Energie-Zeit-Unschärferelation

Die Energie-Zeit-Unschärferelation beschreibt eine Grenzbedingung für die erreichbare Messgenauigkeit von Energie und Zeit in der Quantenmechanik. Die Relation wurde zuerst von Werner Heisenberg zusammen mit der Unschärferelation für Ort und Impuls publiziert, sie beschreibt jedoch einen grundsätzlich anderen Zusammenhang. Ebenso wie die heisenbergsche Unschärferelation ist auch die Energie-Zeit-Unschärferelation prinzipieller Natur und wird nicht als Folge von Unzulänglichkeiten im Messprozess angesehen. Formal wurde sie von Heisenberg wie folgt formuliert^[1][2]

$ \Delta E\cdot \Delta t\geq {\frac {\hbar }{2}}, $

wobei $ \hbar $ das reduzierte plancksche Wirkungsquantum ist. Anders als bei der Unschärferelation für Ort und Impuls lässt sich die Energie-Zeit-Unschärferelation nicht stringent aus dem Standardformalismus der Quantentheorie herleiten.

Über den quantenmechanischen Zusammenhang zwischen Energie und Kreisfrequenz, $ E=\hbar \cdot \omega $, lässt sich die Energie-Zeit-Unschärferelation auch als eine Frequenz-Zeit-Unschärferelation schreiben, $ \Delta \omega \cdot \Delta t\geq {\frac {1}{2}} $, siehe auch Lebensdauer (Physik).

Herleitungen

Heuristisch lässt sich die Zeit-Energie-Unschärferelation folgendermaßen argumentieren:

$ \Delta E\cdot \Delta t=F\Delta x\cdot \Delta t\approx \left({\frac {\Delta p}{\Delta t}}\,\Delta x\right)\cdot \Delta t=\Delta p\cdot \Delta x\geq {\frac {\hbar }{2}}. $

In dieser Gleichungskette wurde verwendet, dass sich die Energie aus dem Produkt von Kraft $ F $ und Weg $ \Delta x $ ergibt. Die Kraft $ F $ entspricht dabei der zeitlichen Ableitung des Impulses. Das letzte Ungleichheitszeichen ergibt sich aus der Unbestimmtheitsrelation für Ort und Impuls.

In einer formaleren Herleitung definiert man – für den Fall eines nicht explizit zeitabhängigen Hamilton-Operators $ H $ und einer ebenfalls nicht explizit zeitabhängigen Observablen $ A $ – für $ A $ eine Zeit in der sich $ A $ um eine Standardabweichung $ \Delta A $ ändert:

$ \Delta t_{A}={\frac {\Delta A}{\left|{\frac {d}{dt}}\left\langle A\right\rangle \right|}}. $

Aus dem Ehrenfest-Theorem folgt $ {\frac {d}{dt}}\left\langle A\right\rangle ={\frac {i}{\hbar }}\left\langle \left[H,A\right]\right\rangle $. Aus der Definition des Hamilton-Operators folgt $ \Delta H=\Delta E $. Es lässt sich nun die heisenbergsche Unschärferelation anwenden, aus dieser folgt:

$ \Delta E\Delta A\geq {\frac {1}{2}}\left|\left\langle \left[H,A\right]\right\rangle \right|={\frac {\hbar }{2}}\left|{\frac {d}{dt}}\left\langle A\right\rangle \right|\qquad \Rightarrow \qquad \Delta E\Delta t_{A}\geq {\frac {\hbar }{2}}. $

Als letzter Argumentationsschritt wird der Index $ A $ von $ t_{A} $ weggelassen, da eine solche Eigenzeit für jede Observable definiert werden kann.^[3]

Referenzen

Literatur

• Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 5/1; Quantenmechanik - Grundlagen. 7. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2004, ISBN 3-540-68868-4. Seite 220ff