Parität (Physik)

Die Parität bezeichnet in der Physik eine Symmetrieeigenschaft eines physikalischen Systems, die das Verhalten gegenüber räumlichen Raumspiegelungen beschreibt.

Beschreibung

Der Parität liegt eine Raumspiegelung zugrunde, die durch einen Vorzeichenwechsel in jeder der drei Ortskoordinaten dargestellt wird, wobei die Zeit $$ t $$ unverändert bleibt:

(t,x,y,z)\mapsto (+t,-x,-y,-z)\ .

Eine physikalische Fragestellung ist nun, wie sich ein physikalisches System bei dieser Transformation der Koordinaten verhält. Da sich die Punktspiegelung in drei Raumdimensionen nicht durch Drehungen und Verschiebungen bewirken lässt, ist es unmöglich, sie als einen kontinuierlichen Wechsel des Bezugssystems, das heißt allein durch Bezug auf einen bestimmten Ort im Raum, zu beschreiben. Salopp formuliert: Ein Beobachter kann sich nicht in eine solche Position begeben, dass der Raum gespiegelt wird. Dennoch untersucht man physikalische Theorien daraufhin, ob die Beschreibung unverändert bei einem solchen Wechsel der Koordinaten bleibt. Lange Zeit erfüllten alle verbreiteten physikalischen Theorien diese Bedingung, diese besitzen also eine solche Symmetrie, sind kovariant unter dieser Transformation.

Paritätsverletzung

Mit der Entwicklung der Theorie der schwachen Wechselwirkung, mit welcher der Beta-Zerfall beschrieben wird, in der Quantenphysik befand man es erstmals für notwendig, zur Erklärung der experimentellen Messungen eine Theorie so zu formulieren, dass jene Symmetrie in ihr nicht gegeben ist. Man spricht von einer Paritätsverletzung. In dieser Theorie weisen einige Teilchen wie zum Beispiel das Elektron eine Eigenschaft vergleichbar mit der Polarisation von Licht auf: Ein Elektron besitzt zwei mögliche Helizitäten, den Polarisationsrichtungen von Licht entsprechend, welche linkshändig und rechtshändig genannt werden. Die schwache Wechselwirkung betrifft dabei vereinfacht ausgedrückt nur die linkshändigen Elektronen (genauer gesagt kann sich ein Elektron, wie in der Quantenphysik allgemein üblich, auch in einer Art von Zwischenzustand zwischen Links- und Rechtshändigkeit befinden, in welchem Fall nur der linkshändige Anteil betroffen ist). Aus der Definition der Helizität ergibt sich, dass ein linkshändiges Elektron nach Wechsel der Koordinaten durch besagte Paritätstransformation als rechtshändiges Elektron aufgefasst werden muss – sie verhält sich unter einer solchen Spiegelung also wie ein Drehsinn oder wie linke und rechte Hand eines Menschen. Dadurch, dass jedoch in der schwachen Wechselwirkung die Linkshändigkeit gegenüber der Rechtshändigkeit ausgezeichnet ist, ist die Theorie also nicht symmetrisch unter der Paritätstransformation.

Diese paritätsverletzende Beschreibung wurde erstmals 1956 durch Tsung-Dao Lee und Chen Ning Yang vorgeschlagen, nachdem im selben Jahr bei der Untersuchung des Beta-Minus-Zerfalls im Wu-Experiment (nach Chien-Shiung Wu) erstmals eine Auszeichnung linkshändiger Elektronen beobachtet worden waren.

Theoretische Beschreibung in der Quantenmechanik

Im einfachsten Fall der Quantenmechanik wird der Zustand eines physikalischen Systems bestehend aus einem Teilchen durch eine Wellenfunktion beschrieben. Diese ist eine Funktion $\psi \colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {C}$ . Das Verhalten solcher Wellenfunktionen unter der Paritätstransformation wird durch eine Funktion $$ P $$ , Paritätstransformation oder Paritätsoperator genannt, beschrieben, welcher jeder Wellenfunktion $\psi$ die zugehörige Wellenfunktion $P\psi$ im gespiegelten Koordinatensystem zuordnet. Sie ist definiert durch die Gleichung

(P\psi )({\vec {x}})=\psi (-{\vec {x}})

für jede Wellenfunktion

\psi

und jeden Ortsvektor

{\vec {x}}

.

Für Dirac-Wellenfunktionen ist der Paritätsoperator nicht allein eine Raumspiegelung der Wellenfunktion, sondern auch eine Multiplikation mit $\gamma ^{0}$ :^[1]^[2]

(P\psi )({\vec {x}})=\gamma ^{0}\psi (-{\vec {x}})\ .

Der Paritätsoperator besitzt eine Reihe besonderer mathematischer Eigenschaften:

Linearität
Es handelt sich um eine Involution (Mathematik): Durch zweifache Anwendung erhält man wiederum die ursprüngliche Wellenfunktion, $PP\psi =\psi$ , somit ist $$ P $$ invertierbar und $P^{-1}=P$ .
Der Operator erhält die Norm, da $$ P $$ linear und invertierbar ist, ist $$ P $$ ein unitärer Operator, wie bei den meisten Symmetrietransformationen in der Quantenphysik üblich.
Aufgrund der Unitarität ist $P^{-1}$ gleich seinem Adjungierten $P^{\dagger }$ , somit ist $P=P^{\dagger }$ selbstadjungiert.

Als selbstadjungierter Operator lässt sich $$ P $$ als Observable auffassen. Diese quantenmechanische Größe besitzt dabei kein direktes klassisches Pendant, aus der sie sich (etwa über ein Funktionalkalkül) ergibt. Da der Paritätsoperator unitär ist, haben all seine Eigenwerte Betrag $$ 1 $$ . Da er selbstadjungiert sind, sind alle Eigenwerte reell. Somit besitzt $$ P $$ höchstens die Eigenwerte $$ 1 $$ und $$ -1 $$ . Die Eigenzustände zum Eigenwert $$ 1 $$ sind gerade die geraden Wellenfunktionen, also Wellenfunktionen $\psi$ mit $\psi ({\vec {x}})=\psi (-{\vec {x}})$ (wie zum Beispiel eine Glockenkurve). Die zum Eigenwert $$ -1 $$ sind die ungeraden Wellenfunktionen $\psi$ , für die also gilt $\psi ({\vec {x}})=-\psi (-{\vec {x}})$ . Jeder Zustand lässt sich eindeutig als Summe von einem Eigenzustand zum Eigenwert $$ 1 $$ und einem zum Eigenwert $$ -1 $$ darstellen, das heißt in einen geraden und einen ungeraden Teil zerlegen, wie leicht nachzurechnen ist und auch aus dem Spektralsatz folgt.

Für Mehrteilchensysteme wird der Paritätsoperator analog für den Raum eines jeden einzelnen Teilchens definiert und dann auf das Tensorprodukt der Räume fortgesetzt:

P(\psi _{1}\otimes \ldots \otimes \psi _{n})({\vec {x_{1}}},\ldots ,{\vec {x_{n}}})=(\psi _{1}\otimes \ldots \otimes \psi _{n})(-{\vec {x_{1}}},\ldots ,-{\vec {x_{n}}})

(linear fortzusetzen auf den ganzen Produktraum)

Abstrakter lässt sich der Paritätsoperator auch durch das Transformationsverhalten der Ortsoperatoren $x_{1},x_{2},x_{3}$ charakterisieren:

Px_{i}P^{-1}=Px_{i}P=-x_{i}

Oder anders ausgedrückt:

Px_{i}=-x_{i}P

Der Paritätsoperator antivertauscht also mit dem Ortsoperator:

\left\{P,x_{i}\right\}=0

Ebenso gilt auch für die Impulsoperatoren $p_{1},p_{2},p_{3}$

\left\{P,p_{i}\right\}=0

.

Andere Dimensionen

Betrachtet man physikalische Theorien in anderen als drei Dimensionen, so ist zu beachten, dass bei geradzahliger Dimension des Raumes eine Umkehr aller Koordinaten nichts anderes als eine Drehung ist (die Determinante ist $$ 1 $$ ). Daher definiert man für allgemeine Dimensionszahl die Paritätstransformation als Umkehr einer Koordinate und verfährt ansonsten analog. Dabei hat man den praktischen Nachteil, dass es nicht möglich ist, bezugssystemsunabhängig eine feste solche Matrix als Paritätstransformation zu definieren.

Siehe auch

Einzelnachweise

↑ Franz Schwabl: Quantenmechanik für Fortgeschrittene (QM II). Springer, 2005, ISBN 9783540259046 (eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche).
↑ M. E. Peskin, D. V. Schroeder: An Introduction to Quantum Field Theory. Addison-Wesley, 1995, ISBN 9780201503975, S. 65.

[1] Franz Schwabl: Quantenmechanik für Fortgeschrittene (QM II). Springer, 2005, ISBN 9783540259046 (eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche).

[2] M. E. Peskin, D. V. Schroeder: An Introduction to Quantum Field Theory. Addison-Wesley, 1995, ISBN 9780201503975, S. 65.

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