Quantendefekttheorie

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Die Quantendefekttheorie der physikalischen Chemie dient zur modellhaften Berechnung der charakteristischen Linienspektren von Atomen mit mehreren Elektronen, insbesondere von solchen der 1. Hauptgruppe; diese sind mit Hilfe des Bohrschen Atommodells nicht zu erklären. Indem sie die Notwendigkeit des Orbitalmodells beweist, ist die Quantendefekttheorie von großer Bedeutung.

Ausgangspunkt: Ionisierungsenergien

Vergleicht man das 2s-Elektron von Lithium (Außen- oder Leuchtelektron, im Grundzustand; 5,37 eV) und ein imaginäres 2s-Elektron des Wasserstoffs (angeregter Zustand; 3,4 eV), so ist für die Ionisierung des 2s-Lithium-Elektrons mehr Energie nötig als für diejenige des 2s-Wasserstoff-Elektrons. D. h., das 2s-Lithium-Elektron wird vom eigenen Atomkern stärker angezogen als das 2s-Wasserstoff-Elektron von seinem.

Radialwahrscheinlichkeiten

Diese stärkere Anziehung kann nur erklärt werden mittels radialer Aufenthaltswahrscheinlichkeiten der jeweiligen Orbitale. Orbitale sind Wahrscheinlichkeitsräume: ein 2s-Elektron bzw. das 2s-Orbital hat eine charakteristische Wellenfunktion, die zu jeder Entfernung vom Kern eine Angabe über die Wahrscheinlichkeit macht, das Elektron in genau dieser Entfernung anzutreffen.

Der weitere Aufbau des Atoms spielt für die Wellenfunktion keine Rolle, sodass die 2s-Elektronen von Lithium und von Wasserstoff die gleiche Wellenfunktion besitzen. Diese hat ein kernnahes Maximum, d. h., das 2s-Elektron kann zu einer geringen, aber dennoch wichtigen Wahrscheinlichkeit auch in den Bereich zwischen den inneren 1s-Elektronen und dem Kern „tauchen“. Dort erfährt es eine deutlich höhere Anziehung auf Grund der positiven Ladung des Kerns; die Abschirmung des Kerns nach außen, welche vorher die zwei 1s-Elektronen bewirkt hatten, wird nun unvollständig.

Das 2s-Elektron des Lithiumatoms erfährt also im kernnahen Bereich einen dreifach positiv geladenen Kern, im kernfernen aber einen einfach positiv geladenen (effektive Kernladung); im zeitlichen Mittel wird es von einem Kern der Ladung $ 1e<Q<3e $ angezogen.

Im starken Kontrast dazu wird das 2s-Elektron des Wasserstoffs nur von einem Kern der Ladung $ Q=1e $ angezogen, da das Wasserstoff-Atom nur ein Proton im Kern besitzt.

Der Quantendefekt

Eine stärkere Anziehung führt zu einer höheren Ionisierungsenergie, weswegen die Elektronen der Alkaliatome im Schema der Energieniveaus jeweils niedriger dargestellt werden als vergleichbare Orbitale des Wasserstoffatoms; die Differenz zum Ionisierungskontinuum wird größer. Dieser Zusammenhang wird ausgedrückt durch die effektive Hauptquantenzahl $ n' $, indem von der Hauptquantenzahl $ n $ des jeweiligen Orbitals der Quantendefekt δ abgezogen wird, der die Stärke der zusätzlichen Anziehung widerspiegelt:

$ n'=n-\delta _{n,l}. $

Der Quantendefekt und damit das Energieniveau hängt nicht nur minimal von der Hauptquantenzahl $ n $ (der Größe des Orbitals) ab, sondern auch signifikant von der Bahndrehimpulsquantenzahl $ l $ und damit der Wellenfunktion bzw. der Form des Orbitals (s, p, d oder f). So hat das kugelförmige s-Orbital ein ausgeprägtes kernnahes Maximum der Wellenfunktion, das hantelförmige p-Orbital jedoch weniger, usw. Die Abschirmung wird somit mit steigender Nebenquantenzahl „vollständiger“, das Außenelektron „taucht“ seltener in den kernnahen Bereich ein und wird weniger stark angezogen. Anders ausgedrückt: je größer die Nebenquantenzahl l, desto kleiner der Quantendefekt δ bzw. desto approximierter das Energieniveau des Orbitals an dem eines vergleichbaren Wasserstoffatoms. So ist ein 3d-Elektron des Lithiums energetisch gesehen kaum von einem 3d-Elektron des Wasserstoffs zu unterscheiden.

Dagegen liegt beim Wasserstoffatom eine l-Entartung vor, d. h. die unterschiedlichen Formen der Orbitale spiegeln sich nicht in unterschiedlichen Energien wider. Z.B. wäre ein 4s-Elektron des Wasserstoffs energetisch gleich einem 4d-Elektron des Wasserstoffs. Bei Alkalimetallen ist die l-Entartung aufgehoben.

Ermittelt man mittels Spektroskopie die einzelnen Übergänge und ihre Energien, so kann man den Quantendefekt $ \delta _{n,l}\!\, $ für jedes Orbital eines Atoms ermitteln.

Linienspektren

Passt man die aus dem Bohrschen Atommodell hergeleitete Rydberg-Formel für wasserstoffähnliche Ein-Elektron-Systeme an die Quantendefekttheorie an, so ergibt sich für optische Übergänge (Spontane Emission oder Absorption von Licht) die Formel:

$ {\frac {1}{\lambda _{\mathrm {vac} }}}=Z^{2}R\left({\frac {1}{n_{1}'^{2}}}-{\frac {1}{n_{2}'^{2}}}\right). $

Dabei sind

• $ \lambda _{\mathrm {vac} } $ die Wellenlänge des Lichts im Vakuum
• $ Z $ die Kernladungszahl
• $ R $ die Rydberg-Konstante für das jeweilige Element: $ R={\frac {R_{\infty }}{1+{\frac {m_{e}}{M}}}} $ mit
  • $ m_{e} $ die Masse des Elektrons
  • $ M $ die Kernmasse (abhängig vom vorliegenden Isotop)
  • $ R_{\infty } $ die Rydberg-Konstante für Wasserstoff.

Für Emission bzw. Absorption von Licht gilt außerdem die Auswahlregel

$ \Delta l=\pm 1 $ ($ l $: Drehimpulsquantenzahl),

d. h. die Form des Orbitals muss sich verändern.