Einstein-Modell

In der Festkörperphysik beschreibt das Einstein-Modell (nach Albert Einstein) eine Methode, um den Beitrag der Gitterschwingungen (Phononen) zur Wärmekapazität eines kristallinen Festkörpers zu berechnen. Es ist dabei nicht so erfolgreich wie das Debye-Modell, da das Einstein-Modell sich ausschließlich auf optische Phononen anwenden lässt, während Letzteres akustische Phononen beschreibt.

Grundlagen des Modells

Die Gitterschwingungen des Kristalls werden gequantelt, d. h. der Festkörper kann Schwingungsenergie nur in diskreten Quanten $\hslash {\omega }_E$ aufnehmen. Diese Quanten nennt man auch Phononen. Man beschreibt den Festkörper dann als aus N quantenharmonischen Oszillatoren bestehend, die jeweils in drei Richtungen unabhängig schwingen können. Die Besetzungwahrscheinlichkeit $⟨n⟩$ einer solchen Schwingungsmode (eines Phonons) hängt von der Temperatur T ab und folgt (da Phononen Bosonen sind) der Bose-Einstein-Verteilung:

$⟨n⟩=\frac{1}{\exp \left(\frac{\hslash {\omega }_E}{k_{B}T}\right)-1}$

Damit ergibt sich die innere Energie U im Festkörper zu (Es wurde die Quantisierungsbedingung des harmonischen Oszillators verwendet):

$U=3N\cdot \hslash {\omega }_E\cdot (⟨n⟩+\frac{1}{2})=3N\cdot \hslash {\omega }_E\cdot [\frac{1}{\exp \left(\frac{\hslash {\omega }_E}{k_{B}T}\right)-1}+\frac{1}{2}]$

Der Beitrag $\frac{\hslash {\omega }_E}{2}$ gibt die Nullpunktenergie an. Der Beitrag der Phononen zur Wärmekapazität ist dann:

$C_V={\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)}_{V=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}}=\frac{3N}{k_B{T}^2}\frac{(\hslash {\omega }_E{)}^2}{{[\exp \left(\frac{\hslash {\omega }_E}{k_{B}T}\right)-1]}^2}\cdot \exp \left(\frac{\hslash {\omega }_E}{k_{B}T}\right)$

Mit der Einstein-Temperatur ${\mathrm{\Theta }}_E=\frac{\hslash {\omega }_E}{k_B}$ ergibt sich eine einfachere Schreibweise:

$C_V^{\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{l}}\left(T\right)=3N{k}_B\cdot {\left(\frac{{\mathrm{\Theta }}_E}{T}\right)}^2\cdot \frac{\exp \left(\frac{{\mathrm{\Theta }}_E}{T}\right)}{{[\exp \left(\frac{{\mathrm{\Theta }}_E}{T}\right)-1]}^2}$

Versagen bei tiefen Temperaturen

Es ergibt sich im Limes großer bzw. kleiner Temperaturen:

$T\to \mathrm{\infty }:C_V\to 3N\cdot k_B;T\to 0:C_V\propto e^{-{\mathrm{\Theta }}_E/T}\to 0$

Wie das Debye-Modell liefert das Einstein-Modell das korrekte Hochtemperaturlimit nach dem Dulong-Petit-Gesetz. Der oben beschriebene Verlauf von C_V(T) für kleine Temperaturen weicht allerdings erheblich von Messungen ab. Dies hängt mit der Annahme zusammen, alle harmonischen Oszillatoren im Festkörper würden mit einer einheitlichen Frequenz schwingen. Die Verhältnisse im realen Festkörper sind deutlich komplizierter.

Literatur

• "Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme", A. Einstein, Annalen der Physik, volume 22, pp. 180-190, 1907.