Bohrscher Radius

Der bohrsche Radius $ \,a_{0} $ bezeichnet den Radius des Wasserstoffatoms im niedrigsten Energiezustand und somit auch den Radius seiner ersten und kleinsten Elektronenschale im Rahmen des bohrschen Atommodells; dabei bleibt die kleine Korrektur noch unberücksichtigt, die der Mitbewegung des Atomkerns um den Schwerpunkt entspricht.

Eine quantenmechanische Betrachtung ergibt, dass im niedrigsten Energiezustand die Wahrscheinlichkeit, das Elektron zu messen, beim bohrschen Radius maximal wird. Der relevantere Erwartungswert für den Radius ist jedoch das 1,5-fache des bohrschen Radius.

Formeln und Zahlenwert

Der bohrsche Radius errechnet sich gemäß der Formel:

$ a_{0}={{4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}} \over {m_{\mathrm {e} }e^{2}}}\,. $

Dabei ist

• $ \,\varepsilon _{0} $ die elektrische Feldkonstante im Vakuum,
• $ \,\hbar $ die durch $ 2\pi $ geteilte Plancksche Konstante,
• $ \,m_{\mathrm {e} } $ die Masse des Elektrons und
• $ \,e $ die Ladung des Elektrons.

Ebenso wird der bohrsche Radius beschrieben durch

$ a_{0}={\frac {\lambda _{\mathrm {e} }}{2\pi \alpha }} $

mit

• der Compton-Wellenlänge $ \lambda _{\mathrm {e} }={\frac {2\pi \hbar }{m_{\mathrm {e} }c}} $ des Elektrons und
• der Feinstrukturkonstante $ \alpha ={\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\hbar c}}. $

Der Wert beträgt nach derzeitiger Messgenauigkeit der in die Rechnung einfließenden Naturkonstanten:^[1]

$ a_{0}=0{,}529\,177\,210\,92\,(17)\cdot 10^{-10}\,{\rm {{m},}} $

wobei die eingeklammerten Ziffern die geschätzte Standardabweichung von 0,000 000 000 17 angeben.

Der bohrsche Radius wird in der Atomphysik als Längeneinheit benutzt, als Näherungen werden 52,9 pm oder ein halbes Ångström (= 50 pm) verwendet.

Berücksichtigt man die endliche Masse $ M_{K} $ des Kerns und damit seine Mitbewegung um den gemeinsamen Schwerpunkt, muss man in den mechanischen Formeln die Elektronenmasse $ m_{e} $ durch die reduzierte Masse $ \mu ={\tfrac {m_{e}}{(1+{\frac {m_{e}}{M_{K}}})}} $ ersetzen. Der Bahnradius wird dann $ \mu \;a_{0} $. Die Korrektur beträgt beim H-Atom nur ca. 0,05 %, beim He⁺-Ion, das ebenfalls nur ein Elektron besitzt, ca. 0,01 %.

Herleitung

Schon mithilfe einer einfachen Abschätzung und unter Berücksichtigung der Unschärferelation lässt sich der bohrsche Radius ermitteln.

Es wird angenommen, der Abstand des im Wasserstoffatom gebundenen Elektrons zum Kern betrage für gewöhnlich $ a $.

Der Unschärferelation wegen lässt sich der Impuls des Elektrons grob mit

$ p=\hbar /a $

angeben, wobei die Ortsobservable $ x $ hier durch den Abstand $ a $ ersetzt wird.

Die kinetische Energie beträgt demnach

$ E_{kin}(a)={\frac {1}{2}}m_{e}v^{2}={\frac {1}{2}}{\frac {p^{2}}{m_{e}}}={\frac {1}{2}}{\frac {1}{m_{e}}}\left({\frac {\hbar }{a}}\right)^{2}.\!\, $

Die potentielle Energie ist gemäß dem Coulombschen Gesetz

$ V(a)=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{a}},\!\, $

woraus sich die Gesamtenergie ergibt:

$ E(a)=E_{kin.}(a)+V(a)={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}a^{2}}}-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{a}}\!\,. $

Je weiter sich das Elektron vom Kern entfernt, desto kleiner wird seine kinetische Energie, wegen des negativen Vorzeichens wächst damit aber seine potentielle Energie.

Im Grundzustand realisiert sich eine Art „Kompromiss“, der die Gesamtenergie minimal macht; der zugehörige Radius $ a $ ergibt sich, indem man die Energie nach $ a $ differenziert und die Ableitung gleich Null setzt (Extremwertermittlung):

$ {\frac {dE}{da}}=0\Rightarrow a_{0}={\frac {4\pi \hbar ^{2}\varepsilon _{0}}{m_{e}e^{2}}}. $

Dies ist genau der bohrsche Radius.

Setzt man nun $ a_{0} $ in $ E(a) $ ein, so erhält man die Rydberg-Energie, die Ionisierungsenergie des Wasserstoffs:

$ E(a_{0})=-{\frac {1}{2}}{\frac {m_{e}\,e^{4}}{(4\pi )^{2}\,\varepsilon _{0}^{2}\,\hbar ^{2}}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {e^{2}}{4\pi \,\varepsilon _{0}\,a_{0}}}=-13{,}6\,{\rm {{eV}.}} $

Historisches

Niels Bohr erwähnt in seinem Aufsatz^[2] den österreichischen Physiker Arthur Erich Haas, der die Formel für $ \,a_{0} $ schon 1910/11 gefunden und damit erstmals die Rolle erkannt hatte, die die Plancksche Konstante $ \,h $ in der Atomphysik, insbesondere in ihren mechanischen Aspekten, spielen könnte. In seinem Modell läuft ein Elektron auf der Oberfläche einer mit $ \,1e $ positiv geladenen Kugel um, was nach dem Gaußschen Gesetz der Elektrostatik dieselbe Anziehungskraft ergibt wie ein punktförmiger Kern. Dies Modell fand damals keine Beachtung, u. a. weil man vielfach auch beim Wasserstoff noch von einer viel größeren Anzahl von Elektronen ausging, also entsprechend auch von einer größeren positiven Ladung des Rests des insgesamt neutralen Atoms. Auch hielt man es weithin für ausgeschlossen, dass $ \,h $ außerhalb des Themas harmonische Schwingungen eine Bedeutung haben könnte.

Anfangs lagen die mit dem bohrschen Radius $ a_{0} $ berechneten Energien bzw. Wellenlängen des Wasserstoffspektrums um 0,05 % neben den damals bekannten Messwerten, beim Helium-Ion um 0,01 %. Doch dass die kleinen Korrekturen wegen der Mitbewegung des Kerns in beiden Fällen volle Übereinstimmung erbrachten, sicherte dem bohrschen Modell rasch große Anerkennung.

Quellen

• Feynman, R.P.: „Vorlesungen über Physik. Quantenmechanik.“ Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, München 2007.
• Brown, L.M., Pais, A., Pippard, Sir B. (Hrsg.): "Twentieth Century Physics" Bd. 1, Inst. of Phys. Publishing Ltd. Bristol, 1995 (ISBN 0750303530)
• Max Jammer: The Conceptual Development of Quantum Mechanics. MCGraw-Hill, NewYork 1966.

Einzelnachweise