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Brechungsindex

Brechungsindex

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Wellenfronten, die von einem Punkt ausgehen, beim Übergang in ein Medium mit einem höheren Brechungsindex. Die Phasengeschwindigkeit der Welle ist unterhalb des grauen Strichs niedriger. Die oben exakt kugelförmigen Wellenfronten sind unten nicht mehr kugelförmig, sondern nahezu hyperbolisch. Diesen Effekt kennt man vom Blick in ein Wasserbecken, der Grund erscheint nicht nur angehoben, sondern zusätzlich gekrümmt.

Der Brechungsindex, auch die Brechzahl, ist eine optische Materialeigenschaft. Diese physikalische dimensionslose Größe gibt an, um welchen Faktor die Wellenlänge und die Phasengeschwindigkeit des Lichts kleiner sind als im Vakuum.

An der Grenzfläche zweier Medien mit unterschiedlichem Brechungsindex wird Licht gebrochen und reflektiert. Dabei nennt man das Medium mit dem höheren Brechungsindex das optisch dichtere. Dies ist nicht zu verwechseln mit der „optischen Dichte“ als Maß für die Extinktion.

Physikalische Grundlagen

Einfluss des komplexen Brechungsindex eines Materials ($ n_{1}+\mathrm {i} k_{1} $) auf das Reflexionsverhalten eines Lichtstrahls beim Auftreffen auf die Grenzfläche Luft/Material
Verlauf des wellenlängenabhängigen komplexen Brechungsindex im visuellen Bereich für einen Halbleiter mit Bandübergängen in diesem Bereich

Die Bezeichnung „Brechungsindex“ kommt vom Begriff Brechung und seinem Auftreten im Snelliusschen Brechungsgesetz. Der Brechungsindex $ n $ ist eine dimensionslose physikalische Größe, also eine reine Zahl. Er gibt das Verhältnis der Vakuumlichtgeschwindigkeit $ c_{0} $ zur Ausbreitungsgeschwindigkeit $ c_{\mathrm {M} } $ des Lichts im Medium an:

$ n={\frac {c_{0}}{c_{\mathrm {M} }}} $

Komplexer Brechungsindex

Zur Berücksichtigung der Absorption der Welle im Medium kann der Brechungsindex auch als komplexe Zahl angegeben werden. Hierbei sind unterschiedliche, gleichwertige Darstellungen üblich:

  • als Summe von Realteil und dem mit der imaginäre Einheit i multiplizierten Imaginärteil einer komplexen Zahl[1][2]
    Beispiel: $ {\boldsymbol {n}}=n_{r}+\mathrm {i} \,n_{i}\; $ oder $ {\boldsymbol {n}}=n'+\mathrm {i} \,n'' $ oder $ {\boldsymbol {n}}=n+\mathrm {i} \,K $
  • als Differenz von Realteil und dem mit i multiplizierten Imaginärteil einer komplexen Zahl[3][4][5].
    Beispiel: $ {\boldsymbol {n}}=n'-\mathrm {i} \,n'' $ oder $ {\boldsymbol {n}}=n_{r}-\mathrm {i} \,k $
  • als Produkt aus dem reellen Brechungsindex $ n $ und einer komplexen Zahl[5].
    Beispiel: $ {\boldsymbol {n}}=n\left(1-\mathrm {i} \,\kappa \right) $

Das in einigen Darstellungen enthaltene Minuszeichen vor dem Imaginärteil wird gewählt, damit der Imaginärteil ($ k $, $ n'' $ oder $ n_{i} $) bei absorbierendem Material ein positives Vorzeichen bekommt.[3] Dieser Imaginärteil $ K $ wird Extinktionskoeffizient oder Absorptionsindex genannt.[6][7] Davon abweichend bezeichnen Autoren, die die Darstellung als Produkt verwenden, $ \kappa $ als Absorptionsindex, also den Imaginärteil geteilt durch $ n $.[5]

Sowohl der Realteil als auch der Imaginärteil des Brechungsindex ist im Allgemeinen von der Frequenz und damit auch von der Wellenlänge abhängig. Dieser als Dispersion bezeichnete Effekt ermöglicht beispielsweise die Zerlegung von weißem Licht in seine Spektralfarben an einem Prisma. Die Frequenzabhängigkeit des Brechungsindex in Materie kann recht gut über das Modell des Lorentz-Oszillators beschrieben werden.

Permittivitätszahl

Der komplexe Brechungsindex ist mit der Permittivitätszahl (dielektrische Funktion) $ \varepsilon _{r} $ und der Permeabilitätszahl $ \mu _{r}\,\! $ verknüpft:

$ {\boldsymbol {n}}={\sqrt {\varepsilon _{r}\mu _{r}}}. $

Dabei sind alle Größen im Allgemeinen komplex und frequenzabhängig. Zu beachten ist hierbei, dass die Konzepte der Permittivitäts- und der Permeabilitätszahl Näherungen sind, die sich je nach System besser oder schlechter zur Beschreibung der Effekte der Polarisierung bzw. der Magnetisierung eignen.

Wenn man die Wellenlängenabhängigkeit (Dispersion) des Brechungsindex eines Materials theoretisch ermitteln will, geht man über die elektrische Suszeptibilität, die die Beiträge der verschiedenen Mechanismen im Material zu den Eigenschaften erfasst und in der komplexen Permittivität mündet. Im Fall von nichtmagnetischem Material ist $ \mu _{r}\approx 1 $ und der komplexe Brechungsindex kann direkt aus Real- ($ \varepsilon _{1} $) und Imaginärteil ($ \varepsilon _{2} $) der Permittivitätszahl angegeben werden:

$ {\boldsymbol {n}}={\sqrt {\varepsilon _{r}}}={\sqrt {{\varepsilon }_{1}+\mathrm {i} {\varepsilon }_{2}}} $

Hieraus kann man die Größen $ n $ und $ k $ berechnen:

$ n^{2}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {{\varepsilon _{1}}^{2}+{\varepsilon _{2}}^{2}}}+\varepsilon _{1}\right) $
$ k^{2}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {{\varepsilon _{1}}^{2}+{\varepsilon _{2}}^{2}}}-\varepsilon _{1}\right) $

Gruppenbrechungsindex

Das Verhältnis der Vakuumlichtgeschwindigkeit $ c_{0} $ und der Gruppengeschwindigkeit $ c_{g} $ des Lichts im Medium ist der Gruppenbrechungsindex $ n_{\mathrm {g} } $. Diese von der Wellenlänge $ \lambda $ des Lichts abhängige Materialeigenschaft wird auch Gruppenbrechungsindex genannt.

$ n_{\mathrm {g} }(\lambda )={\frac {c_{0}}{c_{\mathrm {g} }(\lambda )}} $

Die Gruppengeschwindigkeit hat im Vakuum den gleichen Wert wie die Phasengeschwindigkeit. Zudem ist dieser Wert unabhängig von der Wellenlänge des Lichts. Im Medium ist das nicht notwendigerweise der Fall. Besonders bei Wellenlängen, für die das Material große Dispersion zeigt, ergeben sich Unterschiede.

Andere Definitionen

Brechung

Die Definition des Brechungsindex erfolgte oben über die Geschwindigkeit, mit der sich Licht im Material ausbreitet. Dieses Vorgehen ist naheliegend, aber nicht in allen Fällen anwendbar. Beispielsweise können Meta-Materialien dem geometrischen Strahlengang nach einen negativen Brechungsindex (s. u.) aufweisen. Ein negativer Wert der Lichtgeschwindigkeit ist jedoch nicht sinnvoll definiert.

Alternative Definitionen des Brechungsindex, bei denen dieses Problem nicht auftritt, sind:

  • Über das Fermatsche Prinzip, nach welchem das Licht zwischen zwei Punkten jenen Weg zurücklegt, für den es einen Extremwert der Zeit benötigt.
  • Über das Huygenssche Prinzip, das besagt, dass jeder Punkt einer Wellenfront als Ausgangspunkt einer Kugelwelle angesehen werden kann und die Interferenz aller dieser Wellen die weiter propagierende Wellenfront ergibt.
  • Über die Strahlenoptik. Nach dem erwähnten Snellius-Brechungsgesetz entspricht n dem Sinus-Verhältnis von Einfallswinkel und gebrochenem Winkel.

Alle diese Definitionen liefern für gewöhnliche, optische Materialien denselben Wert.

Brechungsindex der Luft und anderer Stoffe

Brechungsindex ausgewählter Stoffe bei der Wellenlänge 589 nm (gelb-orange) der Natrium-D-Linie.
Material Brechungsindex n
Vakuum exakt 1
Luft (bodennah) 1,000292
Plasma 0 … 1
Caesium [8] ≈ 0,345 (k ≈ 1,07)
Aerogel 1,007 … 1,24
Eis 1,31
Wasser 1,33
menschl. Augenlinse 1,35 … 1,42
Ethanol[9] (liqu.) 1,3614
Magnesiumfluorid 1,38
Flussspat (Calciumfluorid) 1,43
menschliche Epidermis 1,45
Tetrachlorkohlenstoff (liqu.) 1,46
Quarzglas 1,46
Glyzerin 1,47399
Celluloseacetat (CA) 1,48
PMMA (Plexiglas™) 1,49
Benzol (liqu.) 1,49
Kronglas ≈1,46 … 1,65
Mikroskopische Deckgläser 1,523
COC (ein Kunststoff) 1,533
PMMI (ein Kunststoff) 1,534
Quarz 1,54
Halit (Steinsalz) 1,54
Polystyrol (PS) 1,58
Polycarbonat (PC) 1,585
Epoxidharz ≈ 1,55 … 1,63
Flintglas ≈ 1,56 … 1,93
Kohlenstoffdisulfid (liqu.) 1,63
Kunststoffglas für Brillen bis 1,67
Diiodmethan (liqu.) 1,742
Rubin (Aluminiumoxid) 1,76
Mineralglas für Brillen (polarisierend) bis 1,9 (1,5)
Glas 1,45 … 2,14
Bleikristall bis 1,93
Zirkon 1,92
Schwefel 2,00
Zinksulfid 2,37
Diamant 2,42
Titandioxid (Anatas) 2,52
Siliciumcarbid 2,65 … 2,69
Titandioxid (Rutil) 3,10
Bleisulfid (PbS) 3,90

Größenordnungen

Vakuum hat per definitionem einen Brechungsindex von exakt 1. Im sichtbaren Bereich sind die Brechungsindizes realer Materialien so gut wie immer größer als 1. Für jeden Stoff gibt es jedoch Wellenlängen (z. B. oberhalb des sichtbaren Bereiches), bei denen der Brechungsindex kleiner als 1 wird (aber positiv bleibt). Für sehr kleine Wellenlängen (Röntgenstrahlung, Gammastrahlung) ist der Brechungsindex immer kleiner als 1 und nähert sich mit sinkender Wellenlänge der 1 von unten an. Beispielsweise im Röntgenbereich ist die Darstellung $ n=1-\delta $ üblich, wobei typische Werte für $ \delta $ zwischen 10−9 und 10−5 liegen (stark abhängig von der Wellenlänge, abhängig von der Ordnungszahl und Dichte des Materials).

Luft

Der Brechungsindex für sichtbares Licht von Luft beträgt auf Meeresniveau 1,00028[10] (trockene Luft bei Normatmosphäre). Er hängt von der Dichte und damit von Temperatur der Luft ab, sowie von der speziellen Zusammensetzung der Luft – insbesondere der Luftfeuchtigkeit. Da die Luftdichte nach oben – entsprechend den Gasgesetzen in einem Schwerefeld – exponentiell abnimmt, siehe barometrische Höhenformel, beträgt er in etwa 8 km Höhe nur mehr 1,00011. Durch die astronomische Refraktion scheinen Sterne höher zu stehen als das ohne Atmosphäre der Fall wäre. Im technischen Bereich wird manchmal zur Vereinfachung der Brechungsindex der Materialien auf den von Luft bezogen.

Wellenlängenabhängigkeit

Der Brechungsindex einiger Glassorten als Funktion der Wellenlänge. Der sichtbare Bereich ist rot markiert.

Da wie in der Einleitung beschrieben der Brechungsindex jedes Materials von der Wellenlänge des einfallenden Lichts abhängt (was auch bei elektromagnetischer Strahlung außerhalb des sichtbaren Bereichs gilt), wäre es notwendig, diesen auch wellenlängenabhängig (tabellarisch oder als Funktion) anzugeben. Da dies aber für viele einfache Anwendungen nicht notwendig ist, wird der Brechungsindex üblicherweise für die Wellenlänge der Natrium-D-Linie (589 nm) angegeben. In der linken Abbildung sind als Beispiel Kurven des wellenlängenabhängigen Brechungsindex einiger Glassorten dargestellt. Sie zeigen den typischen Verlauf einer normalen Dispersion.

Die Stärke der Dispersion wird in erster Näherung durch die Abbesche Zahl angegeben.


Messung

Zur experimentellen Bestimmung des Brechungsindex eines Mediums mit $ \mu _{r2}\ ({\mbox{med}})=\mu _{r1}\ ({\mbox{Luft}}) $ (zum Beispiel nicht magnetisch) nmed kann man zum Beispiel den Brewster-Winkel beim Übergang von Luft in dieses Medium messen. Für diesen Fall gilt $ \tan(\alpha _{\rm {Brewster}})={\frac {n_{\rm {med}}}{n_{\rm {Luft}}}}\approx n_{\rm {med}} $. Für die Messung wird ein Refraktometer angewandt.

Eine Abschätzung des Brechungsindexes ist mit der sogenannten Immersionsmethode durch das Eintauchen eines Gegenstands in durchsichtige Flüssigkeiten mit verschiedener Dichte möglich. Wenn der Brechungsindex von Gegenstand und Flüssigkeit identisch sind, verschwinden die Konturen des Gegenstands. Dieses Verfahren kann leicht eingesetzt werden, um zum Beispiel Rubine oder Saphire mit einem Brechungsindex von rund 1,76 zu identifizieren, indem sie in eine geeignete Schwerflüssigkeit eingetaucht werden, wie beispielsweise Diiodmethan (Brechungsindex = 1,74).

Anwendung

Der Brechungsindex ist eine der zentralen Bestimmungsgrößen für optische Linsen. Die Kunst der Optikrechnung zur Auslegung optischer Instrumente (Objektive, Messinstrumente) beruht auf der Kombination verschiedener brechender Linsenoberflächen mit passenden Glassorten.

In der Chemie wird der Brechungsindex bei einer bestimmten Temperatur oft eingesetzt, um flüssige Substanzen zu charakterisieren. Die Temperatur und die Wellenlänge, bei der der Brechungsindex bestimmt wurde, werden dabei dem Symbol für den Brechungsindex angefügt, für 20 °C und die Natrium-D-Linie z. B. $ n_{D}^{20} $.

Die Bestimmung des Brechungsindex erlaubt eine einfache Bestimmung des Gehaltes einer bestimmten Substanz in einem Lösungsmittel:

Mikroprozessoren werden mittels Photolithographie hergestellt. Die Ätzmaske wird dabei durch ultraviolettes Licht einer Wellenlänge von 193 Nanometern übertragen. Normalerweise sind die kleinstmöglichen Abmessungen durch die halbe Wellenlänge begrenzt. Durch Einsatz von Flüssigkeiten mit einem Brechungsindex von 1,6 gelang es, ein Gitter paralleler Linien einer Dicke von nur 29,9 Nanometern zu erzeugen. Dadurch ist bei der Chipherstellung eine zukünftige weitere Steigerung unter Verwendung der gleichen Lichtquelle möglich.[11][12]

Zusammenhang mit dem atomaren Aufbau des Materials

Beziehung zwischen Brechungsindex und Dichte für Silikat- und Borosilikatgläser.[13]

Der Brechungsindex eines Materials hängt direkt mit seinem atomaren Aufbau zusammen. Der Grad der Kristallinität und das Kristallgitter eines Festkörpers wirken sich auf dessen Bandstruktur und somit auf den Brechungsindex aus. Im sichtbaren Spektrum zeigt sich dies beispielsweise bei der Verschiebung der Bandlücke. Durch einen anisotropen Kristallaufbau können zusätzlich Effekte wie die Doppelbrechung entstehen, bei dem das Material für unterschiedlich polarisiertes Licht abweichende Brechungsindizes besitzt.

Bei teilkristallinen oder amorphen Materialien hat der atomare Aufbau ebenfalls deutlichen Einfluss auf den Brechungsindex. So erhöht sich in der Regel der Brechungsindex von Silikat- und Borosilikatgläsern mit ihrer Dichte. Zum Beispiel haben Bleisilikatgläser mit hoher Dichte auch einen hohen Brechungsindex. Es gilt jedoch zu beachten, dass trotz des allgemeinen Trends die Beziehung zwischen Brechungsindex und Dichte nicht immer linear ist und dass Ausnahmen auftreten, wie links im Diagramm dargestellt. Einen relativ großen Brechungsindex und eine kleine Dichte kann man mit Gläsern erhalten, die leichte Metalloxide wie Li2O oder MgO enthalten, während das Gegenteil mit PbO- und BaO-haltigen Gläsern erreicht wird.

Negative Brechungsindizes

Geschichte

1968 beschrieb der sowjetische Physiker Victor Veselago das seltsame Verhalten von Materialien mit negativem Brechungsindex: „Würde die Herstellung gelingen, könnte man damit Linsen fertigen, deren Auflösungsvermögen weit besser wäre als das von Linsen aus gewöhnlichen optischen Werkstoffen“.[14] 1999 schlug Sir John Pendry ein Design für Metamaterialien mit negativem Brechungsindex für Mikrowellen vor,[15] das kurz darauf realisiert wurde.[16][17]

2003 hat eine Gruppe um Yong Zhang in Colorado entdeckt, dass Kristalle aus Yttrium-Vanadat (YVO4), einer Verbindung von Yttrium, Vanadium und Sauerstoff, auch ohne Weiterverarbeitung einen negativen Brechungsindex für Lichtwellen eines großen Frequenzbereichs aufweisen.[18] Der Kristall besteht aus zwei ineinandergeschachtelten Kristallgittern mit symmetrischen optischen Achsen. Die negative Lichtbrechung tritt aber nur in einem gewissen Winkelbereich des Einfallswinkels auf. In künftigen Experimenten wollen die Forscher weitere vermutete Eigenschaften der negativen Brechung prüfen – wie etwa die Umkehrung des Dopplereffekts und der Tscherenkow-Strahlung.[19]

2007 stellten Vladimir Shalaev und seine Kollegen von der Purdue-Universität ein Metamaterial mit negativem Brechungsindex für Strahlung im nahen Infrarotbereich vor.[20]

2007 ist es Physikern um Ulf Leonhardt von der Universität St Andrews unter Verwendung von Metamaterial mit negativem Brechungsindex („linkshändiges Material“) gelungen, den sogenannten Casimir-Effekt umzukehren (reverser Casimir-Effekt, auch Quanten-Levitation genannt). Dies eröffnet die Zukunftsperspektive auf eine (nahezu) reibungslose Nanotechnologie.[21][22]

Nicht durch Beugung begrenzte Linsen

Im Jahr 2000 zeigte John Pendry, dass mit einem Material mit negativem Brechungsindex eine Linse hergestellt werden kann, deren Auflösung nicht durch das Beugungslimit begrenzt ist.[23] Eine einschränkende Bedingung ist dabei, dass sich die Linse im Nahfeld des Objekts befinden muss, damit die evaneszente Welle noch nicht zu stark abgeklungen ist. Für sichtbares Licht bedeutet das einen Abstand von etwa < 1 µm. Einige Jahre später gelang es Forschern um Prof. Xiang Zhang an der Universität Berkeley, ein Mikroskop mit einer Auflösung von einem Sechstel der Wellenlänge des verwendeten Lichts zu bauen.[24]

Literatur

  • Michael Bass: Handbook of Optics Volume 1. Optical Techniques and Design:. 2. Auflage. Mcgraw-Hill Professional, 1994, ISBN 007047740X.
  • Martin Roß-Meßemer: Den kleinsten Winkel im Visier. In: Innovation. Nr. 10, 2001, S. 22–23 (PDF-Datei; 705 kB, abgerufen am 20. Dezember 2009).
  • Schott Glass (Hrsg.): Optical Glass Properties. 2000 (Produktkatalog; Brechungsindizes verschiedener Glassorten; PDF-Datei; 257 kB).

Weblinks

Wiktionary Wiktionary: Brechungsindex – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
Commons: Brechung – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

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Einzelnachweise

  1. ↑ Eugene Hecht: Optik. Oldenbourg Verlag, 2005, ISBN 9783486273595, Kapitel 4.8 (eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche).
  2. ↑ Charles Kittel: Einführung in die Festkörperphysik. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 2005, ISBN 3486577239.
  3. ↑ 3,0 3,1 Richard Feynman, Roberts Leighton, Matthew Sands: Vorlesungen über Physik, Band 1, Kapitel 31-4 (eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche).
  4. ↑ Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 2: Elektrizität und Optik, Abschnitt 8.3.2 (eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche).
  5. ↑ 5,0 5,1 5,2 Ludwig Bergmann, Clemens Schaefer: Lehrbuch der Experimentalphysik: Optik, Kapitel 2.6, Absorption von Strahlung. (eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche).
  6. ↑ Mark Fox: Optische Eigenschaften von Festkörpern. Oldenbourg Verlag, 2012, ISBN 9783486712407 (eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche).
  7. ↑ Agnes Ott: Oberflächenmodifikation von Aluminiumlegierungen mit Laserstrahlung: Prozessverständnis und Schichtcharakterisierung. Herbert Utz Verlag, 2009, ISBN 9783831609598 (eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche).
  8. ↑ H. Steffen, H. Mayer: Optische Eigenschaften dünner Cäsium-Schichten im Wellenlängenbereich von 0,3 bis 0,9 μ und ihr elektrischer Widerstand. In: Zeitschrift für Physik A Hadrons and Nuclei. 254, Nr. 3, 1. Mai 1972, S. 250–268, doi:10.1007/BF01379784.
  9. ↑ David R. Lide (Hrsg.): CRC Handbook of Chemistry and Physics: A ready-reference book of chemical and physical data. 90. Aufl. CRC Taylor & Francis, Boca Raton, Florida, 2009, 978-1-4200-9084-0, S. 3-232.
  10. ↑ David R. Lide (Hrsg.): CRC Handbook of Chemistry and Physics: A ready-reference book of chemical and physical data. 90. Auflage. Taylor & Francis, Boca Raton, Florida 2009, ISBN 978-1-4200-9084-0, Abschnitt Index of Refraction of Air, S. 10-252.
  11. ↑ IBM beats optical lithography limits (Technology News in optics.org vom 22. Februar 2006)
  12. ↑ Stefan Maier: Photolithographie ist noch lange nicht am Ende. (Newsticker wissenschaft.de vom 28. Februar 2006)
  13. ↑ Glassproperties.com Berechnung des Brechungsindex von Gläsern (in englischer Sprache)
  14. ↑ Viktor G .Veselago: The Electrodynamics of Substances with Simultaneously Negative Values of ε and μ. In: Soviet Physics Uspekhi. 10, Nr. 4, 1968, S. 509–514, doi:10.1070/PU1968v010n04ABEH003699.
  15. ↑ J.B. Pendry, A.J. Holden, D.J. Robbins, W.J. Stewart: Magnetism from conductors and enhanced nonlinear phenomena. In: IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 47, Nr. 11, 1999, S. 2075 −2084, doi:10.1109/22.798002.
  16. ↑ R. A. Shelby, D. R. Smith, S. Schultz: Experimental Verification of a Negative Index of Refraction. In: Science. 292, Nr. 5514, 2001, S. 77–79, doi:10.1126/science.1058847.
  17. ↑ C. Kusko, Z. Zhai, N. Hakim, R. S. Markiewicz, S. Sridhar, D. Colson, V. Viallet-Guillen, A. Forget, Yu. A. Nefyodov, M. R. Trunin, N. N. Kolesnikov, A. Maignan, A. Daignere, A. Erb: Anomalous microwave conductivity due to collective transport in the pseudogap state of cuprate superconductors. In: Physical Review B. 65, Nr. 13, 6. Februar 2002, S. 132501, doi:10.1103/PhysRevB.65.132501.
  18. ↑ Left Handed Material at Work. In: Physics News. Abgerufen am 20. Dezember 2009 (english).
  19. ↑ Yong Zhang, B. Fluegel, A. Mascarenhas: Total Negative Refraction in Real Crystals for Ballistic Electrons and Light. In: Physical Review Letters. 91, Nr. 15, 9. September 2003, S. 157404, doi:10.1103/PhysRevLett.91.157404.
  20. ↑ V. M. Shalaev: Optical negative-index metamaterials. In: Nat. Photonics. 1, 2007, S. 41–48, doi:10.1038/nphoton.2006.49.
  21. ↑ Rainer Scharf: Bisweilen stößt das Nichts auch ab. In: Frankfurter Allgemeine Zeitung. 11, 14. Januar 2009, S. N1.
  22. ↑ Ulf Leonhardt et al: Quantum levitation by left-handed metamaterials. In: New J. Phys. 9, 2007, S. 254, doi:10.1088/1367-2630/9/8/254.
  23. ↑ J. B. Pendry: Negative Refraction Makes a Perfect Lens. In: Phys. Rev. Lett.. 85, 2000, S. 3966, doi:10.1103/PhysRevLett.85.3966.
  24. ↑ H. Lee, Y. Xiong, N. Fang, W. Srituravanich, S. Durant, M. Ambati, C. Sun, X. Zhang: Realization of optical superlens imaging below the diffraction limit. In: New J. Phys. 7, 2005, S. 255, doi:10.1088/1367-2630/7/1/255 (Volltext).
Abgerufen von „https://www.chemie-schule.de/chemie_137/index.php?title=Brechungsindex&oldid=1168“