Energie-Zeit-Unschärferelation

Die Energie-Zeit-Unschärferelation beschreibt eine Grenzbedingung für die erreichbare Messgenauigkeit von Energie und Zeit in der Quantenmechanik. Die Relation wurde zuerst von Werner Heisenberg zusammen mit der Unschärferelation für Ort und Impuls publiziert, sie beschreibt jedoch einen grundsätzlich anderen Zusammenhang. Ebenso wie die heisenbergsche Unschärferelation ist auch die Energie-Zeit-Unschärferelation prinzipieller Natur und wird nicht als Folge von Unzulänglichkeiten im Messprozess angesehen. Formal wurde sie von Heisenberg wie folgt formuliert^[1][2]

$ \Delta E\cdot \Delta t\geq {\frac {\hbar }{2}}, $

wobei $ \hbar $ das reduzierte plancksche Wirkungsquantum ist. Anders als bei der Unschärferelation für Ort und Impuls lässt sich die Energie-Zeit-Unschärferelation nicht stringent aus dem Standardformalismus der Quantentheorie herleiten.

Über den quantenmechanischen Zusammenhang zwischen Energie und Kreisfrequenz, $ E=\hbar \cdot \omega $, lässt sich die Energie-Zeit-Unschärferelation auch als eine Frequenz-Zeit-Unschärferelation schreiben, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta\omega\cdot\Delta t \ge \frac{1}{2} , siehe auch Lebensdauer (Physik).

Herleitungen

Heuristisch lässt sich die Zeit-Energie-Unschärferelation folgendermaßen argumentieren:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta E\cdot\Delta t =F\Delta x\cdot\Delta t \approx \left (\frac{\Delta p}{\Delta t}\,\Delta x \right )\cdot\Delta t =\Delta p\cdot \Delta x \ge \frac{\hbar}{2} .

In dieser Gleichungskette wurde verwendet, dass sich die Energie aus dem Produkt von Kraft Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F und Weg Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta x ergibt. Die Kraft Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F entspricht dabei der zeitlichen Ableitung des Impulses. Das letzte Ungleichheitszeichen ergibt sich aus der Unbestimmtheitsrelation für Ort und Impuls.

In einer formaleren Herleitung definiert man – für den Fall eines nicht explizit zeitabhängigen Hamilton-Operators Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): H und einer ebenfalls nicht explizit zeitabhängigen Observablen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A – für $ A $ eine Zeit in der sich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A um eine Standardabweichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta A ändert:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta t_{A} = \frac{\Delta A}{\left|\frac{d}{dt}\left\langle A\right\rangle\right|}.

Aus dem Ehrenfest-Theorem folgt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{d}{dt}\left\langle A\right\rangle = \frac{i}{\hbar}\left\langle \left[H,A\right] \right\rangle . Aus der Definition des Hamilton-Operators folgt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta H = \Delta E . Es lässt sich nun die heisenbergsche Unschärferelation anwenden, aus dieser folgt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta E \Delta A \geq \frac{1}{2} \left|\left\langle \left[H,A\right] \right\rangle\right| = \frac{\hbar}{2} \left| \frac{d}{dt}\left\langle A\right\rangle \right| \qquad \Rightarrow \qquad \Delta E \Delta t_{A} \geq \frac{\hbar}{2}.

Als letzter Argumentationsschritt wird der Index Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t_{A} weggelassen, da eine solche Eigenzeit für jede Observable definiert werden kann.^[3]

Referenzen

Literatur

• Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 5/1; Quantenmechanik - Grundlagen. 7. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2004, ISBN 3-540-68868-4. Seite 220ff