k·p-Methode

Die k·p-Methode (auch KP-Methode) ist eine störungstheoretische Methode der Quantenmechanik zur Berechnung der elektronischen Bandstruktur eines Festkörpers. Sie bietet eine Näherung der Lösung der Schrödinger-Gleichung für Elektronen in Halbleitern und anderen kristallinen Festkörpern.

Die Bezeichnung stammt daher, dass in den Energien der einzelnen Energiebänder ein Ausdruck der Form k·p, also das Skalarprodukt aus dem quantenmechanischen Impulsoperator (p) und dem Wellenvektor (k) auftritt.

Beschreibung

Die Methode basiert auf einer Beschreibung der Elektronen als nicht miteinander wechselwirkende Teilchen in einem effektiven periodischen Potential. Dieses Potential beinhaltet die Wechselwirkung des beschriebenen Elektrons mit den Elektronen und Atomkernen des Festkörpers. Ist die Lösung der Schrödinger-Gleichung für einen Wellenvektor k₀ des Elektrons im reziproken Raum bekannt, kann durch die Methode eine Lösung für naheliegende k-Werte bestimmt werden.

Aus der Veränderung der Energie (Eigenwerte der Schrödinger-Gleichung) mit dem Wellenvektor ist dann die gesuchte Bandstruktur des Festkörpers bestimmt. Die Methode erlaubt so auch das elektronische Verhalten von Bauteilen der Mikroelektronik zu simulieren.

Die Lösungen bei k=k₀ müssen allerdings zuvor bekannt sein. Andere Methoden (z.B. die Dichtefunktionaltheorie) liefern solche Lösungen. Die Elektronenenergien für andere k-Werte werden als Störung dieser Lösung bestimmt.

Ansatz

Die Wellenfunktion des Elektrons genügt in der Ein-Teilchen Näherung der Schrödingergleichung:

\left({\frac {p^{2}}{2m}}+V(\mathbf {r} )\right)\psi (\mathbf {r} )=E\psi (\mathbf {r} )

,

wobei p der quantenmechanische Impulsoperator, V das effektive elektrostatische Potential und m die Masse des Elektrons ist.

In einem kristallinen Material ist V eine periodische Funktion mit derselben Periodizität wie der Kristall selbst. Bloch's Theorem besagt nun, dass die Lösung einer solchen periodischen Differentialgleichung wie folgt geschrieben werden kann:

\psi _{n,\mathbf {k} }(\mathbf {r} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }u_{n,\mathbf {k} }(\mathbf {r} )

dabei ist k der Wellenvektor, n ein diskreter Index (Bandindex) und u_n,k ist eine Funktion mit derselben Periodizität wie der Kristall. Setzt man ψ_n,k in die Einteilchen-Schrödingergleichung ein, erhält man die folgende Differentialgleichung für u_n,k:

\left({\frac {p^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar \mathbf {k} \cdot \mathbf {p} }{m}}+{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+V(\mathbf {r} )\right)u_{n,\mathbf {k} }=E_{n\mathbf {k} }u_{n\mathbf {k} }

.

Für einen Wellenvektor k₀, für den die Lösungen bekannt sind (oft k₀=0, der sog. Γ-Punkt) behandelt die k·p-Methode nun den Term

{\frac {\hbar (\mathbf {k} -\mathbf {k} _{0})\cdot \mathbf {p} }{m}}

in obiger Gleichung als Störung (daher der Name). Ziel der Störungsrechnung ist es, näherungsweise Ausdrücke für die Energieeigenwerte und die zugehörigen Eigenzustände zu finden.

Die Energien und Eigenzustände werden mit zunehmender Ordnung zwar genauer, im Gegensatz dazu werden die Gleichungen jedoch immer komplexer. Man approximiert daher die gesuchten Ausdrücke mit Störungen zweiter Ordnung. Für alle betrachteten Zuständen n erhält man Gleichungen in denen Wechselwirkungsterme in Form von Überlappintegralen zwischen den betrachteten Zuständen und allen anderen Zuständen n' auftreten. Man erhält also n Gleichungen mit jeweils n' Wechselwirkungstermen. Für direkte Anwendungen betrachtet man nur Zustände in der Nähe der Bandlücke, womit die Anzahl der Gleichungen reduziert wird. Des Weiteren nutzt man in kristallinen Schichten die Symmetrieeigenschaften der verschiedenen Kristallsysteme in Form der Gruppentheorie, um mit deren Hilfe viele der Wechselwirkungsterme zu effektiven Termen zusammenzufassen und somit die Anzahl der Wechselwirkungstermen weiter stark zu reduzieren. Es ergeben sich schließlich relativ wenige Gleichungen, welche man kompakt als Matrix darstellt, um anschließend Eigenwerte und Eigenzstände zu berechnen. Das sind die gesuchten Energieeigenwerte E_n,k mit den zugehörigen Eigenzustände u_n,k.

Aus den Eigenwerten lassen sich dann Ausdrücke für die Dispersion ${\tfrac {d}{dk}}E_{n,k}$ , die effektive Masse der Elektronen und Auswahlregeln für die Wechselwirkung mit Licht mit weniger Aufwand als bei einer vollständigen Rechnung bestimmen.

Wichtig ist sie insbesondere im Fall entarteter Bänder, da der k·p-Term die Bänder miteinander koppelt und die Entartung teilweise aufhebt und neue Auswahlregeln für optische Übergänge zwischen den Bändern bestimmt.

Literatur

M. S. Dresselhaus: Group Theory - Application to the Physics of Condensated Matter. Springer Verlag, Heidelberg 2008.

(Anm.: Anspruchsvolles Fachbuch, in der die KP-Theorie systematisch abgeleitet wird)

C. Kittel: Quantentheorie des Festkörpers. R. Oldenbourg Verlag, München 1970, S. 201ff.
I. J. Robertson, M. C. Payne: k-point sampling and the k.p method in pseudopotential total energy calculations. In: J. Phys.: Condens. Matter. 2, 1990, S. 9837–9852, doi:10.1088/0953-8984/2/49/010.
W. Schäfer, M. Wegener: Semiconductor Optics and Transport Phenomena. Springer, 2002, ISBN 3-540-61614-4, S. 72ff.
Christian Köpf: Die k·p-Methode. In: Modellierung des Elektronentransports in Verbindungshalbleiterlegierungen. Wien 1997 (Dissertation, Technischen Universität Wien, online, abgerufen am 22. Januar 2010).