Barometrische Höhenformel
Die barometrische Höhenformel beschreibt die vertikale Verteilung der (Gas-)Teilchen in der Atmosphäre der Erde, also die Abhängigkeit des Luftdruckes von der Höhe. Man spricht daher auch von einem vertikalen Druck-Gradienten, der jedoch aufgrund der hohen Wetterdynamik innerhalb der unteren Atmosphäre nur mit Näherungen auf mathematischem Wege beschrieben werden kann.
In der einfachsten Form kann grob angenommen werden, dass der Luftdruck in der Nähe des Meeresspiegels um ein Hektopascal (entsprechend 1 ‰ des mittleren Luftdrucks) je acht Meter Höhenzunahme abnimmt.
Hydrostatische Grundgleichung
Die Änderung von Druck und Dichte der Atmosphäre mit der Höhe wird durch die hydrostatische Grundgleichung beschrieben. Zur Herleitung betrachte man ein quaderförmiges Volumenelement mit der Grundfläche
Im hydrostatischen Gleichgewicht sind alle Luftströmungen zur Ruhe gekommen. Damit das Gleichgewicht erhalten und das betrachtete Volumenelement auch weiterhin in Ruhe bleibt, muss die Summe aller darauf wirkenden Kräfte null sein:
Kürzen und Umstellen liefert
Nach dem idealen Gasgesetz lässt sich die Dichte
so dass sich schließlich ergibt:
|
Dabei ist
Die hydrostatische Grundgleichung gibt an, um welchen Betrag
Benötigt werden in der Regel explizite Werte für Druck und Dichte auf vorgegebenen Höhen. Daraus lassen sich bei Bedarf auch die Druckunterschiede für größere Höhenunterschiede ablesen. Die gesuchte Lösung der Grundgleichung erhält man durch Trennung der Variablen
und anschließende Integration zwischen den gesuchten Höhen beziehungsweise den zugehörigen Drücken:
- .
Integration der linken Seite ergibt
Isotherme Atmosphäre
Die in einführender Literatur und im Schulunterricht meist zitierte klassische barometrische Höhenformel gilt für den Spezialfall, dass die Temperatur
Herleitung aus der hydrostatischen Grundgleichung
Die Integration der hydrostatischen Grundgleichung liefert bei konstantem
Durch Einführung der Skalenhöhe
|
Mit jeder Höhenzunahme um
Für die Dichte gilt entsprechend:
|
Für einen bergab wandernden Beobachter nimmt der Luftdruck ständig zu, da eine immer schwerere Luftsäule auf ihm lastet. Die Zunahme verläuft exponentiell, da die Luft kompressibel ist: für jeden Meter Höhenunterschied nimmt die Gewichtskraft der auf einer Messfläche lastenden Luftsäule um das Gewicht des auf dieser Strecke hinzukommenden Säulenvolumens zu. Dieses Gewicht hängt aber von der Dichte der Luft und diese wiederum vom Luftdruck ab. Der Luftdruck wächst also um so schneller, je höher er bereits ist. Ändert sich eine Größe stets um einen Betrag, der der Größe selbst proportional ist, so geschieht die Änderung exponentiell.
Herleitung aus der statistischen Mechanik
In einem Teilchensystem, das sich bei der Temperatur
- .
Dabei ist
Ein Gasteilchen der Masse
- .
Für eine hinreichend große Anzahl
- ,
und wegen des idealen Gasgesetzes folgt für den Druck
- ,
wobei man die molare Masse
Allerdings wird hier bei der Energie-Betrachtung der Gleichverteilungssatz vorausgesetzt. Diese Voraussetzung ist aber allgemein nur in dichter Atmosphäre erfüllt, weil nur dort durch Stöße zwischen den Gasmolekülen die Energien zwischen den verschiedenen Freiheitsgraden ausgetauscht werden. Der Grund dafür, dass der Gleichverteilungssatz generell nicht für die Höhenenergie gilt, ist dass der Gleichverteilungssatz direkt nur auf Potentiale angewendet werden kann, die quadratisch in die Hamilton-Funktion eingehen. Weil die Höhenenergie nur linear in die Hamilton-Funktion eingeht, kann man den Gleichverteilungssatz in sehr dünnen Gasen nicht einfach voraussetzen.
Atmosphäre mit linearem Temperaturverlauf
Der streng lineare Temperaturverlauf besteht nur in der idealisierten Vorstellung einer ruhenden Atmosphäre ohne Konvektion und Ausgleich aller thermodynamischen "Gefälle". Dabei ist selbstverständlich der adiabatische Gradient selbst kein "Gefälle", sondern ein Gleichgewicht, da Bewegungsenergie nur in potentielle Energie umgewandelt wird. Die potentielle Energie eines Teilchens im Gravitationsfeld ist E = m · g · h Da es jedoch in der Realität durch permanenten "Wärmetransport" keinen konvektionslosen Zustand gibt, wird der lineare Verlauf immer leicht modifiziert durch Wärmetransport aller Art, der bekannteste ist die Kondensation von Wassedampf, die zu einem geringeren Temperaturabfall führt ("feucht-adiabatisch", eine etwas irreführende Bezeichnung).
Herleitung 1 (Adiabatische Atmosphäre)
Aus der Gleichung für die Druckänderung
und der mit Hilfe logarithmischer Ableitungen geschriebenen Gleichung für die adiabatische Zustandsänderung
folgt sofort die lineare Temperaturabnahme gemäß
Mit der mittleren molaren Masse des Atmosphärengases
M = 0,02896 kg mol−1,
der Schwerebeschleunigung
g = 9,807 m s−2,
der universellen Gaskonstante
R = 8,314 J K−1 mol−1
und dem Adiabatenexponenten von (trockener) Luft
Dies ist näherungsweise der unten angegebene Temperaturgradient. Jener wird allerdings im Wesentlichen durch die feuchtadiabatische Expansion bestimmt: der feuchtadiabatische Adiabatenexponent ist kleiner als der trockenadiabatische Adiabatenexponent. Bei einer reinen Wasserdampfatmosphäre wäre der Temperaturgradient
Weitere Grenzen des adiabatischen Ansatzes: Wird die Luft sehr kalt, ändert sich auch bei trockener Luft der Adiabatenexponent. Bei sehr großen Höhen (geringe Dichte) wird auch die mittlere freie Weglänge sehr groß, so dass die Gasgleichungen kaum noch gelten. Dazu kommt noch, dass durch den Treibhauseffekt auch der adiabatische Ansatz (kein Energieaustausch mit der Umgebung) verletzt wird.
Herleitung 2
Im Allgemeinen ist die Temperatur nicht konstant, sondern variiert mit der Höhe. Der einfachste Ansatz zur Berücksichtigung einer solchen Veränderlichkeit geht von einer linearen Abnahme mit der Höhe aus. Für die Temperatur
- ,
wobei
- .
Wegen
ist die Lösung des Integrals
- ,
so dass insgesamt aus dem Integral über die Grundgleichung
die barometrische Höhenformel für linearen Temperaturverlauf folgt:
- ,
oder wegen
|
Für die Dichte gilt entsprechend
|
Der Exponent ist hier um 1 vermindert, weil der Zusammenhang zwischen Dichte und Druck temperaturabhängig ist.
Diese erweiterte barometrische Höhenformel bildet die Grundlage für die barometrische Höhenfunktion der Standardatmosphäre in der Luftfahrt. Dabei wird zunächst die Atmosphäre in Teilschichten mit jeweils linear interpoliertem Temperaturverlauf unterteilt. Dann werden, mit der untersten Schicht beginnend, Temperatur und Druck an der Obergrenze der jeweiligen Teilschicht berechnet und für die Untergrenze der darüber liegenden Schicht eingesetzt. Auf diese Weise entsteht induktiv das Modell für die gesamte Atmosphäre.
Typische Temperaturgradienten
Wie Messungen der Temperaturprofile in der Atmosphäre zeigen, ist die Annahme einer linearen Temperaturabnahme im Mittel eine gute Näherung, wenn auch im Einzelfall deutliche Abweichungen auftreten können, zum Beispiel bei Inversionswetterlagen. Die Hauptursache für die Temperaturabnahme mit der Höhe ist die Erwärmung der unteren Luftschichten durch die von der Sonne aufgeheizte Erdoberfläche, während die oberen Luftschichten Wärme in den Weltraum abstrahlen. Dazu kommen trockenadiabatische oder feuchtadiabatische Temperaturänderungen einzelner aufsteigender oder absinkender Luftpakete und zusätzliche Modifikationen durch Vermischungsvorgänge zwischen Luftmassen unterschiedlicher Herkunft. In Warmluftmassen und bei Aufgleitvorgängen nimmt der Temperaturgradient Werte um 0,3 bis 0,5 K pro 100 m an, in einbrechender Kaltluft meist um 0,6 bis 0,8 K pro 100 m, im Mittel über alle Wetterlagen 0,65 K pro 100 m. In Tallagen können häufige Bodeninversionen den mittleren Temperaturgradienten auf 0,5 K pro 100 m senken, in den Wintermonaten sogar auf 0,4 K pro 100 m.
Die beschriebenen Verhältnisse sind auf die Troposphäre beschränkt. In der Stratosphäre nimmt die Temperatur deutlich langsamer ab, meist nimmt sie sogar wieder zu, vor allem wegen der Absorption von UV-Strahlung in der Ozonschicht.
Für einen Temperaturgradienten von 0,65 K pro 100 m nimmt der Exponent
Wird der Exponent durch den Isentropenkoeffizienten
Das bedeutet 8,5 Freiheitsgrade.
Aus dem Temperaturgradienten ergibt sich auch die mittlere Wärmekapazität der Luft über alle Wetterlagen:
Dieser Wert liegt zwischen dem Wert von trockener Luft {1005 Ws/(kg K)} und Wasserdampf {2034 Ws/(kg K)}.
Die nachfolgende Tabelle zeigt den Zusammenhang zwischen Höhe und Druck (im Mittel):
Höhe | Druck in hPa |
---|---|
0 m | 1013,25 |
500 m | 954,61 |
1000 m | 898,76 |
1500 m | 845,58 |
2000 m | 794,98 |
2500 m | 746,86 |
3000 m | 701,12 |
3500 m | 657,68 |
4000 m | 616,45 |
4500 m | 577,33 |
5000 m | 540,25 |
6000 m | 471,87 |
7000 m | 410,66 |
8000 m | 356,06 |
9000 m | 307,48 |
10000 m | 264,42 |
11000 m | 226,37 |
In dieser Form bietet sich die Höhenformel für den häufigen Fall an, dass Temperatur und Luftdruck auf einer der beiden Höhen bekannt sind, nicht aber der zur Zeit bestehende Temperaturgradient.
Die Höhenstufen
Die barometrische Höhenstufe ist die vertikale Strecke, die zurückgelegt werden muss, um 1 hPa Luftdruckänderung zu erzielen. In Bodennähe beträgt die barometrische Höhenstufe etwa 8 Meter, in 5 Kilometer Höhe 16 Meter und in 10 Kilometer Höhe 32 Meter.
Mit der Höhenformel ergibt sich folgende Tabelle für die Höhen- und Temperaturabhängigkeit der barometrischen Höhenstufe:
Barometrische Höhenstufe [m/hPa] | ||||
---|---|---|---|---|
h | −15 °C | 0 °C | 15 °C | 30 °C |
0 m | 7,5 | 7,9 | 8,3 | 8,8 |
500 m | 7,9 | 8,3 | 8,7 | 9,2 |
1000 m | 8,3 | 8,7 | 9,2 | 9,6 |
2000 m | 9,3 | 9,7 | 10,1 | 10,6 |
3000 m | 10,4 | 10,8 | 11,2 | 11,6 |
Als Faustformel für mittlere Höhen und Temperaturen gilt „1 hPa/30 ft“. Diesen Rundungswert nutzen Luftfahrer häufig für überschlägige Berechnungen.
Internationale Höhenformel
Setzt man die Referenzhöhe
Diese Formel erlaubt die Berechnung des Luftdrucks auf einer gegebenen Höhe, ohne dass Temperatur und Temperaturgradient bekannt sind. Die Genauigkeit im konkreten Anwendungsfall ist allerdings begrenzt, da der Berechnung statt des aktuellen Atmosphärenzustands eine mittlere Atmosphäre zugrunde gelegt wird.
Allgemeiner Fall
Die Lösung der hydrostatischen Grundgleichung lautet allgemein
- ,
beziehungsweise
mit noch zu lösendem Integral.
Virtuelle Temperatur
Die Gaskonstante
Geopotentielle Höhen
Die Schwerebeschleunigung
Für die zu einer geometrischen Höhe
- ,
woraus folgt:
- .
Für das Verhältnis der Schwerebeschleunigung
- ,
mit dem Erdradius
liefert
- .
Auf diese Weise müssen nur einmal vor der Rechnung die gewünschten geometrischen Höhen in geopotentielle Höhen umgerechnet werden; in der Höhenformel kann dann statt der veränderlichen Schwerebeschleunigung einfach der konstante Meereshöhenwert verwendet werden. Für nicht zu große Höhen ist der Unterschied zwischen geometrischen und geopotentiellen Höhen gering und oft vernachlässigbar:
geometrisch | geopotentiell |
---|---|
0 m | 0,0 m |
500 m | 500,0 m |
1000 m | 999,8 m |
5000 m | 4996,1 m |
10000 m | 9984,3 m |
Mit der Schwerebeschleunigung auf Meereshöhe
- .
Es bleibt das Integral über
Anwendungen
Reduktion auf Meereshöhe
Theorie
Der von einem Barometer gemessene Luftdruck hängt sowohl vom meteorologischen Zustand der Atmosphäre als auch von der Standorthöhe ab. Sollen die Angaben verschiedener Barometer in einem größeren Gebiet für meteorologische Zwecke untereinander verglichen werden (zum Beispiel um die Lage eines Tiefdruckgebiets oder einer Front zu bestimmen), so muss der Einfluss der Standorthöhen aus den Messdaten entfernt werden. Zu diesem Zweck werden die gemessenen Druckwerte auf eine gemeinsame Bezugshöhe, üblicherweise Meereshöhe, umgerechnet. Diese Umrechnung geschieht mittels einer Höhenformel. Das Umrechnen wird auch als Reduktion bezeichnet (auch wenn der Zahlenwert größer wird), da der Messwert dabei von unerwünschten Störeffekten befreit wird. Das Ergebnis ist der auf Meereshöhe reduzierte Luftdruck.
Je nach Genauigkeitsanforderungen muss eine geeignete Höhenformel benutzt werden. Bei geringeren Ansprüchen kann zum Beispiel aus der Höhenformel für konstante Temperatur ein fester Umrechnungsfaktor abgeleitet werden, wozu eine repräsentative Temperatur zu wählen ist:
Für eine Standorthöhe von 500 m und bei Verwendung einer Jahresmitteltemperatur von 6 °C ergibt sich z. B. ein Reduktionsfaktor von 1,063, mit dem die gemessenen Werte zu multiplizieren sind.
Bei etwas höheren Ansprüchen sollte zumindest die aktuelle Lufttemperatur berücksichtigt werden. Deren Einfluss zeigt folgendes Beispiel, in dem ein auf 500 m Höhe gemessener Luftdruck von 954,3 hPa mit der Höhenformel für linearen Temperaturverlauf (a = 0,0065 K/m) unter Annahme verschiedener Stationstemperaturen
t(h) | −10 °C | 0 °C | 10 °C | 20 °C | 30 °C |
---|---|---|---|---|---|
p0 | 1017,9 | 1015,5 | 1013,3 | 1011,2 | 1009,3 |
Verwendung einer falschen Temperatur kann also durchaus zu Abweichungen von einigen hPa führen. Falls eine höhere Genauigkeit gewünscht ist, aktuelle Lufttemperaturen zur Verfügung stehen und Genauigkeit sowie Kalibrierung des verwendeten Barometers den Aufwand rechtfertigen, sollte die Reduktion stets unter Verwendung der aktuellen Lufttemperatur erfolgen. Als Höhenformel bietet sich die Variante für linearen Temperaturverlauf an. Es kann aber ebenso gut die Variante für konstanten Temperaturverlauf verwendet werden, sofern die auf halber Stationshöhe herrschende aktuelle Temperatur eingesetzt wird:
Diese Variante ist zwar theoretisch etwas weniger genau, da sie die Veränderlichkeit der Temperatur mit der Höhe ignoriert, während die lineare Variante diese zumindest ansatzweise berücksichtigt. Bei den für Wetterstationen üblicherweise vorkommenden Höhen und Temperaturen sind die Unterschiede jedoch völlig unbedeutend.
Die vom Deutschen Wetterdienst empfohlene Reduktionsformel entspricht der Variante mit konstantem Temperaturverlauf. Aus der auf Standorthöhe gemessenen Temperatur wird mit Hilfe des Standard-Temperaturgradienten die Temperatur auf halber Standorthöhe geschätzt. Die Luftfeuchte findet Berücksichtigung durch Übergang zur entsprechenden virtuellen Temperatur.
mit
Luftdruck auf Meeresniveau reduziert | ||
Luftdruck in Barometerhöhe (in hPa, auf 0,1 hPa genau) | ||
= 9,80665 m/s2 | Normfallbeschleunigung | |
= 287,05 m2/(s2K) | Gaskonstante trockener Luft (= R/M) | |
Barometerhöhe (in m, auf dm genau; bis 750 m Höhe kann mit der geometrischen Höhe gerechnet werden, darüber sind geopotenzielle Höhen zu verwenden) | ||
Hüttentemperatur (in K, wobei | ||
Hüttentemperatur (in °C) | ||
= 0,0065 K/m | vertikaler Temperaturgradient | |
Dampfdruck des Wasserdampfanteils (in hPa) | ||
= 0,12 K/hPa | Beiwert zu |
Falls keine gemessene Luftfeuchte zur Verfügung steht, kann
Praxis
Die hier erhobenen Genauigkeitsanforderungen an gemessenen Luftdruck und Barometerhöhe werden für einen Amateurmeteorologen in der Regel nicht zu erfüllen sein. Bei den Barometern von Hobby-Wetterstationen wird durchaus mit systematischen Fehlern von mindestens ein bis zwei hPa zu rechnen sein. Einer solchen Unsicherheit entspricht über die barometrische Höhenstufe eine Unsicherheit der Standorthöhe von zehn bis zwanzig Metern. Der Ehrgeiz, die Standorthöhe genauer bestimmen zu wollen, führt höchstwahrscheinlich nicht zu einem genaueren Ergebnis. In diesem Lichte wäre auch die Notwendigkeit oder Überflüssigkeit einer Berücksichtigung der Luftfeuchte zu betrachten.
Gegebenenfalls empfiehlt es sich, nicht die reale Standorthöhe zu verwenden, sondern eine fiktive Höhe, welche die beste Übereinstimmung des reduzierten Luftdrucks mit den Angaben eines nahe gelegenen Referenzbarometers (offizielle Wetterstation, Flughafen, usw.) erzielt. Durch eine solche Kalibrierung lässt sich ein eventueller systematischer Fehler des Barometers größtenteils kompensieren. Hierzu ist es zweckmäßig, zunächst eine genäherte Höhe zur Reduktion zu verwenden und die eigenen Ergebnisse über einen längeren Zeitraum (vor allem auch bei verschiedenen Temperaturen) mit den Referenzangaben zu vergleichen. Wird ein systematischer Unterschied festgestellt, kann mit Hilfe einer geeigneten Höhenformel die Höhendifferenz berechnet werden, welche ausgehend von der genäherten Standorthöhe die reduzierten Höhen um den gewünschten Betrag verschiebt. Die auf diese Weise korrigierte Höhe wird dann für künftige Reduktionen verwendet. Wird die Temperatur bei der Reduktion nicht berücksichtigt, sollte beim Kalibrieren die Situation bei einer repräsentativen Temperatur zugrunde gelegt werden.
Einfache Wohnzimmerbarometer werden in der Regel so eingestellt, dass sie unmittelbar den reduzierten Luftdruck anzeigen. Meist geschieht dies durch eine Schraube auf der Gehäuserückseite, mit der sich die Vorspannung der Druckdosenfeder ändern lässt. Die Kalibrierung entspricht also einer Verschiebung der Anzeigeskala. Das ist streng genommen nicht korrekt. Wie die Höhenformeln zeigen, muss die Reduktion durch Multiplikation mit einem Kalibrierfaktor erfolgen und nicht durch bloße Addition einer Konstanten: Der reduzierte Luftdruck ändert sich um etwas mehr als ein hPa, wenn sich der Luftdruck auf Standorthöhe um ein hPa ändert. Die Skala müsste also zusätzlich zur Verschiebung auch leicht gestreckt werden. Der dadurch verursachte Fehler ist jedoch geringer als der Fehler, der dadurch entsteht, dass diese Geräte den Temperatureinfluss auf die Reduktion ignorieren. Da sie keine Eingabemöglichkeit für die Standorthöhe haben, kann eine Kalibrierung nur durch Vergleich mit einem Referenzbarometer erfolgen, wodurch wiederum gleichzeitig systematische Nullpunktfehler des Instruments vermindert werden. Die Kalibrierung muss für den Standort des Barometers (oder einen Ort vergleichbarer Höhe) erfolgen. Es hat keinen Zweck, das Gerät beim Händler „richtig einstellen“ zu lassen, wenn es dann an einem völlig anderen Ort aufgehängt wird. Wenn das Barometer dazu dient, aus Luftdruckänderungen eine kurzfristige Wettervorhersage abzuleiten, ist eine genaue Kalibrierung weniger wichtig.
Grenzen
Generell ist bei der Reduktion von Luftdruckmessungen zu bedenken, dass die dabei rechnerisch addierte Luftsäule für die meisten Standorte in Wirklichkeit nicht existieren kann und es daher auch keinen „wahren“ Wert für den „Meereshöhendruck am Standort“ geben kann, der durch hinreichend aufwendiges Rechnen präzise angenähert werden könnte. Die Reduktionsformeln beruhen zum Teil lediglich auf Konventionen und dienen, abgesehen von speziellen wissenschaftlichen Anwendungen, hauptsächlich dazu, die Messwerte der Wetterstationen so weit wie möglich untereinander vergleichbar zu machen. Ein Beispiel zur Fiktivität der addierten Luftsäule: Über ebenem Gelände, auf dem kalte Luft nicht abfließt, kann sich in klaren Nächten wegen der Wärmeabstrahlung des Erdbodens die bodennahe Luft merklich abkühlen (Bodeninversion). Eine dort befindliche Wetterstation wird diese verringerte Temperatur registrieren und mit dem üblichen Temperaturgradienten rechnerisch nach unten fortsetzen. Befände sich das Gelände aber auf Meereshöhe, so wäre jene Luft wegen des nun fehlenden Erdbodens gar nicht abgekühlt und die nun tatsächlich existierende Luftsäule hätte eine deutlich höhere Temperatur als die rechnerische. Die Rechnung hat also eine zu hohe Dichte der addierten Luftsäule angenommen und ergibt einen höheren reduzierten Luftdruck, als er bei derselben Wetterlage herrschen würde, falls das gesamte Gelände auf Meereshöhe läge.
Barometrische Höhenmessung
Die Höhenabhängigkeit des Luftdrucks kann auch zur Höhenmessung verwendet werden. Barometrische Höhenmessungen sind schnell und relativ einfach durchzuführen, in ihrer Genauigkeit jedoch begrenzt. Ein für die Höhenbestimmung ausgelegtes Barometer bezeichnet man als Höhenmesser oder Altimeter. Die Vorgehensweise richtet sich nach Verwendungszweck und Genauigkeitsansprüchen. Anwendung findet das Verfahren unter anderem beim Wandern und mit etwas höheren Genauigkeitsansprüchen in der Landvermessung.
Literatur
- Roedel W. (2000): Physik unserer Umwelt: Die Atmosphäre. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/ Heidelberg/ New York, ISBN 3-540-67180-3.
Siehe auch
- Höhe über dem Meeresspiegel