Weinbergwinkel

Der Weinbergwinkel (nach Steven Weinberg) oder elektroschwache Mischungswinkel $ \theta _{W} $ ist definiert durch das Massenverhältnis der W- und Z-Bosonen $ W^{\pm } $, $ Z^{0} $ ^[1]:

$ {\frac {m_{W}}{m_{Z}}}=\cos \theta _{W} $

Nach der Theorie der elektroschwachen Wechselwirkung beschreibt er den Zusammenhang zwischen den Kopplungsstärken – also den Einheiten der elektrischen Ladung $ e $ (Elementarladung) und der schwachen Ladung $ g $ – wie folgt:

$ e=g\cdot \sin \theta _{W} $

Weiter gilt:

$ \alpha _{em}=\alpha _{W}\cdot \sin ^{2}\theta _{W} $

Hierbei bezeichnet $ \alpha _{em} $ die elektrische und $ \alpha _{W} $ die schwache Kopplungskonstante ($ \alpha _{em} $ ist auch als Feinstrukturkonstante bekannt). $ \theta _{W} $ ist der Weinbergwinkel. Der aktuelle Wert beträgt $ \sin ^{2}(\theta _{W})=0{,}23122(15) $, also

$ \theta _{W}\approx 28{,}74^{\circ } $

Näherungsweise erhält man somit, dass die schwache Kopplung in etwa doppelt so groß ist wie die elektrische:

$ e\approx 0{,}5\cdot g $

Die Schwäche der schwachen Wechselwirkung erklärt sich somit nicht über die Kopplungskonstante sondern über den Propagatorterm, in dem die hohe Masse der Austauschbosonen der schwachen Wechselwirkung quadratisch in den Nenner eingeht.

Ursprung

Experimentell (Wu-Experiment) stellt man bei der schwachen Wechselwirkung eine Paritätsverletzung fest, die durch die V-A-Theorie erklärt wird. Das heißt, die geladenen Austauschbosonen der schwachen Wechselwirkung $ W^{+} $ und $ W^{-} $ koppeln nur an linkshändige Fermionen. Weiterhin stellt man fest, dass Neutrinos in der Natur nur linkshändig vorkommen (Goldhaber-Experiment). Führt man nun einen schwachen Isospin ein, so bilden das linkshändige Elektron und das Neutrino ein schwaches Isospin-Dublett ($ T_{z}= $± $ 1/2 $), das rechtshändige Elektron ein schwaches Isospin-Singulett ($ T_{z}=0 $).

Betrachtet man nun eine Reaktion vom Typ

$ \nu _{e}+X\rightarrow e^{-}+Y $

und fordert eine Erhaltung des schwachen Isospins, so muss das ausgetauschte Boson – hier ein $ W^{-} $ – ebenfalls einen Isospin tragen: $ T_{z}(W^{-})=-1 $. Als Konsequenz daraus ergibt sich ein schwaches Isospin-Triplett, bestehend aus $ W^{0} $ (manchmal auch als $ W^{3} $ bezeichnet), $ W^{1} $ und $ W $ $ ^{2} $ mit Kopplungsstärke $ g $ sowie ein Singulett $ B^{0} $ mit Kopplungsstärke $ g' $.

Im Rahmen der elektroschwachen Vereinheitlichung werden nun das $ Z^{0} $ und das Photon $ \gamma $ als Überlagerungs- oder Mischzustände aus den nicht beobachtbaren Teilchen $ W^{0} $ und $ B^{0} $ dargestellt:

$ {\Psi _{\gamma } \choose \Psi _{Z^{0}}}={\begin{pmatrix}\cos \theta _{W}&\sin \theta _{W}\\-\sin \theta _{W}&\cos \theta _{W}\end{pmatrix}}{\Psi _{B^{0}} \choose \Psi _{W^{0}}} $

Die $ \Psi _{x} $ bezeichnen hier die Wellenfunktionen der einzelnen Teilchen, die also durch den Weinbergwinkel verknüpft sind. In dieser Beziehung findet der Weinbergwinkel seine Definition. Hieraus ergeben sich auch die Zusammenhänge der Kopplungsstärken $ e $, $ g $ und $ g' $, die letztlich auf die obige Beziehung $ e=g\cdot \sin \theta _{W} $  sowie $ e=g'\cdot \cos \theta _{W} $  führen.

Übrigens werden das $ W^{+} $ und das $ W^{-} $ als komplexe Überlagerung aus den ebenfalls nicht beobachtbaren Teilchen $ W^{1} $ und $ W^{2} $ dargestellt:

$ {\Psi _{W^{+}} \choose \Psi _{W^{-}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&i\\1&-i\end{pmatrix}}{\Psi _{W^{1}} \choose \Psi _{W^{2}}} $

Einzelheiten siehe The W, Z and photon (WP en)

Konsequenzen

Als Konsequenz des Mischzustandes und des Weinbergwinkels ergibt sich u. a., dass die Kopplungsstärke der Z-Bosonen nicht mit der der W-Bosonen identisch ist. Die Kopplungsstärke des W⁺ an ein Fermion f ist gegeben durch

$ Q_{W}(f)=g\cdot T_{z}\; $ ,

die Kopplungsstärke des $ Z_{0} $ an ein Fermion f ist dagegen

$ Q_{Z}(f)={\frac {g}{\cos \theta _{W}}}\cdot \left(T_{z}-z_{f}\cdot \sin ^{2}\theta _{W}\right) $

wobei $ z_{f} $ die Ladung des Fermions in Einheiten der Elementarladung $ e $ ist. $ T_{z} $ bezeichnet den schwachen Isospin (3. Komponente), für linkshändige Neutrinos gilt beispielsweise $ T_{z}=1/2 $. Rechtshändige Neutrinos haben $ T_{z}=z_{\nu }=Q_{Z}(\nu _{R})=0 $ und unterliegen somit nicht den Wechselwirkungen des Standardmodells. Sie sind daher (im Rahmen des Standardmodells) nicht beobachtbar und es wird deshalb auch oft gesagt, sie kämen in der Natur nicht vor (was, so lange wir im Standardmodell bleiben, keinen Unterschied ergibt). Siehe auch Artikel 'Schwache Ladung'.

Experimentelle Bestimmung

Der Weinbergwinkel lässt sich experimentell z. B. entsprechend der obigen Definition aus dem Massenverhältnis der W- und Z-Bosonen bestimmen. Andere Bestimmungsmöglichkeiten sind die Neutrino-Elektron-Streuung und die elektroschwache Interferenz bei Elektron-Positron-Streuung, d. h. die Vermischung des Austausches virtueller Photonen $ \gamma $ und virtueller $ Z^{0} $-Teilchen.

Literatur

•  Lev Borisovich Okun: Leptons and Quarks. North-Holland Physics Publishing, Amsterdam, Netherlands 1982, ISBN 0-444-86924-7, S. 214.

Quellen

Siehe auch

• Cabibbo-Winkel

Weblinks

• German Hacker, Hilmar Vogel: Lernprogramm: Die Vereinigung der Wechselwirkungen (WW) – Einführung in die Theorie der elektroschwachen WW (2003)
• E158: A Precision Measurement of the Weak Mixing Angle in Møller Scattering
• Q-weak: A Precision Test of the Standard Model and Determination of the Weak Charges of the Quarks through Parity-Violating Electron Scattering