Harmonischer Oszillator (Quantenmechanik)

Der harmonische Oszillator in der Quantenmechanik beschreibt analog zum harmonischen Oszillator in der klassischen Physik das Verhalten eines Teilchens in einem Potential der Form

$ V(x)={\frac {1}{2}}kx^{2}={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2} $.

Ein solches quadratisches Potential bezeichnet man auch als harmonisches Potential. Klassisch erhält man dieses Potential für ein System, dessen Rückstellkraft proportional zur Auslenkung aus der Ruhelage ist.

Da ein beliebiges Potential in der Nachbarschaft einer stabilen Gleichgewichtslage näherungsweise als harmonisches Potential beschrieben werden kann, ist dies eines der wichtigsten Modellsysteme in der Quantenmechanik. Zudem ist es eines der wenigen quantenmechanischen Systeme, für das eine genaue analytische Lösung bekannt ist.

Hamilton-Operator und Eigenzustände im eindimensionalen Fall

Der Hamilton-Operator, der in der Quantenmechanik die Gesamtenergie (kinetische Energie + potentieller Energie), beschreibt, ist für den harmonischen Oszillator

$ {\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}{\hat {x}}^{2}}{2}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta +{\frac {m\omega ^{2}{\hat {x}}^{2}}{2}}. $

Dabei ist m die Teilchenmasse, ω die Eigenfrequenz des Oszillators, $ {\hat {x}}=x $ der Ortsoperator, und $ {\hat {p}}=-i\hbar \nabla $ der Impulsoperator in der Ortsdarstellung.

Die stationäre Schrödinger-Gleichung

$ {\hat {H}}|\psi _{n}\rangle =E_{n}|\psi _{n}\rangle $

lautet damit für den eindimensionalen harmonischen Oszillator in der Ortsdarstellung

$ -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \psi _{n}(x)+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\psi _{n}(x)=E_{n}\psi _{n}(x). $

Orts-Wellenfunktionen eines Teilchens im harmonischen Potential in den Zuständen n=0…7

Zu den Orts-Wellenfunktionen gehörende Aufenthaltswahrscheinlichkeit.

Die Eigenfunktionen $ \psi _{n}(x) $ des harmonischen Oszillators ergeben sich durch Lösen dieser Differentialgleichung. Es sind die Hermite-Funktionen

$ \psi _{n}(x)=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{4}}{\frac {1}{\sqrt {2^{n}n!}}}H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right)e^{-{\frac {1}{2}}{\frac {m\omega }{\hbar }}x^{2}} $.

Dabei sind $ H_{n}(x) $ die Hermite-Polynome:

$ H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x^{2}}\right) $

also

$ H_{0}(x)=1 $

$ H_{1}(x)=2x $

$ H_{2}(x)=(2x)^{2}-2=4x^{2}-2 $

$ H_{3}(x)=(2x)^{3}-6(2x)=8x^{3}-12x $

$ H_{4}(x)=(2x)^{4}-12(2x)^{2}+12=16x^{4}-48x^{2}+12 $

...

Der Term $ e^{-{\frac {1}{2}}{\frac {m\omega }{\hbar }}x^{2}} $ beschreibt den exponentiellen Abfall außerhalb des Oszillatorpotentials.

Der Grundzustand $ n=0 $ hat die Form einer Gauß-Kurve

$ \psi _{0}(x)=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{4}}e^{-{\frac {1}{2}}{\frac {m\omega }{\hbar }}x^{2}} $.

Die nebenstehende obere Grafik zeigt die ersten acht Lösungen $ \psi _{n}(x) $. Neben den Wellenfunktionen ist darunter auch deren Betragsquadrat dargestellt, welches die Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines Teilchens im gegebenen harmonischen Potential angibt (jeweils blaue Parabel in den Diagrammen rechts).

Die korrespondierenden Energieniveaus ergeben sich als

$ E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {1}{2}}\right) $

mit $ n $ ganzzahlig positiv oder Null.

Nullpunktenergie

siehe Hauptartikel: Nullpunktenergie

Der Zustand mit der niedrigsten Energie liegt somit $ E_{0}={\frac {1}{2}}\hbar \omega $ über dem Potentialminimum. Dadurch ist das Teilchen in Übereinstimmung mit der heisenbergschen Unschärferelation nicht exakt bei $ x=0,p=0 $ lokalisiert, wie man es von einem klassischen Oszillator erwarten würde. Man spricht hier von einer Nullpunktenergie bzw. Nullpunktsschwingung.

Die Nullpunktenergie führt in den Quantenfeldtheorien zu weiterreichenden Konsequenzen.

Die Leiteroperatormethode

Das Problem des harmonischen Oszillators in der Quantenmechanik lässt sich vorteilhaft mittels der Methode der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren behandeln. Sie wurde von Paul Dirac, basierend auf Arbeiten von Niels Bohr und Otto Wiener, entwickelt. Dieser Lösungsweg wird auch algebraische Methode genannt.

Für diesen Lösungsweg definiert man zwei Operatoren $ {\hat {a}} $ und $ {\hat {a}}^{\dagger } $, die einem Oszillator jeweils ein Energiequant $ \hbar \omega $ entziehen oder hinzufügen. Man nennt sie deswegen Vernichtungs- und Erzeugungsoperator. Andere gebräuchliche Bezeichnungen sind Leiteroperatoren und Aufsteige-/Absteigeoperator. Die Notation $ |\psi _{n}\rangle $ (siehe auch Bra-Ket-Notation) wird hierfür in die einfachere Schreibweise $ |n\rangle $ überführt. Ein solcher Zustand heißt Fock-Zustand oder Besetzungszahlzustand, weil er die Anzahl n der Energiequanten im Oszillator angibt. Man definiert diese Operatoren so, dass sie folgende Beziehungen erfüllen:

$ {\hat {a}}|n\rangle ={\sqrt {n}}\,|n-1\rangle $ und $ {\hat {a}}^{\dagger }|n\rangle ={\sqrt {n+1}}\,|n+1\rangle $

Diese Formel macht die Namensgebung sofort plausibel, weil die Anwendung von $ {\hat {a}} $ von einem höheren Energieniveau $ |n\rangle $ in ein niedrigeres Niveau $ |n-1\rangle $ führt und für $ {\hat {a}}^{\dagger } $ umgekehrt. Aus diesen Operatoren lässt sich noch der sog. Besetzungszahloperator $ {\hat {n}}={\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}} $ zusammensetzen, der die Anzahl der Energiequanten in einem Zustand (also die Zahl n) liefert:

$ {\hat {n}}|n\rangle =n|n\rangle $

Nun lässt sich der Hamilton-Operator mit diesen neuen Operatoren umschreiben, zu:

$ {\hat {H}}=\hbar \omega \left({\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\right)=\hbar \omega \left({\hat {n}}+{\frac {1}{2}}\right) $

Die Operatoren $ {\hat {a}} $ und $ {\hat {a}}^{\dagger } $ lassen sich durch die kanonischen Operatoren $ {\hat {x}} $ und $ {\hat {p}} $ darstellen::

• Vernichtungsoperator: $ {\hat {a}}={\sqrt {\frac {m{\omega }}{2\hbar }}}\left({\hat {x}}+{\frac {i{\hat {p}}}{m{\omega }}}\right) $
• Erzeugungsoperator: $ {\hat {a}}^{\dagger }={\sqrt {\frac {m{\omega }}{2\hbar }}}\left({\hat {x}}-{\frac {i{\hat {p}}}{m{\omega }}}\right) $

Zur Bestimmung der Eigenfunktionen kann man nun die Schrödingergleichung für den niedrigsten Zustand $ |0\rangle $ explizit lösen (dies ist eine sehr einfache Differentialgleichung) und erhält so dessen Ortsdarstellung. Alle weiteren Zustände erhält man dann über die rekursive Anwendung des Erzeugungsoperators auf diesen Grundzustand:

$ |n\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n!}}}\left({\hat {a}}^{\dagger }\right)^{n}|0\rangle $

Diese Methode ist ein sehr eleganter Weg, den harmonischen Oszillator zu behandeln. Sie hat aber noch wesentlich weitreichendere Anwendungen. Stellt man sich etwa elektromagnetische Strahlung aus Photonen zusammengesetzt vor, so kommt man leicht dazu, für Photonen ebenfalls Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren aufzustellen. Tatsächlich lässt sich sogar zeigen, dass man das elektromagnetische Feld als Ansammlung von harmonischen Oszillatoren beschreiben kann. Dabei steht jeder Oszillator für eine Lichtwelle bestimmter Frequenz ω. Dabei gibt dann n die Anzahl der Photonen in dieser „Mode“ des Lichtfeldes an. Allgemein nennt man ein solches Vorgehen zweite Quantisierung. Eine detaillierte Berechnung der Eigenwerte des (eindimensionalen) Oszillators ist im Artikel Erzeugungs- und Vernichtungsoperator unter bosonische Kletteroperatoren zu finden.

Klassischer Grenzfall

Im Grenzfall großer Quantenzahlen n geht die Aufenthaltswahrscheinlichkeit in die klassische Aufenthaltswahrscheinlichkeit über. Diese klassische Wahrscheinlichkeitsdichte ist proportional zur inversen Geschwindigkeit 1/v. Je kleiner diese Geschwindigkeit v des klassischen Teilchens im Potential ist, desto länger verweilt es an einem entsprechenden Ort. Die Geschwindigkeit kann man direkt aus dem Energiesatz ableiten. Die folgende Abbildung zeigt die klassische und die quantenmechanische Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte. Je größer n wird, desto ähnlicher werden sich die Kurven:

Vergleich zwischen der Aufenthaltswahrscheinlichkeit eines QM-Oszillators (Blau) bei n = 70 und der eines klassischen Oszillators (Lila).

Quasiklassische Zustände

Zeitentwicklung eines quasiklassischen Zustandes im harmonischen Potential

Bringt man ein lokalisiertes Wellenpaket in ein harmonisches Potential (siehe Abbildung rechts), so verhält es sich wie ein klassisches Teilchen in diesem Potential (daher quasiklassischer Zustand). Trifft es auf die Potentialränder, so wird es umdrehen und zurücklaufen. Effektiv führt es dann eine Schwingung im Potential aus.

Mathematisch entsprechen diese Zustände den sog. kohärenten Zuständen. Sie werden durch eine komplexe Zahl α charakterisiert und lassen sich als Linearkombination der Zustände $ |n\rangle $ darstellen:

$ |\alpha \rangle =e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha ^{n} \over {\sqrt {n!}}}|n\rangle $

Wichtig sind solche Zustände bei der Beschreibung von kohärenter Strahlung, da man zeigen kann, dass sich das Lichtfeld in der Quantenfeldtheorie auf harmonische Oszillatoren (einer für jede Mode des Feldes) zurückführen lässt (siehe auch kohärente Strahlung). Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Besetzungszahlen kohärenter Zustände folgt (wie die Photonenstatistik von kohärentem Licht) der Poisson-Verteilung:

$ P(n)=|\langle n|\alpha \rangle |^{2}={\frac {|\alpha |^{2n}}{n!}}e^{-|\alpha |^{2}} $

Ein dem quasiklassischen Zustand ähnlicher Zustand wird erzeugt, wenn man ein zweiatomiges Molekül (z. B. Wasserstoff H₂) mit Hilfe von intensiven Femtosekundenlasern anregt^[1]. Oben wurde bereits erläutert, dass man für die Schwingung zweiatomiger Moleküle den harmonischen Oszillator als Näherung verwenden kann. In der folgenden Abbildung ist das Geschehen gezeigt:

Zunächst wird mit einem Laserpuls eine tiefliegende schmale Wellenfunktion in einen höheren Energiezustand angehoben. Dort bleibt sie weiter lokalisiert und beginnt sich als „quasiklassischer Zustand“ im Potential zu bewegen. Zur Messung wird dann ein zweiter Puls eingestrahlt, der das Molekül ionisiert. Die Position der Wellenfunktion gibt den Abstand der Atome im Molekül an. Aus der kinetischen Energie der Bruchstücke kann auf diesen Abstand und die Form des Wellenpakets geschlossen werden.

N-Dimensionaler harmonischer Oszillator

Der eindimensionale harmonische Oszillator kann leicht auf den N-dimensionalen Fall erweitert werden. Der Hamilton-Operator in N Dimensionen ist

$ {\hat {H}}=\left({{\hat {p}}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}{\hat {r}}^{2}\right)=\sum _{i=1}^{N}\left({{\hat {p}}_{i}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}{\hat {x}}_{i}^{2}\right) $.

Daraus wird deutlich, dass der N-dimensionale harmonische Oszillator genau N unabhängigen eindimensionalen harmonischen Oszillatoren mit der gleichen Masse und Rückstellkraft entspricht, denn eine Summe aus N unabhängigen Eigenfunktionen für jede Koordinate nach dem obigen eindimensionalen Schema löst die Schrödingergleichung. Dies ist eine vorteilhafte Eigenschaft des $ r^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\dots +x_{N}^{2} $ Potentials (vgl. Satz des Pythagoras), welches es ermöglicht die potentielle Energie in Terme zu trennen, die nur von jeweils einer Koordinate abhängen.

Die möglichen Energieniveaus ergeben sich entsprechend zu

$ E_{n}=\hbar \omega \left[(n_{1}+\cdots +n_{N})+{N \over 2}\right]=\hbar \omega \left[n+{N \over 2}\right] $.

Zu beachten ist jedoch, dass die Energieniveaus $ E_{n} $ des N-dimensionalen Oszillators entsprechend der kombinatorischen Möglichkeiten zur Realisierung der Niveaus $ g_{n} $-fach entartet sind wie folgt:

$ g_{n}={\binom {N+n-1}{n}} $

Gekoppelte harmonische Oszillatoren

Betrachtet man im einfachsten Fall ein System aus 2 eindimensionalen Teilchen, welche nur durch eine harmonische Kraft $ F=-k(x_{2}-x_{1}) $ aneinandergekoppelt sind, so ergibt sich dafür der Hamilton-Operator

$ H={p_{1}^{2}+p_{2}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}k(x_{2}-x_{1})^{2}. $

Da $ (x_{2}-x_{1})^{2}=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2x_{1}x_{2} $ eine einfache Separation der Schrödingergleichung zunächst verhindert, bietet sich eine Transformation in Schwerpunkt-Koordinaten $ x_{1}',x_{2}' $ an:

$ x_{1}'=x_{1}+x_{2};\ x_{2}'=x_{2}-x_{1} $

$ x_{1}=(x_{1}'-x_{2}')/2;\ x_{2}=(x_{1}'+x_{2}')/2 $

So gelingt über $ (x_{1}-x_{2})^{2}=x_{2}'^{2};\ \ p_{1}^{2}+p_{2}^{2}=(p_{1}'^{2}+p_{2}'^{2})/2 $ eine Separation:

$ H={p_{1}'^{2}+p_{2}'^{2} \over 4m}+{1 \over 2}kx_{2}'^{2}. $

Dies entspricht einem einzelnen harmonischen Oszillator bzgl. der Differenzschwingung $ x_{2}',p_{2}' $ der 2 Teilchen (mit doppelter effektiver Masse), wobei sich das System zusätzlich als ganzes wie ein freies Teilchen bewegt ($ p_{1}' $). Die Lösung der Schrödingergleichung führt entsprechend zu den harmonischen Energieniveaus

$ E_{n}=\hbar \omega _{2m}\left(n+{1 \over 2}\right)+E_{translation} $.

Bei einer Kette aus N derart paarweise harmonisch hintereinander gekoppelter Teilchen (eindimensionales Gitter) findet man ähnlich eine Koordinatentransformation $ {\vec {x}}'=M{\vec {x}} $ derart, dass $ N-1 $ voneinander unabhängige kollektive harmonische Schwingungen (plus ein kommunale Schwerpunktsbewegung) resultieren.^[2]

Bei 3-dimensionalen Kristallgittern in der Festkörperphysik führt diese Betrachtung dann zu den Phononen.

Anwendungen

Der harmonische Oszillator ist ein wichtiges Modellsystem der Quantenphysik, da es eines der wenigen geschlossen (also ohne Näherungen und numerische Methoden) lösbaren Systeme der Quantenmechanik ist. Mit ihm können eine Reihe physikalischer Sachverhalte näherungsweise beschrieben werden:

• In der Molekülphysik erlaubt er eine Näherung der Bindungsverhältnisse zwischen Atomen und ermöglicht so z. B. eine Vorhersage über Schwingungsspektren. Dies lässt sich verdeutlichen, indem eine Bindung durch zwei über eine Feder (harmonisches Potential) miteinander verbundende Massepunkte (die Atome), die gegeneinander schwingen, dargestellt wird:

Die lineare Rückstellkraft $ F(x) $ einer solchen Feder führt auf ein harmonisches Potential $ V(x) $ (proportional $ x^{2} $) und somit auf den harmonischen Oszillator. In realen Molekülen sieht das Potential etwas anders aus, aber der harmonische Oszillator ist, zumindest für niedrige Schwingungsenergien, eine gute Näherung.

• Ein weiteres Beispiel ist die Torsionsschwingung des Ethenmoleküls, die in der folgenden Zeichnung dargestellt ist:

Dabei verdrillt sich sozusagen die Doppelbindung und jeweils zwei Wasserstoff-Atome schwingen drehend gegeneinander.

• In der modernen Atomphysik werden zu untersuchende Atome und Ionen in optischen Fallen bzw. Ionenfallen gefangen und gekühlt, um z. B. bei Messungen eine höhere Auflösung zu erhalten. Außerdem kann man in solchen Fallen neue Zustände der Materie untersuchen (z. B. Bose-Einstein-Kondensate, Fermi-Kondensate). Solche Fallen weisen ein, in erster Näherung, parabolisches Potential auf. Somit können Teilchen in diesen Fallen ebenfalls mit dem Modell des quantenmechanischen harmonischen Oszillators beschrieben werden.
• In der Festkörperphysik beschreibt das Einstein-Modell (nach Albert Einstein) eine Methode, um den Beitrag der Gitterschwingungen (Phononen) zur Wärmekapazität eines kristallinen Festkörpers zu berechnen. Grundlage ist die Beschreibung des Festkörpers als aus N quantenharmonischen Oszillatoren bestehend, die jeweils in drei Richtungen unabhängig schwingen können. Außerdem können Phononen auch durch eine Ansammlung gekoppelter harmonischer Oszillatoren beschrieben werden. Dabei ist jedes Atom im Kristallgitter ein Oszillator, der an seine Nachbaratome gekoppelt ist.

Quellen

• Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë, Franck: Quantenmechanik 1/2., 2. Auflage, Walter de Gruyter, Berlin - New York 1999
• Jun John Sakurai: Modern Quantum Mechanics. Addison-Wesley

Links

• Vollständige Lösung des harmonischen Oszillators mit Hilfe der algebraischen Methode (ab Seite 63; PDF-Datei; 4,26 MB)
• Darstellung der direkten Lösung des harmonischen Oszillators in der Ortsdarstellung
• Harmonischer Oszillator, quantenmechanisch

Einzelquellen