Debye-Waller-Faktor
Der Debye-Waller Faktor (DWF, nach Peter Debye und Ivar Waller) beschreibt die Temperaturabhängigkeit der Intensität der kohärent elastisch gestreuten Strahlung an einem Kristallgitter[1][2]. Nur diese elastische Streuung unterliegt den Laue-Bedingungen; die komplementäre, inelastische Streuung wird als thermisch-diffus bezeichnet.
In der Neutronenstreuung wird der Begriff Debye-Waller-Faktor teilweise unterschiedslos auf kohärente und inkohärente Streuung angewandt; teilweise wird für letztere aber auch der genauere Begriff Lamb-Mössbauer-Faktor benutzt.
Hier ist I0 die Intensität der einfallenden Welle, die um den Faktor der e-Funktion auf I reduziert wird. G ist ein reziproker Gittervektor, und u die temperaturabhängige Oszillationsamplitude der Atome.
Dabei werden die Bragg-Beugungsreflexe aufgrund der Gitterschwingungen umso mehr gedämpft, je höher die Temperatur ist und je höher ihre Ordnung ist.
Bei Betrachtung eines harmonischen Oszillators mit der Energie[3]:
lässt sich der temperaturabhängige Debye-Waller Faktor wie folgt schreiben:
Herleitung
Der Strukturfaktor
Die Summe läuft über alle Atome der Basis. Dabei ist
Betrachtet man die thermische Bewegung der Atome, so ist
Die Schwingungsperioden sind sehr kurz (
Für kleine Auslenkungen entwickelt man die Exponentialfunktion bis zur zweiten Ordnung
Die erste Ordnung verschwindet
Dabei ist
In die Exponentialfunktion eingesetzt ergibt dies:
Der Strukturfaktor schreibt sich nun:
Für gleichartige Atome ist
Die gemittelte Intensität ist gegenüber dem statischen Fall
Der Debye-Waller-Faktor ist maximal 1, dann wenn die Atome nicht schwingen (entspricht dem statischen Fall, näherungsweise bei
Der Debye-Waller-Faktor und somit die Intensität ist außerdem umso kleiner, je größer
Einzelnachweise
- ↑ Peter Debye: Interferenz von Röntgenstrahlen und Wärmebewegung. In: Ann. d. Phys.. 348, Nr. 1, 1913, S. 49–92. Bibcode: 1913AnP...348...49D. doi:10.1002/andp.19133480105.
- ↑ Ivar Waller: Zur Frage der Einwirkung der Wärmebewegung auf die Interferenz von Röntgenstrahlen. In: Springer (Hrsg.): Zeitschrift für Physik A. 17, Berlin / Heidelberg, 1923, S. 398–408. Bibcode: 1923ZPhy...17..398W. doi:10.1007/BF01328696.
- ↑ C. Kittel, Einführung in die Festkörperphysik, 7. Auflage, Oldenbourg, 1986, ISBN 3-486-20240-5 , Anhang A, S. 680ff