Im Bereich der kinetischen Gastheorie ist die Einstein-Smoluchowski-Beziehung, auch Einstein-Gleichung genannt, eine Beziehung, die zuerst Albert Einstein (1905) und danach Marian Smoluchowski (1906) in ihren Schriften zur Brownschen Bewegung aufdeckten:
- $ D=\mu k_{\mathrm {B} }T $.
Die Gleichung verknüpft D, den Diffusionskoeffizienten, und μ, die Beweglichkeit der Teilchen. $ k_{\mathrm {B} } $ bezeichnet die Boltzmannkonstante und T die Absolute Temperatur.
Es handelt sich um ein frühes Beispiel für eine Fluktuations-Dissipations-Beziehung.
Diffusion von Teilchen
In Bereichen mit niedriger Reynolds-Zahl ist die Beweglichkeit μ der Kehrwert des Strömungskoeffizienten γ. Für kugelförmige Teilchen mit Radius r liefert die Stokessche Gleichung
- $ \gamma =6\pi \,\eta \,r, $
wobei η die Viskosität des Mediums bezeichnet. Die Einstein-Gleichung lässt sich somit umformen in:
- $ D={\frac {k_{\mathrm {B} }T}{6\pi \,\eta \,r}} $.
Diese Form wird auch Stokes-Einstein-Gleichung genannt. Sie kann genutzt werden um den Diffusionskoeffizienten eines globulären Proteins in wässriger Lösung zu bestimmen: Für ein Protein von 100 kDa erhalten wir D ~10-10 m2s-1, wobei wir eine Dichte von ~1,2 103 kg m-3 annehmen.
Elektrische Leitfähigkeit
Auf die elektrische Leitfähigkeit bezogen teilt man für gewöhnlich durch die Ladung q des Ladungsträgers und definiert die Elektronenbeweglichkeit
- $ \mu ={\frac {v_{d}}{E}} $
wobei E das wirkende elektrische Feld ist. Die Einstein-Gleichung wird somit zu
- $ D={\frac {\mu \,k_{\mathrm {B} }T}{q}} $
Für einen Halbleiter mit beliebiger Zustandsdichte lautet die Einstein-Gleichung
- $ D={\frac {\mu \,p}{q{\frac {d\,p}{d\eta }}}} $
mit dem chemischen Potential $ \mu $ und der Teilchenzahl p.
