Debye-Modell
Das Debye-Modell beschreibt eine Methode zur Berechnung des Beitrags zur Wärmekapazität eines kristallinen Festkörpers, den die quantisierten Schwingungen in Kristallgittern, die sog. Phononen, ergeben; es stellt sich u. a. heraus, dass dies in der Regel der wesentliche Beitrag ist. Die von Peter Debye 1911 und 1912 entwickelte „Theorie der spezifischen Wärme von Kristallen“ gilt überdies als eine der ersten theoretischen Bestätigungen der 1900 von Max Planck erstmals vorgestellten Quantenthese[1].
Grundlagen des Modells
Gegenüber dem Einstein-Modell (von 1906), welches
Bemerkenswert an diesem Ansatz ist, dass er (abgesehen von der Nichtexistenz longitudinaler Lichtwellen) mit den Annahmen Plancks zur Berechnung der Hohlraumstrahlung identisch ist, wenn man die Schallgeschwindigkeit durch die Lichtgeschwindigkeit ersetzt. Somit ergeben sich für einen strahlenden Hohlraum (→Plancksches Strahlungsgesetz) Formeln mit dem selben Aufbau, wie für einen erwärmten Festkörper, bei dem Teilchen in gitterförmiger Anordnung schwingen. In beiden Fällen folgen charakteristische „T3-Gesetze“.[2] (s. u.).
Phononen existieren aber nur bis zu einer Maximalfrequenz (im Debye-Modell also bis zu
Ergebnisse des Modells
Blei | 95 |
Natrium | 160 |
Gold | 165 |
Silber | 215 |
Kupfer | 345 |
Aluminium | 428 |
α-Eisen | 464 |
Chrom | 610 |
Diamant | 1850 |
Temperaturbereiche
Das Modell macht korrekte Voraussagen über die Temperaturabhängigkeit der Wärmekapazität, und zwar sowohl im Niedrigtemperaturlimes als auch für den Hochtemperaturgrenzwert.
Im Niedrigtemperaturbereich, d. h. für
wobei
Die Debye-Temperatur ist dabei proportional zu einer effektiven Schallgeschwindigkeit, zu der die transversalen Schallwellen zu 2/3 und die longitudinalen Schallwellen zu 1/3 beitragen; und zwar gilt präzise
Im Hochtemperaturbereich, d. h. für
.
In diesem Limes ergibt sich also, wie schon beim Einstein-Modell, das Gesetz von Dulong-Petit.
Die Zustandsdichte gemäß dem Debye-Modell ergibt sich aus folgender Rechnung:
In beiden Grenzfällen ist die Theorie völlig korrekt, während das intermediäre Verhalten durch die Debye-Theorie nur im Sinne einer „vernünftigen Interpolation“ beschrieben wird, die man gegebenenfalls verbessern kann (s. u.). Und zwar ist das Tieftemperaturverhalten deshalb korrekt, weil im Limes
erfüllt.
Zur Begründung der angegebenen Resultate
Das Debye-Modell nähert die Dispersionsrelation von Phononen in der angegebenen Weise linear an. Die Berechnung, die auch für den (realistischen!) Fall elementar durchgeführt werden kann, dass longitudinale und transversale Schallgeschwindigkeit sich erheblich unterscheiden, dauert lange, so dass Details hier nur aus Platzgründen unterbleiben[3].
Da in einem Festkörper höchstens dreimal so viele Schwingungsmoden wie Atome vorhanden sein können, die Zustandsdichte für hohe
Ausgehend von der exakten Formel für die Schwingungsenergie U,
ergibt sich obige Wärmekapazität
Hierin ist
(Man beachte, dass oben statt der Debye-Näherung
Die konkrete, über die Debye-Näherung hinausgehende Berechnung der Zustandsdichte g, ist allerdings nicht allgemein analytisch, sondern nur numerisch oder für Teile der Temperaturskala genähert lösbar, wie oben für tiefe Temperaturen. Hier liegen auch die oben angedeuteten Verbesserungsmöglichkeiten für das intermediäre Verhalten.
Verallgemeinerung für andere Quasiteilchen
Das Debye'sche Verfahren kann für andere bosonische Quasiteilchen im Festkörper leicht in analoger Weise durchgeführt werden, z. B. in ferromagnetischen Systemen für sog. Magnonen anstelle der Phononen. Man hat jetzt andere Dispersionsrelationen für
Einzelnachweise
- ↑ Peter Debye (1884-1966): Nobelpreisträger für Chemie
- ↑ Für eine ausführliche klassische Herleitung siehe z.B.: Georg Joos, Lehrbuch der theoretischen Physik - 12. Aufl. - Frankfurt am Main : Akademische Verlagsgesellschaft, 1970 - einerseits "Die Debyesche Theorie der spezifischen Wärme fester Körper" S. 566 ff, bzw. anderseits "Das Plancksche Strahlungsgesetz" S. 580 ff.
- ↑ Weitere Details findet man z. B bei Werner Döring, Einführung in die Theoretische Physik, Bd. 5, §14, Sammlung Göschen, De Gruyter, Berlin 1957