Übergangsdipolmoment

Übergangsdipolmoment

Das Übergangsdipolmoment ist eine Größe aus der Spektroskopie. Es ist ein Maß für die Fähigkeit eines Atoms oder Moleküls, elektromagnetische Strahlung zu absorbieren, oder bei fluoreszierenden Stoffen auch zu emittieren. Mit der Absorption geht das Atom vom Grundzustand (oder allgemein von einem niedrigeren Zustand) in einen angeregten Zustand über. Diese Zustände unterscheiden sich durch die Verteilung der Elektronendichte. Je größer das Übergangsdipolmoment ist, desto größer ist die Fähigkeit, an die elektromagnetische Strahlung zu koppeln und sie zu absorbieren.

Das Übergangsdipolmoment ist eine vektorielle Größe. Das Quadrat seines Betrages ist proportional zur Wahrscheinlichkeit des Übergangs; die Richtung des Übergangsdipolmoment gibt an, wie das einfallende Licht polarisiert sein muss, damit eine Absorption stattfinden kann.

Physikalischer Hintergrund

Für ein neutrales Atom oder Molekül, das sich in einem homogenen elektrischen Feld E befindet, heben sich die Kräfte auf die einzelnen, verschieden geladenen Teile (positiver Kern und negativ geladene Elektronen) insgesamt zwar auf; dennoch wirken die Kräfte auf die Einzelteile an verschiedenen Orten, so dass u.a. ein Drehmoment resultieren kann. Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \phi das elektrostatische Potential, so enthält zum Beispiel der Energieoperator eines Wasserstoffatoms Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal H = \mathcal H^0 einen Störungsterm

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathcal H^1 = e\phi(\vec{r}_\text{Kern}) - e\phi(\vec{r}_\text{Elektron}) = e (\vec{r}_\text{Kern} - \vec{r}_\text{Elektron}) \cdot \vec{\nabla}\phi = - \vec{\mu}_e \cdot \vec{E} ,

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{\mu}_e = -e (\vec{r}_\text{Elektron} - \vec{r}_\text{Kern}) das elektrische Dipolmoment des Wasserstoffatoms ist.

Dies bedeutet, dass zwischen dem Dipolmoment und dem E-Feld eine Wechselwirkung stattfindet. Quantenmechanisch kann somit ein Übergang zwischen zwei Zuständen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\Psi_i\rangle und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\Psi_k\rangle stattfinden, wenn

Mik=Ψi|μe|Ψk0.

Dieses Nebendiagonalelement (oder Übergangselement) des Dipolmomentoperators wird Übergangsdipolmoment genannt.

Die Übergangswahrscheinlichkeit zwischen den beiden Zuständen ist dann proportional zu seinem Betragsquadrat:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): w(i \to k)\equiv A_{ik} \sim |\vec{M}_{ik} \cdot \vec{E}|^2 , bzw. für Emission in beliebige Raumrichtung Aik|Mik|2.

Obwohl die Absorptionsspektren klassisch schon so genau erforscht waren, dass etliche Auswahlregeln zwischen erlaubten und verbotenen Übergängen bekannt waren, so wurden sie erst durch die quantenmechanische Betrachtung erklärt. Hierzu sind zwei Anmerkungen angebracht:

  • Die Übergangswahrscheinlichkeit kann nicht alleine mit klassischen Größen, wie den Diplomomenten der beiden Zustände ausgedrückt werden. Vielmehr oszillieren die Zustände Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\Psi_i\rangle und |Ψk mit Phasen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): e^{i\omega_i t} bzw. eiωkt, für die es kein klassisches Analogon gibt.
  • Insbesondere handelt es sich beim Übergangsdipolmoment nicht um die Differenz der Dipolmomente der beiden Zustände, auch wenn der Name so missverstanden werden könnte. Es handelt sich vielmehr um ein Nebendiagonalelement des Operators.

Semiklassische Betrachtung

Die exakte Betrachtung der Wechselwirkung zwischen elektromagnetischer Strahlung und einem Atom oder Molekül erfordert den Formalismus der Quantenfeldtheorie. Im Folgenden wird deshalb zur Vereinfachung lediglich der atomare Anteil quantenmechanisch behandelt, elektromagnetische Felder werden klassisch betrachtet. Diese semiklassische Näherung liefert gute Ergebnisse, für eine höhere Genauigkeit müssen jedoch relativistische und quantenfeldtheoretische Korrekturen herangezogen werden.

Das elektrische Dipolmoment einer Ladungsverteilung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \rho(\vec{r}) ist klassisch als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{p}=\int \rho(\vec{r})\vec{r}d^3r definiert.

In der Quantenmechanik entspricht das Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \langle\vec{p}\rangle=e\langle\vec{r}\rangle=e\Psi^*\vec{r}\Psi (e: Elementarladung). Für einen gemischten Zustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\Psi\rangle = a_i|\Psi_i\rangle + a_k|\Psi_k\rangle heben sich die Phasen in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Psi_i^*\vec{r}\Psi_i und ΨkrΨk gerade weg, wohingegen das Übergangselement ΨirΨksin((ωik)t) oszilliert, wobei ωik durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Delta E_{ik} = |E_i - E_k| = \hbar\omega_{ik} gegeben ist. Der gemischte Zustand stellt also einen Hertzschen Dipol dar, der mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \omega_{ik} schwingt.

Die durchschnittlich emittierte Strahlungsleistung eines Hertzschen Dipols beträgt

P¯=23p2ω44πε0c3, wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p=qL die Amplitude des Dipolmoments ist.

Zeitlich gemittelt ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p^2=2|M_{ik}|^2 zu setzen. Man erhält für die beim Übergang |i|k emittierte Strahlungsleistung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \bar{P}_{ik}=\frac{4}{3}\frac{\omega_{ik}^4}{4\pi\varepsilon_0c^3}|M_{ik}|^2 .

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): N_i Atome im Zustand |i emittieren durchschnittlich beim Übergang Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |i\rangle \rightarrow |k\rangle mit ωik die Strahlungsleistung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \bar{P}=N_i\bar{P_{ik}} .

Die Wahrscheinlichkeit, dass in einem Zeitintervall von einer Sekunde in einem Atom im Zustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |i\rangle der Übergang Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |i\rangle \rightarrow |k\rangle unter Emission eines Photons stattfindet, ist gegeben durch den Einsteinkoeffizienten Aik. Mit diesem wird die Strahlungsleistung:

P¯=NiAikωik.

Vergleicht man diese Gleichung mit dem Ausdruck für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \bar{P}_{ik} , so folgt:

Aik=43ωik34πε0c3|Mik|2.

Die letzte Gleichung gibt also einen Zusammenhang zwischen dem Übergangsdipolmoment Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): M_{ik} und der Wahrscheinlichkeit für den entsprechenden Übergang Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): A_{ik} .

Zusammenhang mit Auswahlregeln

Die Auswahlregeln, ob ein Übergang erlaubt oder verboten ist, werden im Allgemeinen aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): M_{ik} = e \langle \Psi_i|\sum_{i}Z_i \vec{r_i}|\Psi_k\rangle hergeleitet, wobei die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): Z_i die Kernladungszahlen sind, bzw. für Elektronen -1 ist. Ein Übergang ist verboten, wenn das Integral verschwindet, sonst ist er erlaubt. Der genaue Wert des Übergangsdipolmoments ist dabei für die die Auswahlregeln uninteressant. Für idealisierte Modelle wie den harmonischen Oszillator, den starren Rotator, sowie das Wasserstoffatom (aber auch andere Atome und Dipolmoleküle) können zahlreiche verschwindende Matrixelemente durch einfache Symmetriebetrachtungen gefunden werden.

Als Beispiel: r dreht sein Vorzeichen bei Spiegelungen um, hat also negative Parität. Das Übergangselement verschwindet daher, wenn |i und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |k\rangle dieselbe Parität haben. Dies erklärt, warum für das Wasserstoff keine Dipol-Übergänge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |s\rangle \rightarrow |s\rangle , |p|p, |d|d, |d|s, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |f\rangle \rightarrow |p\rangle , … erlaubt sind, wohl aber Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |p\rangle \rightarrow |s\rangle , |d|p, |f|d, …

Ist ein Übergang nach dieser Regel verboten, so sind in höherer Ordnung der Störungstheorie immer noch elektrische Quadrupol- oder magnetische Dipolübergänge etc. möglich. So verschwinden für den Übergang |2s|1s des Wasserstoffatoms auch das elektrischen Quadrupolmoment (allerdings nicht aus Paritätsgründen, da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): x^2 gerade Parität hat) und alle höheren elektrischen Multipolmomente. Das magnetische Dipolmoment verschwindet dabei nur im nichtrelativistischen Grenzfall.

Literatur

  • Wolfgang Demtröder: Atoms, Molecules and Photons. An Introduction to Atomic-, Molecular- and Quantum Physics. Springer, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-20631-0.
  • J. Michael Hollas: Modern Spektroscopy. 4th Edition. John Wiley and Sons, Chichester 2004, ISBN 0-470-84416-7.
  • R. Stephen Berry, Stuart A. Rice, John Ross: Physical Chemistry. 2nd Edition. Oxford University Press, New York NY u. a. 2000, ISBN 0-19-510589-3.
  • Martin Klessinger, Josef Michl: Excited States and Photochemistry of Organic Molecules. VCH, New York NY u. a. 1995, ISBN 1-56081-588-4.
  • J. J. Sakurai: Advanced Quantum Mechanics. Addison-Wesley, Reading MA u. a. 1967, ISBN 0-201-06710-2 (Kapitel: Emission and Absorption of Photons by Atoms).