Permittivität

Die Permittivität ε (von lat.: permittere = erlauben, überlassen, durchlassen), auch dielektrische Leitfähigkeit genannt, gibt die Durchlässigkeit eines Materials für elektrische Felder an. Auch dem Vakuum ist eine Permittivität zugewiesen, da sich auch im Vakuum elektrische Felder einstellen oder elektromagnetische Felder ausbreiten können.

Die relative Permittivität ${\epsilon }_r$, auch Permittivitäts- oder Dielektrizitätszahl genannt, eines Mediums ist das Verhältnis seiner Permittivität $\epsilon$ zu der des Vakuums (Elektrische Feldkonstante ${\epsilon }_0$).

${\epsilon }_r=\frac{\epsilon }{{\epsilon }_0}$

Sie kennzeichnet die feldschwächenden Effekte der dielektrischen Polarisation des Mediums und hängt eng mit der elektrischen Suszeptibilität $\chi ={\epsilon }_r-1$ zusammen. In englischsprachiger Literatur und in Bezug zu der Halbleitertechnik wird die relative Permittivität auch mit $\kappa$ (kappa) bzw. mit k wie bei den Low-k-Dielektrika bezeichnet.

Die Bezeichnungen „Dielektrizitätskonstante“ für Permittivität und „relative Dielektrizitätskonstante“ für relative Permittivität gelten als veraltet und sollen nicht verwendet werden, insbesondere weil es sich hierbei – anders als der Name suggeriert – um keine Konstanten handelt, sondern eine starke Frequenzabhängigkeit besteht.

Erläuterung der Permittivität am Beispiel isolierender Stoffe

In einem Dielektrikum führt die Orientierung ortsfester elektrisch geladener Dipole zu Polarisationseffekten. Solche Materialien können den elektrischen Fluss um den Faktor ${ϵ}_r$ (relative Permittivität) besser leiten als der leere Raum

Als Permittivität bezeichnet man eine Materialeigenschaft elektrisch isolierender, polarer oder unpolarer Stoffe, die auch Dielektrika genannt werden. Diese Eigenschaft wirkt sich aus, wenn der Stoff mit einem elektrischen Feld wechselwirkt, etwa wenn er sich in einem Kondensator befindet. In einem mit Material gefüllten Kondensator orientieren sich die Ladungsträger des Isolationsmaterials am elektrischen Feldvektor und bilden ein Polarisationsfeld, das dem äußeren Feld entgegenwirkt und dieses schwächt. Dieses Phänomen der Feldschwächung lässt sich bei Annahme eines gegebenen elektrischen Erregungsfeldes dadurch beschreiben, dass dem isolierenden Material ein Faktor ${\epsilon }_r$ zur elektrischen Feldkonstante ${\epsilon }_0$ (Permittivität des Vakuums) zugewiesen wird. Aus der äußeren elektrischen Erregung $\overrightarrow{D}$, auch als elektrische Flussdichte bezeichnet, ergibt sich das elektrische Feld $\overrightarrow{E}$ mit der Permittivität $\epsilon$ zu:

$\overrightarrow{E}=\frac{\overrightarrow{D}}{\epsilon }=\frac{\overrightarrow{D}}{{\epsilon }_r{\epsilon }_0}.$

Bei konstanter elektrischer Erregung $\overrightarrow{D}$ und steigenden Werten von ${\epsilon }_r$ nimmt die elektrische Feldstärke $\overrightarrow{E}$ ab. Auf diese Weise wird der feldschwächende Effekt bei gleicher elektrischer Erregung erfasst, d. h. bei vorgegebener elektrischer Flussdichte oder vorgegebener elektrischer Ladung. Unter der Einwirkung einer an den Kondensatorplatten angelegten fixen Spannung U und dem elektrischen Feld $E=\frac{U}{d}$ (Plattenabstand d) ergibt sich die elektrische Erregung $\overrightarrow{D}$ mit der Permittivität $\epsilon$ zu:

$\overrightarrow{D}={\epsilon }_r{\epsilon }_0\overrightarrow{E}.$

Die elektrische Suszeptibilität $\chi$ ist mit der relativen Permittivität über:

${\epsilon }_r=\frac{\epsilon }{{\epsilon }_0}=1+\chi .$

verknüpft. Die Suszeptibilität ist dabei ein Maß für die Dichte im Isolationsmaterial gebundener Ladungsträger bezogen auf die Dichte freier Ladungsträger. Mehr dazu steht im Beitrag elektrische Suszeptibilität.

In der Elektrodynamik und auch in der Elektrostatik wird die Permittivität zur Beschreibung der o. a. Phänomene als Proportionalitätsfaktor im Zusammenhang zwischen elektrischer Flussdichte und elektrischer Feldstärke verwendet:

$\overrightarrow{D}=\epsilon \overrightarrow{E}$

In Materie stellt diese Gleichung nur die niedrigste Ordnung eines im Allgemeinen nichtlinearen Zusammenhangs dar: Im Falle großer Feldstärken fasst man entweder die Permittivität als feldstärkeabhängig auf und schreibt $\epsilon (E)$, oder man führt neben $\epsilon ={\epsilon }^{(1)}$ weitere Taylor-Koeffizienten ein, $\epsilon ={\epsilon }^{(2)}$ usw., die die Feldstärkeabhängigkeit von $\overrightarrow{D}$ beschreibt:

$\overrightarrow{D}=\frac{\overrightarrow{E}}{\Vert \overrightarrow{E}\Vert }({\epsilon }^{(1)}\cdot \Vert \overrightarrow{E}\Vert +{\epsilon }^{(2)}\cdot \Vert \overrightarrow{E}{\Vert }^2+{\epsilon }^{(3)}\cdot \Vert \overrightarrow{E}{\Vert }^3+\cdots )$

Im Vakuum als Referenzmaterial eines Isolierstoffes gilt die relative Permittivität ${\epsilon }_r=1$

Die Permittivität ist ein Proportionalitätsfaktor zwischen der Raumladungsdichte $\rho$ und der zweiten partiellen Ableitung des Potenzialfelds $\mathrm{\Phi }$. Sie lässt sich aus der Poisson-Gleichung der Elektrostatik errechnen.

$\epsilon =-\frac{\rho (\mathbf{r})}{\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }(\mathbf{r})}$

Permittivität des Vakuums

Die Permittivität des Vakuums ${ϵ}_0$ heißt auch elektrische Feldkonstante, entsprechend dem derzeitigen deutschsprachigen Entwurf des Internationalen Größensystems. Weitere Bezeichnungen sind elektrische Konstante, Dielektrizitätskonstante des Vakuums und Influenzkonstante.

Im Vakuum besteht zwischen der Permeabilität μ₀, der Permittivität des Vakuums ${ϵ}_0$ und der Vakuumlichtgeschwindigkeit c₀ folgender von Maxwell vorhergesagte und 1857 von Wilhelm Eduard Weber und Rudolf Kohlrausch experimentell bestätigte Zusammenhang:

$c_0^2=\frac{1}{{\epsilon }_0{\mu }_0}$

.

Im Internationalen Einheitensystem (SI–System) geschieht die Rückführung der elektromagnetischen auf die mechanischen Größen in der Definition der Stromstärke (Ampere), die darauf hinausläuft, dass sich die Permittivität des Vakuums mit beliebiger Genauigkeit aus den exakt festgelegten Naturkonstanten ${\mu }_0=4\pi \cdot {10}^{-7}\frac{\mathrm{Vs}}{\mathrm{Am}}$ und $c_0=\mathrm{2,997}92458\cdot {10}^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$ berechnen lässt:

${\epsilon }_0=\frac{1}{{\mu }_0{c}_0^2}=\mathrm{8,854}18781762\dots \cdot {10}^{-12}\frac{\mathrm{As}}{\mathrm{Vm}}$

Die Einheit der Permittivität kann hier ausgedrückt werden als:

$\mathrm{F}{\mathrm{m}}^{-1}={\mathrm{A}}^2{\mathrm{s}}^4{\mathrm{kg}}^{-1}{\mathrm{m}}^{-3}=\mathrm{As}{\mathrm{V}}^{-1}{\mathrm{m}}^{-1}=\mathrm{C}{\mathrm{V}}^{-1}{\mathrm{m}}^{-1}$

.

Da sich Luft nur geringfügig polarisieren lässt, kann oft die Permittivität für Luft in ausreichender Genauigkeit durch ${ϵ}_0$ genähert werden.

Zahlenwert und Einheit

Neben dem Coulomb-Gesetz, dem ampèreschen Gesetz und dem faradayschen Induktionsgesetz stellt der Zusammenhang zwischen μ₀, ${ϵ}_0$ und c₀ eine weitere Verknüpfung elektromagnetischer und mechanischer Einheiten dar, die bei der Wahl eines elektromagnetischen Einheitensystems zu berücksichtigen ist.

Abhängig vom verwendeten Einheitensystem verändert sich dabei die Darstellung der Permittivität $ϵ={ϵ}_0{ϵ}_r$ analog zur Darstellung von ${ϵ}_0$.

Die Verhältnisse im SI-Einheitensystem sind oben angegeben. In Einheitensystemen, die die elektromagnetischen Größen explizit auf mechanische Basisgrößen zurückführen, namentlich den verschiedenen Varianten des CGS-Einheitensystems, wird ${ϵ}_0$ als dimensionslose Zahl gewählt:

${\epsilon }_0:=1$

(Heaviside-Lorentz-Einheitensystem),

${\epsilon }_0:=\frac{1}{4\pi }$

(elektrostatisches, elektromagnetisches oder gaußsches Einheitensystem).

Relative Permittivität

Für ${\epsilon }_r$ sind folgende Bezeichnungen gebräuchlich (nach abnehmender Häufigkeit):

• Dielektrizitätskonstante
• Dielektrizitätszahl
• Permittivitätszahl
• relative Permittivität

Die Bezeichnung als Konstante ist unangemessen, da ${\epsilon }_r$ im Allgemeinen eine Funktion mehrerer Parameter ist, insbesondere der Frequenz und der Temperatur.

Nur für isotrope Medien ist ${\epsilon }_r$ eine skalare Größe. In diesem einfachsten Fall gibt sie den Faktor an, um den die Spannung an einem Kondensator sinkt, wenn man bei gleicher Geometrie ein zwischen den Kondensatorelektroden angenommenes Vakuum durch ein dielektrisches, nicht leitendes Material ersetzt. Im Versuch lässt sich dies nachvollziehen, wenn ein Luftvolumen um die Kondensatorelektroden z. B. durch eine dielektrische Flüssigkeit ersetzt wird. Für einen Plattenkondensator genügt es, einen dielektrischen Gegenstand zwischen die Elektroden zu schieben.

Relative Permittivität in kristallinen Strukturen

Im Allgemeinen ist ${\epsilon }_r$ jedoch ein Tensor zweiter Stufe, der die kristalline (oder anders geordnete) Struktur der Materie widerspiegelt und damit die Richtungsabhängigkeit der Faktoren. Die Tensoreigenschaft der Permittivität ist Grundlage für die Kristalloptik.

Die relative Permittivität ${\epsilon }_r$ ist ein Tensor zweiter Stufe (und damit als Funktion der Lichtausbreitungsrichtung relativ zu ausgezeichneten Kristallachsen), der sowohl von der Frequenz (also bei Betrachtung von Licht von dessen Wellenlänge) als auch vom äußeren elektrischen Feld und magnetischen Feldern abhängig ist, und wird auch dielektrische Funktion genannt. Vor allem im Englischen wird auch das Größensymbol κ verwendet (siehe Low-k-Dielektrikum bzw. High-k-Dielektrikum).

Frequenzabhängigkeit der relativen Permittivität

Die Permittivität in Materie ist frequenzabhängig und kann beispielsweise über das einfache Modell des Lorentz-Oszillators recht gut modelliert werden. Diese Frequenzabhängigkeit wird Dispersion genannt. Sie ist beispielsweise bei Wasser sehr stark ausgeprägt.

Die frequenzabhängige Brechzahl eines Materials steht in folgender Relation zur elektrischen Permittivität und zur magnetischen Permeabilität (beide ebenfalls frequenzabhängig):

$n^2(\lambda )={\mu }_r(\lambda )\cdot {\epsilon }_r(\lambda )$

.

Für transparente Stoffe gilt näherungsweise ${\epsilon }_r\approx n^2$, da ${\mu }_r\approx 1$ ist. Die optische Dispersion ist ein Ausdruck dafür, dass $\epsilon$ auch bei den Frequenzen sichtbaren Lichts keine konstante Zahl ist. In Tabellenwerken ist in der Regel der Zahlenwert bei niedrigen Frequenzen (Größenordnung 50 Hz bis 100 kHz) angegeben, bei denen molekulare Dipole dem äußeren Feld nahezu unverzögert folgen können. Das Zurückbleiben der Moleküle gegenüber dem hochfrequenten elektrischen Feld wird makroskopisch mit einer komplexen relativen Permittivität beschrieben.

Komplexwertige relative Permittivität

Beispielhafter Verlauf der komplexen relativen Permittivität über einen weiten Frequenzbereich. Aufgespalten in Realteil (rot) und Imaginärteil (blau) mit symbolischer Darstellung der verschiedenen Ursachen wie die Relaxation und bei höheren Frequenzen atomare und elektronische Resonanzen

Die relative Permittivität ${ϵ}_r$ ist allgemein komplexwertig. Genauso wie bei Gleichfeldern bilden sich auch bei Wechselfeldern in Dielektrika Polarisationsfelder, die aber gegebenenfalls der angelegten äußeren Feldgröße um einen gewissen Phasenwinkel nacheilen. Dabei bleibt die Orientierung der Ladungsträger im Dielektrikum in der Phase (zeitlich) hinter der Umpolarisierung des angelegten Wechselfeldes zurück. Mit zunehmender Frequenz wird dieser Effekt stärker. Es lässt sich leicht vorstellen, dass Wechselfelder hoher Frequenz durch schnelles, wiederkehrendes Umpolarisieren in isolierenden Materialien Wärmeverluste erzeugen. Bei noch höheren Frequenzen, mit denen Ladungsträger im Bändermodell eines Kristalls angeregt werden können, wird ebenfalls Energie absorbiert. Diesen Phänomenen wird dadurch Rechnung getragen, dass die relative Permittivität komplexwertig mit

${\epsilon }_r={\epsilon }_r^{\prime }+\mathrm{i}{\epsilon }_r^{″}$

alternativ auch mit

${\epsilon }_r={\epsilon }_1+\mathrm{i}{\epsilon }_2$

beschrieben wird, wobei die dielektrischen Verluste über den Imaginärteil ${\epsilon }_r$'' der Permittivität erfasst werden. Eine weitverbreitete Anwendung, die das Phänomen dielektrischer Verluste ausnutzt, ist die Erwärmung im Mikrowellenofen. Die Verlustleistungsdichte bei dielektrischer Erwärmung beträgt, bezogen auf das Materialvolumen:

$p=\omega \cdot {\epsilon }_r^{″}\cdot {\epsilon }_0\cdot E^2$

Die mit der Verlustleistung verbundene dielektrische Erwärmung entspricht bei Integration über den Erwärmungszeitraum exakt der einem Materialvolumen mit elektromagnetischen Wellen zugeführten inneren Energie eines Materials, wie in der Thermodynamik beschrieben. Der Imaginärteil der komplexwertigen, relativen Permittivität ist ein Maß für die Fähigkeit eines Stoffes, elektromagnetische Feldenergie bei Hochfrequenz in Wärmeenergie zu wandeln.

Temperaturabhängigkeit

Temperaturabhängig ist beispielsweise die komplexwertige, relative Permittivität von Wasser, deren Realteil bei Raumtemperatur einen Wert von etwa 80 annimmt, und bei 95 °C circa 55 beträgt. Die Abnahme der Permittivität bei steigender Temperatur hängt mit dem zunehmenden Grad der Unordnung der Ladungsträger bei einer Zunahme der inneren Energie zusammen. Molekular betrachtet nimmt die Polarisierbarkeit aufgrund der zunehmenden Eigenbewegung der Ladungsträger bei höherer innerer Energie ab; makroskopisch betrachtet sinkt somit die relative Permittivität bei Temperaturerhöhung.

Relative Permittivität ausgewählter Materialien

Tabellierte, umfassende Übersichten frequenz- und temperaturabhängiger, komplexer relativer Permittivitäten vieler Materialien finden sich in^[1] und vor allem in ^[2]

Verallgemeinerungen zur Dispersion, Richtungsabhängigkeit und Magnetfeld

Aus den Maxwell-Gleichungen folgt ein Zusammenhang zwischen der Brechzahl, der elektrischen Permittivität und der magnetischen Permeabilität,

$n^2={\epsilon }_r{\mu }_r$

Hier sind $\epsilon$ und μ bei der einschlägigen optischen Frequenz (größenordnungsmäßig im Bereich 10¹⁵ Hz) gemeint. Für gasförmige, flüssige und feste Materie ist ${\epsilon }_r$ größer eins. Allerdings gibt es in anderen Materiezuständen, z. B. im Plasma (sog. „vierter Aggregatzustand“), auch Werte, die kleiner als eins sein können.

In dispersiven Materialien hat man es mit der Reaktion des Materials auf elektromagnetische Felder mit der Frequenz von Licht zu tun, also sehr hohen Frequenzen über einen weiten Frequenzbereich. Hier muss der Zusammenhang zwischen der Brechzahl und den bei niedrigen Frequenzen gemessenen $\epsilon$ wesentlich allgemeiner gefasst und die Frequenzabhängigkeit berücksichtigt werden (siehe Lorentz-Oszillator). Auf diese Weise können Absorptions- und Reflexionsspektren von Materialien gut dargestellt werden.

Die Dielektrizitätskonstante wird dabei als komplexe Größe verwendet, mit einem Realteil ${\epsilon }_r^{\prime }$ und einem Imaginärteil ${\epsilon }_r^{″}$ (vgl. Abschnitt Komplexwertige relative Permittivität).

${\epsilon }_r(\omega )={\epsilon }_r^{\prime }(\omega )+i{\epsilon }_r^{″}(\omega )$

Dabei können in diesen beiden Komponenten direkt die Beiträge verschiedener Mechanismen im Material (z. B. Bandübergänge) angegeben und in ihrer Frequenzabhängigkeit addiert werden – eine detailliertere Darstellung findet sich unter elektrische Suszeptibilität. Über die Kramers-Kronig-Relation kann dann der (dispergierende) Zusammenhang zwischen der komplexen Dielektrizitätskonstanten und den optischen Kenngrößen Brechzahl n und Absorptionskoeffizient k dargestellt werden. Dies führt zu den theoretischen Spektren von Absorption und Reflexion, die mit gemessenen Spektren verglichen und angepasst werden können.

Für die Berechnung solcher Spektren (von Reflexion oder auch Absorption) können im Fall von ${\mu }_r\approx 1$ (nichtmagnetisches Material) die Größen n und k der komplexen Brechzahl direkt aus den Real- und Imaginärteilen der Permittivität bestimmt werden:

$n^2=\frac{1}{2}\cdot (\sqrt{({\epsilon }_r^{\prime 2}+{\epsilon }_r^{″2})}+{\epsilon }_r^{\prime })$

bzw.

$k^2=\frac{1}{2}\cdot (\sqrt{({\epsilon }_r^{\prime 2}+{\epsilon }_r^{″2})}-{\epsilon }_r^{\prime })$

umgekehrt gilt:

${\epsilon }_r^{\prime }=n^2-k^2$

bzw.

${\epsilon }_r^{″}=2nk$

Ebenfalls kann u. a. der Reflexionsgrad R berechnet werden. Es gilt für einen Strahl, der aus dem Vakuum (bzw. Luft) kommend senkrecht an einer Grenzfläche zu einem Medium mit Brechungsindex $N=n+ik$ reflektiert wird:

$R=\frac{(n-1{)}^2+k^2}{(n+1{)}^2+k^2}$

Auf Grund ihrer Kristallstruktur sind die Eigenschaften einiger Materialien richtungsabhängig, z. B. doppelbrechenden Materialien. Diese Materialien finden u. a. Anwendung bei Verzögerungsplatten. Mathematisch lässt sich diese Eigenschaft durch Darstellung in Tensorform erfassen, mit Komponenten für die einzelnen Richtungen. Diese sind wiederum als frequenzabhängig anzusetzen und sogar je nach Richtung in verschiedenem Maße. Neben der „natürlichen“ Richtungsabhängigkeit können die Eigenschaften auch durch äußere Einwirkungen wie ein Magnetfeld (siehe Magnetooptik) oder Druck eine ähnliche Richtungsabhängigkeit bewirken.

Siehe auch

• Ferroelektrikum
• Paraelektrikum
• Permeabilität (Magnetismus) - das Analogon für Magnetfelder

Literatur

• Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, Matthew Sands: The Feynman Lectures on Physics. Volume 2: Mainly Electromagnetism and Matter. 6th printing. Addison Wesley, Reading MA u. a. 1977, ISBN 0-201-02117-X.
• Heinrich Frohne: Einführung in die Elektrotechnik. Band 2: Heinrich Frohne, Erwin Ueckert: Elektrische und magnetische Felder (= Teubner Studienskripten. Bd. 2: Elektrotechnik.). 4., durchgesehene Auflage. Teubner, Stuttgart 1983, ISBN 3-519-30002-8.
• Arthur von Hippel: Dielectrics and Waves. Wiley u. a., New York NY u. a. 1954 (2nd edition. Artech House, Boston MA u. a. 1995, ISBN 0-89006-803-8).
• Arthur von Hippel (Hrsg.): Dielectric Materials and Applications. Technology Press, Boston MA u. a. 1954 (2nd edition. Artech House, Boston MA u. a. 1995, ISBN 0-89006-805-4).
• A. C. Metaxas: Foundations of Electroheat. A Unified Approach. John Wiley and Sons, Chichester u. a. 1996, ISBN 0-471-95644-9.
• A. C. Metaxas, R. J. Meredith: Industrial Microwave Heating (= IEE Power Engineering Series. Vol. 4). Peter Peregrinus, London 1983, ISBN 0-90604-889-3.
• Károly Simonyi: Theoretische Elektrotechnik. 10. Auflage. Barth Verlagsgesellschaft, Leipzig u. a. 1993, ISBN 3-335-00375-6.

Einzelnachweise