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Bohrscher Radius

Bohrscher Radius

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Physikalische Konstante
Name Bohrscher Radius
Formelzeichen $ \,a_{0} $
Größenart Länge
Wert
SI $ 0{,}529\,177\,210\,92\,(17)\cdot 10^{-10}\,{\rm {m}} $
Unsicherheit (rel.) $ 3{,}2\cdot 10^{-10} $
Gauß $ 5{,}29\,177\,210\,92\,(17)\cdot 10^{-9}\,{\rm {cm}} $
Bezug zu anderen Konstanten
$ a_{0}={{4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}} \over {m_{\mathrm {e} }e^{2}}} $
Quellen und Anmerkungen
Quelle SI-Wert: CODATA 2010, Direktlink: NIST

Der bohrsche Radius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \,a_0 bezeichnet den Radius des Wasserstoffatoms im niedrigsten Energiezustand und somit auch den Radius seiner ersten und kleinsten Elektronenschale im Rahmen des bohrschen Atommodells; dabei bleibt die kleine Korrektur noch unberücksichtigt, die der Mitbewegung des Atomkerns um den Schwerpunkt entspricht.

Eine quantenmechanische Betrachtung ergibt, dass im niedrigsten Energiezustand die Wahrscheinlichkeit, das Elektron zu messen, beim bohrschen Radius maximal wird. Der relevantere Erwartungswert für den Radius ist jedoch das 1,5-fache des bohrschen Radius.

Formeln und Zahlenwert

Der bohrsche Radius errechnet sich gemäß der Formel:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a_0 = {{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}\over{m_{\mathrm{e}} e^2}}\,.

Dabei ist

  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \,\varepsilon_0 die elektrische Feldkonstante im Vakuum,
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \,\hbar die durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): 2 \pi geteilte Plancksche Konstante,
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \,m_{\mathrm{e}} die Masse des Elektrons und
  • $ \,e $ die Ladung des Elektrons.

Ebenso wird der bohrsche Radius beschrieben durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a_0 = \frac{\lambda_{\mathrm{e}}}{2 \pi \alpha}

mit

  • der Compton-Wellenlänge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda_{\mathrm{e}} = \frac{2 \pi \hbar}{m_{\mathrm{e}} c} des Elektrons und
  • der Feinstrukturkonstante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \alpha = \frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 \hbar c}.

Der Wert beträgt nach derzeitiger Messgenauigkeit der in die Rechnung einfließenden Naturkonstanten:[1]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a_0 = 0{,}529\,177\,210\,92\,(17) \cdot 10^{-10} \,\rm{m},

wobei die eingeklammerten Ziffern die geschätzte Standardabweichung von 0,000 000 000 17 angeben.

Der bohrsche Radius wird in der Atomphysik als Längeneinheit benutzt, als Näherungen werden 52,9 pm oder ein halbes Ångström (= 50 pm) verwendet.

Berücksichtigt man die endliche Masse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): M_K des Kerns und damit seine Mitbewegung um den gemeinsamen Schwerpunkt, muss man in den mechanischen Formeln die Elektronenmasse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m_e durch die reduzierte Masse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mu = \tfrac{m_e}{(1+\frac{m_e}{M_K})} ersetzen. Der Bahnradius wird dann Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mu\;a_0 . Die Korrektur beträgt beim H-Atom nur ca. 0,05 %, beim He+-Ion, das ebenfalls nur ein Elektron besitzt, ca. 0,01 %.

Herleitung

Siehe auch: "Bohrsches Atommodell" für eine vollständige Herleitung.

Schon mithilfe einer einfachen Abschätzung und unter Berücksichtigung der Unschärferelation lässt sich der bohrsche Radius ermitteln.

Es wird angenommen, der Abstand des im Wasserstoffatom gebundenen Elektrons zum Kern betrage für gewöhnlich $ a $.

Der Unschärferelation wegen lässt sich der Impuls des Elektrons grob mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p=\hbar / a

angeben, wobei die Ortsobservable Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x hier durch den Abstand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a ersetzt wird.

Die kinetische Energie beträgt demnach

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E_{kin}(a) = \frac 12 m_e v^2 = \frac 12 \frac{p^2}{m_e} = \frac 12 \frac{1}{m_e} \left( \frac{\hbar}{a} \right)^2. \!\,

Die potentielle Energie ist gemäß dem Coulombschen Gesetz

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V(a)=-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{a}, \!\,

woraus sich die Gesamtenergie ergibt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E(a)=E_{kin.}(a)+V(a)=\frac{\hbar^2}{2m_ea^2}-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{a} \!\, .

Je weiter sich das Elektron vom Kern entfernt, desto kleiner wird seine kinetische Energie, wegen des negativen Vorzeichens wächst damit aber seine potentielle Energie.

Im Grundzustand realisiert sich eine Art „Kompromiss“, der die Gesamtenergie minimal macht; der zugehörige Radius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a ergibt sich, indem man die Energie nach $ a $ differenziert und die Ableitung gleich Null setzt (Extremwertermittlung):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{dE}{da} = 0 \Rightarrow a_0 = \frac{4 \pi \hbar^2 \varepsilon_0}{m_e e^2}.

Dies ist genau der bohrsche Radius.

Setzt man nun Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a_0 in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E(a) ein, so erhält man die Rydberg-Energie, die Ionisierungsenergie des Wasserstoffs:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E(a_0) = - \frac{1}{2} \frac{m_e \, e^4}{(4 \pi)^2 \, \varepsilon_0^2 \, \hbar^2} = - \frac{1}{2} \frac{e^2}{4 \pi \, \varepsilon_0 \, a_0} = -13{,}6 \, \rm{eV}.

Historisches

Niels Bohr erwähnt in seinem Aufsatz[2] den österreichischen Physiker Arthur Erich Haas, der die Formel für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \,a_0 schon 1910/11 gefunden und damit erstmals die Rolle erkannt hatte, die die Plancksche Konstante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \,h in der Atomphysik, insbesondere in ihren mechanischen Aspekten, spielen könnte. In seinem Modell läuft ein Elektron auf der Oberfläche einer mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \,1 e positiv geladenen Kugel um, was nach dem Gaußschen Gesetz der Elektrostatik dieselbe Anziehungskraft ergibt wie ein punktförmiger Kern. Dies Modell fand damals keine Beachtung, u. a. weil man vielfach auch beim Wasserstoff noch von einer viel größeren Anzahl von Elektronen ausging, also entsprechend auch von einer größeren positiven Ladung des Rests des insgesamt neutralen Atoms. Auch hielt man es weithin für ausgeschlossen, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \,h außerhalb des Themas harmonische Schwingungen eine Bedeutung haben könnte.

Anfangs lagen die mit dem bohrschen Radius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a_0 berechneten Energien bzw. Wellenlängen des Wasserstoffspektrums um 0,05 % neben den damals bekannten Messwerten, beim Helium-Ion um 0,01 %. Doch dass die kleinen Korrekturen wegen der Mitbewegung des Kerns in beiden Fällen volle Übereinstimmung erbrachten, sicherte dem bohrschen Modell rasch große Anerkennung.

Quellen

  • Feynman, R.P.: „Vorlesungen über Physik. Quantenmechanik.“ Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH, München 2007.
  • Brown, L.M., Pais, A., Pippard, Sir B. (Hrsg.): "Twentieth Century Physics" Bd. 1, Inst. of Phys. Publishing Ltd. Bristol, 1995 (ISBN 0750303530)
  • Max Jammer: The Conceptual Development of Quantum Mechanics. MCGraw-Hill, NewYork 1966.

Einzelnachweise

  1. ↑ CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 18. Juni 2011. Wert für den Bohrschen Radius
  2. ↑ N. Bohr: On the Constitution of Atoms and Molecules. In: Philosophical Magazine. 26, 1913, S. 4.
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