Isospin

Der (starke) Isospin ist in der Theorie der Elementarteilchen eine Flavour-Quantenzahl, die eine innere Symmetrie unter der starken Wechselwirkung beschreibt und zur Klassifizierung der Hadronen genutzt wird.

Allgemeiner wird das Konzept (so auch in der Festkörperphysik) verwendet, um Zweizustandssysteme zu beschreiben. Hierbei werden die beiden quantenmechanischen Zustände als gegensätzliche Orientierungen des Isospins aufgefasst (± $I_{z}$ ). Befindet sich das System in einer Überlagerung der beiden Zustände, so wird das durch die beiden anderen Komponenten ( $I_{x}, I_{y}$ ) beschrieben. Es wird dann von einem Isospin gesprochen (iso-: „quantitativ gleich“, von altgriechisch ἴσος), da das System genauso erscheint wie ein Spin-1/2 Teilchen, obwohl es sich nicht notwendigerweise um einen Spin handelt.

Entstehung

Bei Streuprozessen an Spiegelkernen wurde festgestellt, dass die starke Wechselwirkung nicht zwischen den neutralen Neutronen und positiv geladenen Protonen unterscheidet, d. h. dass sie ladungsunabhängig wirkt. Bezüglich der Kernkraft sind Neutron und Proton also identische Teilchen. Ihr geringfügiger Massenunterschied ist demzufolge durch ihre unterschiedliche elektrische Ladung bedingt. Auf der Basis dieser Tatsachen und Vermutungen folgerte Werner Heisenberg 1932, dass Proton und Neutron zwei verschiedene Ladungszustände ein und desselben Teilchens, des Nukleons, sind.

Zur weiteren Beschreibung entlieh er den quantenmechanischen Spinformalismus vom analogen Verhalten der Elektronen. Auch diese treten in zwei „Ausprägungen“ auf (Spin-up und Spin-down), die durch eine bestimmte Kraft nicht unterscheidbar sind – hier die rein elektrische Kraft.

Der Name Isospin wurde 1937 von Eugene Wigner geprägt und stand zunächst für isotoper Spin. Da dies jedoch als Hinweis auf eine Änderung der Nukleonenzahl missdeutet werden kann (vgl. Isotop), wird heute der Ausdruck isobarer Spin verwendet.

Der Isospin wurde lange vor der Formulierung des Quarkmodells postuliert. Murray Gell-Mann verband den Isospin mit dem Flavour Strangeness zum sogenannten Eightfold Way, einem direkten Vorläufer des Quarkmodells und der Quantenchromodynamik.

Formalismus

	up
Quark / Antiquark	u	u
Isospin $I_{z}$	+½	-½
	down
Quark / Antiquark	d	d
Isospin $I_{z}$	-½	+½

Wie der normale Spin der fundamentalen Fermionen (wie beispielsweise des Elektrons) hat der Isospin immer den Betrag 1/2.

Die kanonisch verwendete dritte Komponente $I_{z}$ (oft auch mit $I_{3}$ bezeichnet) des Isospins repräsentiert seine Einstellung und weist die zwei möglichen Werte +1/2 und −1/2 auf. Diese stehen im Quarkmodell für die beiden Quarks

u (up, engl.: oben): $I_{z} = + 1 / 2$ und
d (down, engl.: unten): $I_{z} = - 1 / 2$ .

Die Quarks s, c, b und t tragen keinen Isospin. Für Antiquarks ändert sich das Vorzeichen von $I_{z}$ .

Damit ist $I_{z}$ wie folgt durch die Anzahl der u- und d-Quarks sowie der zugehörigen Antiquarks gegeben:

I_{z} = \frac{1}{2} ((n_{u} - n_{\bar{u}}) - (n_{d} - n_{\bar{d}}))

.

Der Unterschied zwischen Proton und Neutron resultiert aus ihrer Zusammensetzung:

Proton p = uud $\Rightarrow I_{z} = + 1 / 2$
Neutron n = udd $\Rightarrow I_{z} = - 1 / 2$ .

Diese Zuweisung findet in manchen Büchern auch andersherum statt und ist nur eine Konvention, die unbedeutend ist, solange die Konsistenz gewahrt wird.

Hyperladung

	Teilchen	Bestandteile	el. Ladung $Q$	Isospin $I_{z}$	Hyperldg. $Y$
Quarks	Up	u	+2/3	+½	+1/3
	Anti-Up	u	-2/3	-½	-1/3
	Down	d	-1/3	-½	+1/3
	Anti-Down	d	+1/3	+½	-1/3
Hadronen	Proton	uud	+1	+½	+1
Hadronen	Neutron	udd	0	-½	+1

Aufgrund ihres Isospins und ihrer elektrischen Ladung $Q$ lässt sich vielen Teilchen mit Hilfe der Gell-Mann-Nishijima-Formel eine Hyperladung $Y$ zuordnen:

Y = 2 (Q - I_{z}) .

Die Hyperladung ist

für Up- und Down-Quark jeweils: $Y = + 1 / 3$
für Anti-Up- und Anti-Down-Quark jeweils: $Y = - 1 / 3$
für die Nukleonen (Proton p, Neutron n) jeweils: $Y = + 1$ .

Quantenfeldtheorie

Im Rahmen der Quantenfeldtheorie wird dem Isospin der zweidimensionale reelle Vektorraum $R^{2}$ zugeordnet, in dem sich die Quarks u und d als Basisvektoren darstellen lassen:

u = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}), d = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) .

Dadurch ist es möglich, die Umwandlung von Nukleonen zu beschreiben, wie sie im radioaktiven Zerfall stattfindet: $n \to p + e^{-} + \bar{ν}$ . Dies ist eine Transformation der SU(2)-Symmetrie, die in der Theorie der schwachen Wechselwirkung beschrieben wird.

Mathematisch werden diese Transformationen durch Leiteroperatoren vermittelt, die den Eichbosonen der Feldtheorie zugeordnet werden. So wird beispielsweise der Übergang $d \to u$ beschrieben durch die Matrixgleichung

(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) .

Erweiterung auf schwachen Isospin

Neben dem oben besprochenen starken Isospin lässt sich auch ein schwacher Isospin $T$ für Leptonen und Quarks einführen. Nach ihm werden die einzelnen Familien in schwache Isospin-Dubletts gruppiert, innerhalb derer sich die Teilchen bezüglich der schwachen Wechselwirkung identisch verhalten und z. T. ineinander übergehen:

{(\begin{matrix} ν_{e} \\ e^{-} \end{matrix})}_{L}, {(\begin{matrix} ν_{μ} \\ μ^{-} \end{matrix})}_{L}, {(\begin{matrix} ν_{τ} \\ τ^{-} \end{matrix})}_{L}; {(\begin{matrix} u \\ d^{'} \end{matrix})}_{L}, {(\begin{matrix} c \\ s^{'} \end{matrix})}_{L}, {(\begin{matrix} t \\ b^{'} \end{matrix})}_{L}

.

Hierbei sind d', s', b' die Eigenzustände der Quarks bezüglich der schwachen Wechselwirkung, welche durch die CKM-Matrix mit den Eigenzuständen der starken Wechselwirkung verknüpft sind. Der Index L deutet darauf hin, dass es nur für linkshändige Teilchen Übergänge innerhalb eines Dubletts gibt, welche durch geladene schwache Ströme vermittelt werden.

Der schwache Isospin der linkshändigen Dubletts hat den Betrag $T_{L} = 1 / 2$ und die dritte Komponente $T_{z}$ (synonym $T_{3}$ ):

für die neutralen Leptonen $ν_{e}, ν_{μ}, ν_{τ}$ und die positiv geladenen Quarks $u, c, t$ :

T_{z} = + 1 / 2

für die geladenen Leptonen $e^{-}, μ^{-}, τ^{-}$ und die negativ geladenen Quarks $d^{'}, s^{'}, b^{'}$ :

T_{z} = - 1 / 2

.

Rechtshändige Teilchen dagegen treten nur in Singuletts auf, da es einerseits keine rechtshändigen Neutrinos $ν$ gibt (Goldhaber-Experiment) und andererseits keine neutralen schwachen Ströme, die die Quarksorte ändern könnten:

e_{R}^{-}, μ_{R}^{-}, τ_{R}^{-}; u_{R}, d_{R}, c_{R}, s_{R}, t_{R}, b_{R}

.

Ihr Betrag des schwachen Isospins ist daher $T_{R} = 0$ .

Schwache Hyperladung

Aufgrund ihres schwachen Isospins und ihrer elektrischen Ladung lässt sich allen Teilchen mit Hilfe einer abgewandelten Gell-Mann-Nishijima-Formel eine schwache Hyperladung $Y_{W}$ zuordnen:

Y_{W} = 2 (Q - T_{z})

.

Sie ist

für linkshändige Leptonen, egal ob geladen oder nicht: $Y_{W} = - 1$
für linkshändige Quarks, egal ob positiv oder negativ geladen: $Y_{W} = + 1 / 3$

für rechtshändige (geladene) Leptonen: $Y_{W} = - 2$
für rechtshändige positiv geladene Quarks: $Y_{W} = + 4 / 3$
für rechtshändige negativ geladene Quarks: $Y_{W} = - 2 / 3$ .

	Linkshändig	el. Ladung $Q$	schw. Isospin $T_{z}$	schw. Hyperldg. $Y_{W}$	Rechtshändig	el. Ladung $Q$	schw. Isospin $T_{z}$	schw. Hyperldg. $Y_{W}$
Leptonen	$ν_{e}, ν_{μ}, ν_{τ}$	0	+½	-1	-	-	-	-
Leptonen	$e^{-}, μ^{-}, τ^{-}$	-1	-½	-1	$e_{R}^{-}, μ_{R}^{-}, τ_{R}^{-}$	-1	0	-2
Quarks	$u, c, t$	+2/3	+½	+1/3	$u_{R}, c_{R}, t_{R}$	+2/3	0	+4/3
Quarks	$d^{'}, s^{'}, b^{'}$	-1/3	-½	+1/3	$d_{R}, s_{R}, b_{R}$	-1/3	0	-2/3

Literatur

Bogdan Povh et al.: Teilchen und Kerne. Springer, Berlin, Heidelberg 2006, ISBN 978-3-540-36685-0