Schallgeschwindigkeit

Die Schallgeschwindigkeit ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit, mit der sich Schallwellen in einem Medium fortpflanzen. Ihr Formelzeichen ist meistens $ c $ (für lat. celeritas = Eile, Schnelligkeit) und ihre SI-Einheit Meter pro Sekunde (m/s).

Sie ist nicht zu verwechseln mit der Schallschnelle $ v $, d. h. der Momentangeschwindigkeit, mit der die einzelnen Teilchen des Mediums sich bewegen, um die zu der Schallwelle gehörige Deformation auf- und abzubauen.

Die Schallgeschwindigkeit ist allgemein abhängig vom Medium (insbesondere Elastizität und Dichte) und seiner Temperatur, in Fluiden zusätzlich vom Druck und in Festkörpern maßgeblich vom Wellentyp (Longitudinalwelle, Schubwelle, Rayleigh-Welle, Lamb-Welle, etc.) und der Frequenz. In anisotropen Medien ist sie zusätzlich noch richtungsabhängig. In Gasen oder Gasgemischen wie Luft bei Bedingungen um 1 bar und 20 °C spielt einzig die Temperaturabhängigkeit eine nennenswerte Rolle.

Die Schallgeschwindigkeit in trockener Luft von 20 °C ist 343 m/s. Das entspricht 1235 km/h.

Für den Zusammenhang zwischen Schallgeschwindigkeit, Frequenz $ f $ und Wellenlänge $ \lambda \, $ einer Schallwelle gilt wie entsprechend für alle Wellen:

$ c=\lambda \;f $.

Schallgeschwindigkeit in Flüssigkeiten und Gasen

In Flüssigkeiten und Gasen können sich nur Druck- bzw. Dichtewellen ausbreiten, bei denen sich die einzelnen Teilchen in Richtung der Wellenausbreitung hin und her bewegen (Longitudinalwelle). Die Schallgeschwindigkeit ist eine Funktion der Dichte $ \rho \, $ und des (adiabatischen) Kompressionsmoduls $ K $ und berechnet sich aus

$ c_{\mathrm {Fl{\ddot {u}}ssigkeit,Gas} }={\sqrt {\frac {K}{\rho }}} $.

Schallgeschwindigkeit in Festkörpern

Schallwellen in Festkörpern können sich sowohl als Longitudinalwelle (hierbei ist die Schwingungsrichtung der Teilchen parallel zur Ausbreitungsrichtung) oder als Transversalwelle (Schwingungsrichtung senkrecht zur Ausbreitungsrichtung) ausbreiten.

Für Longitudinalwellen hängt im allgemeinen Fall die Schallgeschwindigkeit in Festkörpern von der Dichte $ \rho \, $, der Poissonzahl $ \mu \, $ und dem Elastizitätsmodul $ E $ des Festkörpers ab. Es gilt dabei

$ c_{\mathrm {Festk{\ddot {o}}rper,\,longitudinal} }={\sqrt {\frac {E\,(1-\mu )}{\rho \,(1-\mu -2\mu ^{2})}}} $

und

$ c_{\mathrm {Festk{\ddot {o}}rper,\,transversal} }={\sqrt {\frac {E}{2\,\rho \,(1+\mu )}}} $

sowie für eine Oberflächenwelle auf einem ausgedehnten Festkörper (Rayleigh-Welle)

$ c_{\mathrm {Festk{\ddot {o}}rper,\,Oberfl{\ddot {a}}che} }\approx 0{,}92\cdot c_{\mathrm {Festk{\ddot {o}}rper,\,transversal} } $^[1]

Im Spezialfall eines langen Stabes, wobei der Durchmesser des Stabes deutlich kleiner als die Wellenlänge der Schallwelle sein muss, kann der Einfluss der Querkontraktion vernachlässigt werden (d. h. $ \mu {\mathord {=}}0 $) und man erhält

$ c_{\mathrm {langer\,Stab,\,longitudinal} }={\sqrt {\frac {E}{\rho }}} $.

Für Transversalwellen muss der Elastizitätsmodul durch den Schubmodul $ G $ ersetzt werden:

$ c_{\mathrm {Festk{\ddot {o}}rper,\,transversal} }={\sqrt {\frac {G}{\rho }}} $.

Schallgeschwindigkeit im idealen Gas

Klassisches ideales Gas

Da der Kompressionsmodul eines klassischen, reinen idealen Gases $ K=\kappa \,p $ nur vom Adiabatenexponenten $ \kappa \, $ („kappa“) des Gases und dem herrschenden Druck $ p\, $ abhängt, ergibt sich die Schallgeschwindigkeit zu

$ c_{\text{Ideales Gas}}={\sqrt {\kappa \,{\frac {p}{\rho }}}}={\sqrt {\kappa \,{\frac {RT}{M}}}} $.

Darin ist $ R $ die universelle Gaskonstante, $ M $ die molare Masse (Masse von 1 mol des Gases), und $ T $ die absolute Temperatur. Für feste Werte $ M $ und $ \kappa $, also für ein gegebenes ideales Gas, hängt die Schallgeschwindigkeit nur von der Temperatur ab, sie ist insbesondere nicht abhängig vom Druck und von der Dichte des Gases.

Der Adiabatenexponent berechnet sich aus $ \kappa ={\tfrac {f+2}{f}} $, worin $ f $ die Anzahl der Freiheitsgrade der Bewegung eines Teilchens (Atom oder Molekül) ist. Für einen Massepunkt gilt $ f{\mathord {=}}3 $, für eine starre Hantel aus zwei Massepunkten $ f{\mathord {=}}5 $, für einen starren Körper $ f{\mathord {=}}6 $. Für jede mögliche Grundschwingung erhöht sich $ f $ um zwei. Der Adiabatenexponent kann also nur folgende Werte annehmen:

• $ \kappa {\mathord {=}}{\tfrac {5}{3}}{\mathord {=}}1,67 $ für ein einatomiges Gas (z.B. Edelgas),
• $ \kappa {\mathord {=}}{\tfrac {7}{5}}{\mathord {=}}1,4 $ für ein zweiatomiges Gas (ohne Vibration der Moleküle, z.B. Stickstoff N₂, Wasserstoff H₂, Sauerstoff O₂),
• $ \kappa {\mathord {\leq }}{\tfrac {8}{6}}{\mathord {=}}1,33 $ für alle größeren oder komplizierteren Moleküle.

Für Luft misst man $ \kappa {\mathord {=}}1{,}402 $ und erhält mit einer mittleren Molmasse $ M{\mathord {=}}0,02896\,\mathrm {kg/mol} $ für Stickstoff und Sauerstoff bei Normaltemperatur $ T{\mathord {=}}293{,}15\mathrm {K} $ (20°C):

$ c_{\text{Luft}}\approx {\sqrt {1{,}402\,{\frac {8{,}3145\,\mathrm {\frac {J}{mol\,K}} 293{,}15\mathrm {K} }{0{,}02896\,\mathrm {kg/mol} }}}}=343\mathrm {\frac {m}{s}} $,

in sehr guter Übereinstimmung mit dem in trockener Luft gemessenen Wert.

Die Schallgeschwindigkeit $ c_{\text{Ideales Gas}}={\sqrt {\kappa \,{\tfrac {RT}{M}}}} $ ist etwas kleiner als die mittlere Translationsgeschwindigkeit $ {\sqrt {\overline {v^{2}}}}={\sqrt {3\,{\tfrac {RT}{M}}}} $ der im Gas umherfliegenden Teilchen. Das steht im Einklang mit der anschaulichen Interpretation der Schallausbreitung in der kinetischen Gastheorie: Eine kleine lokale Abweichung des Druck und der Dichte vom Durchschnittswert wird von den durcheinander fliegenden Teilchen in die Umgebung getragen.

Der Faktor $ \kappa $ kommt aus der adiabatischen Zustandsgleichung, die Prozesse beschreibt, bei denen die Temperatur nicht konstant bleibt, obgleich keine Wärme ausgetauscht wird. Schallwellen bestehen aus periodischen Schwankungen von Dichte und Druck, die im Vergleich zu ihrer Ausdehnung zu kurz andauern, als dass nennenswert Wärme zu- oder abfließen könnte. Wegen der damit verbundenen Temperaturschwankungen gilt die obige Formel nur im Grenzfall kleiner Amplituden, wobei für $ T $ die Durchschnittstemperatur einzusetzen ist. Tatsächlich machen sich bei großen Amplituden, z. B. nach einer Detonation, nichtlineare Effekte dadurch bemerkbar, dass die Wellenberge - Wellenfronten mit maximaler Dichte - schneller laufen als die Wellentäler, was zu steileren Wellenformen und Ausbildung von Stoßwellen führt.

Quanteneffekte

Da die Schallgeschwindigkeit einerseits mit dem Kundtschen Rohr schon früh verhältnismäßig leicht präzise zu messen war und andererseits direkt mit einer atomphysikalischen Größe, der Anzahl der Freiheitsgrade, verknüpft ist, führte sie zur frühen Entdeckung wichtiger Effekte, die erst mit der Quantenmechanik erklärt werden konnten.

Atome als Massepunkte

Das erste mit chemischen Methoden als einatomig identifizierte Gas - Quecksilberdampf bei hoher Temperatur - zeigte 1875 auch zum ersten Mal den Wert $ \kappa {\mathord {=}}1{,}667 $, also $ f{\mathord {=}}3 $. Dieser Wert ist nach der kinetischen Gastheorie einem Gas aus idealen Massepunkten vorbehalten. Ab 1895 kamen gleiche Befunde an den neu entdeckten Edelgasen Argon, Neon etc. hinzu. Das stützte einerseits die damalige Atomhypothese, nach der alle Materie aus winzigen Kügelchen aufgebaut ist, warf aber andererseits die Frage auf, warum diese Kugeln nicht wie jeder starre Körper drei weitere Freiheitsgrade für Drehbewegungen besitzen. Die Ende der 1920er Jahre gefundene quantenmechanische Erklärung besagt, dass für Drehbewegungen angeregte Energieniveaus besetzt werden müssen, deren Energie so hoch liegt, dass die kinetische Energie der stoßenden Gasteilchen bei weitem nicht ausreicht.^[2]:S.8 Das gilt auch für die Rotation eines zweiatomigen Moleküls um die Verbindungslinie der Atome und erklärt somit, warum es hier für die Rotation nicht drei sondern nur zwei Freiheitsgrade gibt.

Einfrieren der Drehbewegung

Eine markante Temperaturabhängigkeit des Adiabatenkoeffizienten wurde 1912 bei Wasserstoff entdeckt: Bei Abkühlung von Normaltemperatur (T ca. 300K) auf 100K steigt $ \kappa $ stetig von 1,40 auf 1,667, d. h. vom Wert für eine Hantel zum Wert für einen Massepunkt. Man sagt, die Rotation „friert ein“, bei 100K verhält sich das ganze Molekül wie ein Massepunkt. Die quantenmechanische Begründung schließt an die obige Erklärung für Einzelatome an: Bei 100K reicht die Stoßenergie der Gasmoleküle praktisch nie zur Anregung eines Energieniveaus mit höherem Drehimpuls, bei 300K praktisch immer.^[2]:S.272 Der Effekt ist so deutlich bei anderen Gasen nicht beobachtbar, weil sie in dem jeweils betreffenden Temperaturbereich bereits verflüssigt sind. Jedoch wird auf diese Weise erklärt, warum die gemessenen Abdiabatenkoeffizienten realer Gase von der einfachen Formel $ \kappa {\mathord {=}}{\tfrac {f+2}{f}} $ meist etwas abweichen.

Schallgeschwindigkeit im realen Gas

Die für das ideale Gas entwickelten Vorstellungen und Formeln gelten in sehr guter Näherung auch für die meisten realen Gase. Insbesondere variiert deren Adiabatenexponent $ \kappa \,=c_{\mathrm {p} }/c_{\mathrm {V} } $ über weite Bereiche weder mit der Temperatur noch mit dem Druck. Für die Temperaturabhängigkeit der Schallgeschwindigkeit in Luft im Bereich normaler Umwelttemperaturen wird oft die lineare Näherungsformel

$ c_{\mathrm {Luft} }\approx (331{,}5+0{,}6\,\vartheta /{}^{\circ }\mathrm {C} ){\frac {\mathrm {m} }{\mathrm {s} }}\, $

benutzt. Diese Näherung gilt im Temperaturbereich von −20 °C bis +40 °C mit einer Genauigkeit von besser als 99,8 %. Die absolute Temperatur wurde hier nach $ \vartheta /{}^{\circ }\mathrm {C} =T/\mathrm {K} -273{,}15\, $ in °C umgerechnet.

Die Luftfeuchtigkeit lässt die Schallgeschwindigkeit geringfügig zunehmen, denn die mittlere molare Masse $ M $ feuchter Luft nimmt durch die Beimischung der leichteren Wassermoleküle stärker ab als der mittlere Adiabatenkoeffizient $ \kappa $. Der Effekt beträgt etwa 3% bei 20°C und maximaler Luftfeuchte, also nur soviel wie 2°C Temperaturerhöhung.^[3][4]

In der normalen Atmosphäre nimmt die Schallgeschwindigkeit daher mit der Höhe ab. Sie erreicht ein Minimum von etwa 295 m/s (ca 1060 km/h) in der Tropopause (ca. 11 km Höhe). Hingegen nimmt die Schallgeschwindigleit mit der Höhe zu, wenn bei einer Inversionswetterlage eine wärmere Luftschicht über einer kälteren liegt. Oft geschieht dies am Abend nach einem warmen Sonnentag, weil sich der Boden schneller abkühlt als die höheren Luftschichten. Dann schreiten die Wellen in der Höhe schneller voran als unten, so dass eine Wellenfront, die von einer bodennahen Schallquelle schräg aufwärts strebt, wieder nach unten gelenkt wird (siehe Schallausbreitung). Man sagt, die Schallstrahlen werden zum Boden hin gekrümmt. An Sommerabenden kann man das oft an der größeren Reichweite von Schall bemerken.

Ähnlich lautet die Begründung dafür, dass man mit dem Wind besser hört als gegen den Wind, obwohl die Bewegung des Mediums Luft angesichts der Größe der Schallgeschwindigkeit die Schallausbreitung kaum beeinflusst. Aber der Wind hat fast immer ein Profil mit nach oben zunehmender Geschwindigkeit, was wieder zur Krümmung der Schallstrahlen führt, gegen den Wind nach oben, mit dem Wind nach unten.

Beispiele für Schallgeschwindigkeiten in verschiedenen Medien

In der folgenden Tabelle sind einige Beispiele für Schallgeschwindigkeiten in verschiedenen Medien bei einer Temperatur von 20 °C aufgelistet. Für alle Materialien angegeben ist die Schallgeschwindigkeit für die Druckwelle (Schallgeschwindigkeit longitudinal). Wo Werte bekannt sind, findet man zusätzlich die Schallgeschwindigkeit nach Wellenumwandlung (Schallgeschwindigkeit transversal); die dazu gehörende Welle entsteht in einem festen Folgemedium bei Schrägeinschallung und breitet sich senkrecht zur eigentlichen Druckwelle aus. Transversalwellen können sich nur in Festkörpern ausbreiten. Bei Flüssigkeiten existieren sie nur als Oberflächenwelle.

Anmerkungen:

Diamant besitzt mit etwa 18.000 m/s die höchste Schallgeschwindigkeit aller natürlichen Medien.

Der beim Holz-Musikinstrumentenbau wichtige Parameter „Schallgeschwindigkeit“ beträgt längs zur Faser bei Erle 4400 m/s, Ahorn 4500 m/s, Esche etwa 4700 m/s, Padouk 4800 m/s, Linde 5100 m/s, Fichte 5.500 m/s.

Temperaturabhängigkeit in Luft

Frequenzabhängigkeit

In einem dispersiven Medium ist die Schallgeschwindigkeit von der Frequenz abhängig. Die räumliche und zeitliche Verteilung einer Fortpflanzungsstörung ändert sich ständig. Jede Frequenzkomponente pflanzt sich jeweils mit ihrer eigenen Phasengeschwindigkeit fort, während die Energie der Störung sich mit der Gruppengeschwindigkeit fortpflanzt. Gummi ist ein Beispiel für ein dispersives Medium: Bei höherer Frequenz ist es steifer, hat also eine höhere Schallgeschwindigkeit.

In einem nicht dispersiven Medium ist die Schallgeschwindigkeit unabhängig von der Frequenz. Daher sind die Geschwindigkeiten des Energietransports und der Schallausbreitung dieselben. Wasser und Luft sind über weite Frequenzbereiche nicht-dispersive Medien.

Sonstiges

In der Luftfahrt wird die Geschwindigkeit eines Flugzeugs auch relativ zur Schallgeschwindigkeit gemessen. Dabei wird die Einheit Mach (benannt nach Ernst Mach) verwendet, wobei Mach 1 gleich der jeweiligen Schallgeschwindigkeit ist. Abweichend von anderen Maßeinheiten wird bei der Messung der Geschwindigkeit in Mach die Einheit vor die Zahl gesetzt.

Die Entfernung eines Blitzes und damit eines Gewitters lässt sich durch Zählen der Sekunden zwischen dem Aufleuchten des Blitzes und dem Donnern abschätzen. Der Schall legt in Luft einen Kilometer in etwa 3 Sekunden zurück, die Anzahl der gezählten Sekunden durch drei geteilt ergibt daher die Entfernung des Blitzes in Kilometern.

Siehe auch

Wiktionary: Schallgeschwindigkeit – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Schallausbreitung
• Schallkennimpedanz
• Überschallgeschwindigkeit
• Überschallflug
• Schall

Einzelnachweise

Literatur

• Götsch, Ernst - Luftfahrzeugtechnik, Motorbuchverlag, Stuttgart 2003, ISBN 3-613-02006-8

Weblinks

• Gute Schallgrundlagen (PDF-Datei; 169 kB)
• Die Schallgeschwindigkeit, die Temperatur ... und nicht der Luftdruck (PDF-Datei; 32 kB)
• Schallgeschwindigkeit in Luft und die wichtige Temperaturangabe