Propagator

Propagatoren sind spezielle Greensche Funktionen, also spezielle Lösungsfunktionen bestimmter (partieller) Differentialgleichungen, wie sie in der Physik (etwa in der Quantenelektrodynamik) vorkommen. Da sie als die Wahrscheinlichkeitsamplitude dafür interpretiert werden können, dass ein Teilchen von x nach y propagiert, werden die Propagatoren auch Zweipunktfunktionen genannt.

Je nach Differentialgleichung mit ihren Rand- und Anfangsbedingungen ergeben sich verschiedene Propagatoren, beispielsweise etwa der Ein-Elektron-Propagator. Der Begriff des Propagators rührt daher, dass er eine Propagation, d.h. eine Ausbreitung, eine Fortpflanzung bzw. ein Fortschreiten eines Teilchens bzw. einer Welle beschreibt. Die berühmten Feynman-Diagramme sind im Grunde nichts anderes als eine bildlich-geometrische (aber exakte) Darstellung von Propagatoren (Linien) und Vertices (Knotenpunkten).

Die Quantenelektrodynamik ist die quantisierte Form einer Feldtheorie, welche jeweils ein Maxwell- und ein Dirac-Feld enthält, die miteinander gekoppelt sind. Sowohl Elektron- als auch Photon-Propagator werden jeweils durch eine 4x4-Matrix dargestellt, da die zugehörigen Differentialoperatoren ebenfalls aus 4x4-Matrizen bestehen und Propagator bzw. Greenfunktion sowie Differentialoperator zueinander reziprok sind.

Schrödinger-Propagator

Innerhalb der Quantenmechanik entspricht der Propagator dem Zeitentwicklungsoperator, im Fall eines zeitunabhängigen Hamiltonoperators $ H $ geschrieben als:

$ U(t;t_{0}):=e^{-{\frac {i}{\hbar }}(t-t_{0})H} $

Die Matrixelemente dieses Propagators,

$ G(x,t|x_{0},t_{0}):=\langle x|U(t;t_{0})|x_{0}\rangle , $

bezeichnet man auch als Greenfunktion oder Greensche Funktion. Sie liefert die Wahrscheinlichkeitsamplitude, ein zum Zeitpunkt $ t_{0} $ bei $ x_{0} $ lokalisiertes Teilchen zum Zeitpunkt $ t $ bei $ x $ zu finden.

Zweite Quantisierung

In zweiter quantisierter Form kann die Greenfunktion auch

$ G(x,t|x_{0},t_{0})=\langle {\hat {\psi }}(x,t){\hat {\psi }}^{\dagger }(x_{0},t_{0})\rangle $

geschrieben werden, wobei $ \langle \cdots \rangle $ für den Grundzustands-Erwartungswert steht. Diese Form ist übertragbar auf die Vielteilchenquantenmechanik, wobei sich nur die Ermittlung des Erwartungswerts eventuell ändert (Quantenfeldtheorie, Festkörperphysik, Feynmandiagramm).

Wesentlich dabei ist vor allem, wie der Grundzustand im jeweilig interessierenden Teil der Physik definiert ist. In der Quantenfeldtheorie ist der Grundzustand identisch zum Vakuum-Zustand: ein Zustand ohne (reelle) Teilchen (allerdings mit sogenannten Vakuumfluktuationen). In der Kern- oder Atomphysik dagegen enthält der Grundzustand bereits reelle Teilchen (Protonen und Neutronen bzw. Elektronen); außerdem existiert ein zusätzliches äußeres Potential.

Ein weiterer Unterschied besteht in den angeregten Zuständen. In der Quantenfeldtheorie (zumindest für vernachlässigbare Kopplung) unterscheidet sich ein angeregter Zustand vom Grundzustand durch die Zahl der (reellen) Teilchen; Teilchen werden in der Quantenfeldtheorie sogar als Anregungszustände des zugehörigen Feldes interpretiert. In der Atom- und Kernphysik werden dagegen nur die bereits vorhandenen Teilchen in energetisch höhere Zustände des vorhandenen Potentials angehoben.

Beide Unterschiede führen dazu, dass in der Quantenfeldtheorie und der Atom- bzw. Kernphysik deutlich unterschiedliche Formen für die Propagatoren verwendet werden. Im Gegensatz zum oben beschriebenen Propagator im Ortsraum wird in der Quantenfeldtheorie meist ein Propagator im Impulsraum verwendet (im Wesentlichen die Fouriertransformierte des obigen Ausdrucks bezüglich Raum und Zeit; er beschreibt die Wahrscheinlichkeitsamplitude dafür, dass sich ein Teilchen mit vorgegebener Energie und Impuls bewegt). Das einfachste Beispiel ist der Propagator für ein sogenanntes skalares Feld, dessen Anregungen Teilchen mit Masse $ m $ sind:

$ G(p)={\frac {i}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }} $

Hierbei ist $ p $ der Viererimpuls des Teilchens.

In der Atom- und Kernphysik treten dagegen oft Propagatoren auf, welche die Wahrscheinlichkeitsamplitude dafür angeben, dass ein System am Anfang ein zusätzliches Teilchen im angeregten Zustand $ q $ und am Ende im angeregten Zustand $ p $ enthält.

$ G_{pq}(t,t'):=\langle 0\,|\,{\hat {T}}[{\hat {\psi }}_{p}(t){\hat {\psi }}_{q}^{\dagger }(t')]\,|\,0\rangle $

Hierbei ist $ |0\rangle $ der oben beschriebene Grundzustand, $ {\hat {\psi }}_{p}(t) $ ein Operator, der zur Zeit $ t $ ein Teilchen im Zustand $ p $ vernichtet, $ {\hat {\psi }}_{q}^{\dagger }(t') $ ein Operator, der zur Zeit $ t' $ ein Teilchen im Zustand $ q $ erzeugt und $ {\hat {T}} $ der Zeitordnungs-Operator.

Mehrteilchen-Propagatoren

Es sollte noch kurz darauf hingewiesen werden, dass gerade in der Atom- und Kernphysik oft auch Propagatoren verwendet werden, welche die Ausbreitung nicht nur eines, sondern mehrerer Teilchen gleichzeitig beschreiben. Ein Beispiel dafür wäre der sogenannte Polarisations-Propagator.

Ein verwandtes Konzept sind sogenannte Vielteilchen-Greenfunktionen; diese beschreiben aber i. A. nicht unbedingt ein Ausbreitung von Teilchen, sondern allgemeinere Konzepte (beispielsweise dienen sogenannte Drei-Punkt-Vertex-Funktionen zur Beschreibung der Wechselwirkung eines Elektrons mit einem Photon).