Discrete Element Method
Mit Discrete Element Method (DEM) wird eine 1979 von Cundall und Strack entwickelte numerische Berechnungsmethode bezeichnet, mit der die Bewegung einer großen Zahl von Teilchen berechnet werden kann. Die Methode wird manchmal auch als Distinct Element Method bezeichnet. Ursprünglich diente sie Berechnungen der Molekulardynamik (MD). Seit ihrer Einführung hat sich ihr Einsatzgebiet ausgedehnt auf Anwendungen der Partikelverfahrenstechnik, der Geotechnik und des Maschinenbaus. Eine Erweiterung des Verfahrens ist die Extended Discrete Element Method.
Verfahren
Anwendungsbereiche
Die Grundannahme des Verfahrens beruht darauf, dass die zu berechnende Materie sich aus einzelnen, abgeschlossenen Elementen zusammensetzt. Diese Elemente können unterschiedliche Formen und Eigenschaften haben. Beispiele dafür sind etwa:
- Atome und Moleküle (siehe auch chemische Moleküldynamik)
- Schüttgüter in Silos, z.B. Getreide
- Gestein, das sich aus einzelnen Kieseln zusammensetzt
- Stäube, z.B. Toner
Ablauf
Bei einer DEM-Simulation werden alle Teilchen in einer bestimmten Startgeometrie positioniert und mit einer Anfangsgeschwindigkeit versehen. Aus diesen Anfangsdaten und den physikalischen Gesetzen, die für die Teilchen relevant sind, werden die Kräfte ausgerechnet, die auf jedes Teilchen wirken.
Kräfte, die hier in Frage kommen, sind zum Beispiel im makroskopischen Fall:
- Reibungskräfte, wenn zwei Teilchen einander streifen
- Rückstoßende Kräfte, wenn zwei Teilchen aufeinander treffen und dabei leicht reversibel deformiert werden
- Gravitationskräfte, also die Anziehung der Teilchen aufgrund ihrer Massen (nur relevant bei astronomischen Simulationen)
oder auf molekularer Ebene
- Coulomb-Kräfte, also die elektrostatische Anziehung oder Abstoßung der Teilchen, falls diese eine elektrische Ladung tragen.
- Pauli Repulsion, wenn zwei Atome nahe aneinandergeraten
- Van-der-Waals-Kräfte
Alle diese Kräfte werden aufsummiert und danach mit Hilfe eines numerischen Integrationsverfahren aus der Newtonschen Bewegungsgleichung die Veränderung der Teilchengeschwindigkeit und -position berechnet, die sich in einem gewissen Zeitschritt ergibt. Danach werden mit den veränderten Positionen und Geschwindigkeiten erneut die Kräfte berechnet und diese Schleife so lange wiederholt, bis der Simulationszeitraum beendet ist.
Langreichweitige Kräfte
Wenn langreichweitige Kräfte (typischerweise Gravitationskräfte oder elektrostatische Kräfte) berücksichtigt werden, so muss grundsätzlich die Wechselwirkung von jedem Teilchen mit allen anderen Teilchen berechnet werden. Die Zahl der Interaktionen und damit auch der Rechenaufwand steigt dann quadratisch mit der Zahl der Teilchen. Bei hohen Teilchenzahlen steigt damit die Rechenzeit inakzeptabel an. Eine Möglichkeit, dies zu vermeiden, besteht darin, mehrere Teilchen, die weit entfernt vom aktuellen Teilchen liegen, zu einem Pseudoteilchen zusammenzufassen und nur eine Interaktion zwischen dem aktuellen Teilchen und dem Pseudoteilchen zu berechnen. Als Beispiel kann die Interaktion zwischen einem Stern und einer weit entfernten Galaxie dienen: Der Fehler, der entsteht, wenn alle Sterne der entfernten Galaxie zu einem einzigen Massepunkt zusammengefasst werden, ist bei normalen Anforderungen vernachlässigbar. Um zu entscheiden, welche Teilchen zu Pseudoteilchen zusammengefasst werden können, werden sogenannte Baumverfahren angewendet. Dabei werden die Teilchen in einem hierarchischen Baum, im zweidimensionalen Fall einem Quadtree, im dreidimensionalen Fall einem Octree angeordnet. Bei Molekulardynamik-Simulationen wird dagegen der Raum, in dem die Simulation stattfinden soll, in Simulationszellen eingeteilt. Sowohl die Kräfte als auch die Teilchen werden, wenn sie über den Rand der Zelle hinausgehen, einfach auf der anderen Seite der Zelle wieder eingefügt (Periodische Randbedingung). Um zu verhindern, dass ein Teilchen nun sowohl von der eigentlichen Kraft als auch von deren Spiegelbild auf der anderen Seite erfasst wird, wird diese Kraft ab der sogenannten Cutoff-Distanz (normalerweise die halbe Länge der Zelle) nicht mehr berücksichtigt. Um nun die Anzahl der beteiligten Teilchen zu erhöhen, wird einfach die Simulationszelle beliebig vervielfacht.
Algorithmen
Integrationsalgorithmen
- Verlet-Algorithmus
- Velocity-Verlet
- Leap Frog
- Prädiktor-Korrektor-Methode (Mehrschrittverfahren#Prädiktor-Korrektor-Methode)
Langreichweitige Kräfte
- Barnes-Hut-Algorithmus
- Fast-Multipole-Method
- Ewaldsumme
- Particle-Mesh-Ewald
Siehe auch
Literatur
- P.A. Cundall, O.D.L. Strack: A distinct element model for granular assemblies. Geotechnique, 29:47,65, 1979.
- M. P. Allen, D.J. Tildesly: Computer Simulation of Liquids. Oxford University Press, 1989, ISBN 0198556454
- Griebel, Knapek, Zumbusch, Caglar: Numerische Simulation in der Molekulardynamik. Springer, 2004. ISBN 3-540-41856-3
- Nenad Bicanic: Discrete Element Methods. In: Stein, de Borst, Hughes Encyclopedia of Computational Mechanics, Vol. 1. Wiley, 2004. ISBN 0-470-84699-2