu }}{M^2}$ für kleine Impulsüberträge konstant.

Bei kleinen $q^2$ Werten ist die schwache Wechselwirkung viel schwächer als die elektromagnetische. Dies liegt nicht an der Kopplungskonstante der schwachen Wechselwirkung, denn die schwache Ladung $g$ liegt in derselben Größenordnung wie die elektrische Ladung $e$. Der Grund für die Schwäche der Wechselwirkung liegt in der Gestalt des Propagators der Austauschteilchen, da die riesige Bosonenmasse im Nenner steht und somit den Wechselwirkungsterm herabsetzt.

Die durch ein W-Boson vermittelte Streuung zweier Leptonen, hat eine Streuamplitude (in niedrigster Ordnung) von:

$T_{fi}=\overline{u}(p_f)[-\mathrm{i}\frac{g}{\sqrt{2}}{\gamma }^{\mu }\frac{1-{\gamma }^5}{2}]u(p_i)[-\mathrm{i}\frac{{\eta }_{\mu \nu }-q_{\mu }{q}_{\nu }/M_W^2}{q^2-M_W^2}]\overline{u}(k_f)[-\mathrm{i}\frac{g}{\sqrt{2}}{\gamma }^{\nu }\frac{1-{\gamma }^5}{2}]u(k_i)$

In der genäherten Form

$\begin{array}{rl}{T}_{fi}& \approx -\mathrm{i}\underset{(j_L{)}^{\mu }}{\underbrace{\overline{u}(p_f)\left[{\gamma }^{\mu }\frac{1-{\gamma }^5}{2}\right]u(p_i)}}\underset{4G_F/\sqrt{2}}{\underbrace{\left[\frac{g^2}{2M_W^2}\right]}}\underset{(j_L{)}_{\mu }}{\underbrace{\overline{u}(k_f)\left[{\gamma }_{\mu }\frac{1-{\gamma }^5}{2}\right]u(k_i)}}\end{array}$

wird die Streuamplitude durch die Kopplung zweier linkshändiger Ströme mittels einer Kopplungskonstanten beschrieben. Dies wurde von Enrico Fermi durch die Fermi-Wechselwirkung, und zwar als Wechselwirkung von vier beteiligten Teilchen an einem Raumzeitpunkt, beschrieben. Die Fermi-Konstante hat den Wert $G_F=1,16637\cdot {10}^{-5}{\text{GeV}}^{-2}$.

Neutrale Ströme

Die schwachen geladenen Ströme werden durch folgenden Wechselwirkungsanteil beschrieben:

${\mathcal{L}}_{NC}=\frac{g}{\cos {\theta }_W}{J}_{\mu }^{NC}{Z}^{\mu }=\frac{g}{\cos {\theta }_W}(J_{\mu }^3-{\sin }^2{\theta }_W{J}_{\mu }^{em})Z^{\mu }$

Die $Z$ Bosonen koppeln mit der Kopplungskonstante $g/\cos {\theta }_W$ an neutrale Ströme $J_{\mu }^{NC}=J_{\mu }^3-{\sin }^2{\theta }_W{J}_{\mu }^{em}$, die sich aus Isospin-Strömen $J_{\mu }^3$ und elektromagnetische Strömen $J_{\mu }^{em}$ zusammensetzen.

Getrennt betrachtet heißt das: Die $Z$ Bosonen koppeln mit der Kopplungskonstante $g/\cos {\theta }_W$ an Isospin-Ströme ($I_f^3$ ist der schwache Isospin der Fermionen: 1/2 für $\{u_i{\}}_L$ und $\{{\nu }_i{\}}_L$, −1/2 für $\{d_i{\}}_L$ und $\{e_i{\}}_L$ und 0 für alle rechtshändigen Teilchen), also an alle linkshändigen Fermionen

$J_{\mu }^3=\sum _f{I}_f^3\bar{f}{\gamma }_{\mu }\frac{1-{\gamma }^5}{2}f$

und mit der Kopplungskonstante $g{\sin }^2{\theta }_W/\cos {\theta }_W$ an elektromagnetische Ströme ($q_f$ ist die elektrische Ladung der Fermionen)

$J_{\mu }^{em}=\sum _f{q}_f\bar{f}{\gamma }_{\mu }f$

Somit koppeln geladene Fermionen ($\{u_i\}$, $\{d_i\}$ und $\{e_i\}$, aber nicht $\{{\nu }_i\}$) unabhängig von ihrer Händigkeit an Z-Bosonen.

Die Streuung zweier geladener Fermionen kann somit nicht nur über elektromagnetische Wechselwirkung also Photonenaustausch, sondern auch durch neutrale schwache Wechselwirkung, also Z-Austausch, erfolgen. Für geringe Teilchenenergien ist ersterer Prozess allerdings viel wahrscheinlicher.

An einen $Z$ Vertex muss immer der Faktor $-\frac{\mathrm{i}g}{\cos {\theta }_W}{\gamma }^{\mu }$ und zusätzlich je nach beteiligter Teilchenart unterschiedliche Faktoren multipliziert werden:

• $\{{\nu }_i\}$ Neutrinos: $\frac{1}{2}\frac{1-{\gamma }^5}{2}$
• $\{e_i\}$ geladene Leptonen: $-\frac{1}{2}\frac{1-{\gamma }^5}{2}+{\sin }^2{\theta }_W$
• $\{u_i\}$ Quarks mit 2/3 Ladung $\frac{1}{2}\frac{1-{\gamma }^5}{2}-\frac{2}{3}{\sin }^2{\theta }_W$
• $\{d_i^{\prime }\}$ Quarks mit −1/3 Ladung $-\frac{1}{2}\frac{1-{\gamma }^5}{2}+\frac{1}{3}{\sin }^2{\theta }_W$

Bei den letzteren dreien treten Summanden ohne den Linkshändigkeits-Operator $\frac{1-{\gamma }^5}{2}$ auf. Diese Z-Kopplungen wirken somit wohl auf links- als auch auf rechtshändige Fermionen.

Kombination der elektromagnetischen und neutralen Ströme

In der elektroschwachen Theorie lassen sich elektromagnetische und schwache neutrale Ströme kombinieren. Statt elektromagnetische Ströme an Photonen und schwache neutrale Ströme an Z-Bosonen

${\mathcal{L}}_{em,NC}=e{J}_{\mu }^{em}{A}^{\mu }+\frac{g}{\cos {\theta }_W}(J_{\mu }^3-{\sin }^2{\theta }_W{J}_{\mu }^{em})Z^{\mu }$

koppeln nun Isospin-Ströme an $W_3$ und Hyperladungs-Ströme an $B_0$ Bosonen:

${\mathcal{L}}_{ew,n}=g{J}_{\mu }^3{W}_3+\frac{1}{2}{g}^{\prime }{J}_{\mu }^Y{B}_0$

Wobei ein Hyperladungsstrom basierend auf der Hyperladung eines Fermions $Y_f=2(q_f-I_f^3)$ eingeführt wurde:

$J_{\mu }^Y=2(J_{\mu }^{em}-J_{\mu }^3)=\sum _f{Y}_f\bar{f}{\gamma }_{\mu }f$

Der Zusammenhang der Bosonen ist über $\gamma =B^0\cos {\theta }_W+W^0\sin {\theta }_W$ und $Z=-B^0\sin {\theta }_W+W^0\cos {\theta }_W$ gegeben und der Zusammenhang der Kopplungskonstanten über $e=g\sin {\theta }_W=g^{\prime }\cos {\theta }_W$.

Für Details siehe: englische Wikipedia zur elektroschwachen Wechselwirkung

Forschungsgeschichte

Das Z-Boson und damit der schwache Prozess wurde 1973 mit dem Gargamelle-Experiment am CERN erstmals nachgewiesen. Wesentliche Beiträge zur Erforschung wurden von Henry Primakoff im Zuge seiner Arbeiten zum später nach ihm benannten Primakoff-Effekt geleistet.

Literatur

• B. Povh, K. Rith, C. Scholz, F. Zetsche: Teilchen und Kerne. 8. Auflage. Springer, Berlin 2009, ISBN 978-3-540-68075-8
• C. Berger: Elementarteilchenphysik. 2. Auflage. Springer, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-23143-1
• E. A. Paschos: Electroweak Theory. 1. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 2007, ISBN 978-0-521-86098-7

Einzelnachweise

Die vier Grundkräfte der Physik

Starke Wechselwirkung | Elektromagnetische Wechselwirkung | Schwache Wechselwirkung | Gravitation