Hertzscher Dipol

Entdeckung der elektromagnetischen Wellen durch Heinrich Hertz: BRD-Briefmarke von 1983

Der Hertz'sche Dipol (nach Heinrich Hertz), auch Elementardipol genannt, ist die Idealisierung eines elektrischen Strahlers und dient der Berechnung der Abstrahlung realer Antennen sowie als Bezugsantenne, um die Richtwirkung einer Antenne als Gewinn zahlenmäßig zu erfassen.

Der Hertz'sche Dipol als Modell

Betrag der elektrischen Feldstärke $ E=|\mathbf {E} | $ (farbig) und der Poynting-Vektor (schwarze Pfeile) im Nahfeld des vertikal in der Bildebene liegenden Dipols. Blaue/rote Farben bedeuten ein nach unten/oben orientiertes elektrisches Feld.

Dem Hertz'schen Dipol als Modell liegt ein sinusförmig (mit Kreisfrequenz $ \omega $) variierendes elektrisches Dipolmoment zugrunde, in komplexer Schreibweise

$ \mathbf {p} \,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t} $.

Ein solches reines Dipolmoment ohne räumliche Ausdehnung entsteht im Grenzübergang oszillierender Ladungsträger mit verschwindender Schwingungsamplitude und divergierender Ladungsmenge.

Exakte Gleichungen

Für das magnetische und elektrische Feld am durch Abstand $ r $ und Richtung $ \mathbf {n} $ gegebenen Ort gilt:

$ \mathbf {H} ={\frac {\omega ^{3}}{4\pi c^{2}}}(\mathbf {n} \times \mathbf {p} )\left({\frac {1}{\rho }}+{\frac {\mathrm {i} }{\rho ^{2}}}\right)\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\rho -\omega t)} $       (tangential zu Kreisen um die Dipolachse)

$ \mathbf {E} ={\frac {\omega ^{3}}{4\pi \epsilon c^{3}}}\left[(\mathbf {n} \times \mathbf {p} )\times \mathbf {n} \,{\frac {1}{\rho }}+\left(3\mathbf {n} (\mathbf {n} \mathbf {p} )-\mathbf {p} \right)\left({\frac {1}{\rho ^{3}}}-{\frac {\mathrm {i} }{\rho ^{2}}}\right)\right]\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\rho -\omega t)} $   (in Meridionalebenen)

Darin ist

• $ c $ die Lichtgeschwindigkeit
• $ \rho ={\tfrac {\omega r}{c}} $
• $ \epsilon $ die Permittivität

Wellen-Ausbreitungsgeschwindigkeiten eines Hertzschen Dipols in Abhängigkeit vom Abstand zur Antenne.

Aus diesen Gleichungen für den Hertz'schen Dipol lassen sich, im Gegensatz zu allen anderen Antennentypen, die Ausbreitungsgeschwindigkeiten der Wellenfronten analytisch berechnen. Das Diagramm rechts zeigt die Phasengeschwindigkeit $ v_{p} $, die Gruppengeschwindigkeit $ v_{g} $ und die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Energie $ v_{e} $ in Einheiten der Lichtgeschwindigkeit $ c $ als Funktion der Entfernung zur Quelle in Einheiten der Kreis-Wellenzahl $ k={\tfrac {\omega }{c}}={\tfrac {2\pi }{\lambda }} $. Für große Abstände nähern sich alle diese Geschwindigkeiten der Lichtgeschwindigkeit. Im Nahfeld gibt nur $ v_{e} $ die Geschwindigkeit der Signalausbreitung richtig wieder.

Von der Fernfeldnäherung zum Antennendiagramm

Im Fernfeld sind die Terme mit $ \rho ^{-2} $ und $ \rho ^{-3} $ vernachlässigbar und die Felder entsprechend einfacher:

$ \mathbf {H} ={\frac {\omega ^{2}}{4\pi cr}}(\mathbf {n} \times \mathbf {p} )\,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\rho -\omega t)} $

$ \mathbf {E} ={\frac {\omega ^{2}}{4\pi \epsilon c^{2}r}}(\mathbf {n} \times \mathbf {p} )\times \mathbf {n} \,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\rho -\omega t)} $

Betrag der Feldstärke im Fernfeld eines vertikalen Hertz'schen Dipols in Kugelkoordinaten

Der Betrag des gemeinsamen Faktors $ \mathbf {n} \times \mathbf {p} $ enthält die Richtungsabhängigkeit der Feldstärke. Sie variiert wie $ \cos \varphi $ mit dem Winkel $ \varphi $ zur Äquatorebene und ist unabhängig vom Azimut (siehe nebenstehendes Antennendiagramm).

Der Poynting-Vektor $ {\vec {S}}={\vec {E}}\times {\vec {H}} $ gibt die Energieflussdichte an. Sein Betrag, zeitlich gemittelt, ist

$ \langle |{\vec {S}}((\varphi ,r)|\rangle ={\frac {1}{2}}\,{\frac {\omega ^{2}|\mathbf {p} |}{4\pi \epsilon c^{2}r}}\,{\frac {\omega ^{2}|\mathbf {p} |}{4\pi cr}}\,\cos ^{2}\varphi $

und bis auf den $ r^{2} $-Faktor gleich der Strahlungsintensität

$ I(\varphi )={\frac {\omega ^{4}|\mathbf {p} |^{2}}{32\pi ^{2}\epsilon c^{3}}}\,\cos ^{2}\varphi $.

Integriert über alle Richtungen ergibt sich die insgesamt abgestrahlte Leistung zu

$ P={\frac {\omega ^{4}|\mathbf {p} |^{2}}{12\pi \epsilon c^{3}}} $,

die isotrop verteilt eine Strahlungsintensität von

$ {\bar {I}}={\frac {\omega ^{4}|\mathbf {p} |^{2}}{48\pi ^{2}\epsilon c^{3}}} $

ergäbe. Das als Antennengewinn bezeichnete Verhältnis $ {\tfrac {I(0)}{\bar {I}}} $ beträgt damit also 1,5 (etwa 1,76 dBi).

Literatur

• John D. Jackson: Klassische Elektrodynamik. Gruyter, 2002, ISBN 3-11-016502-3
• Klaus Kark: Antennen und Strahlungsfelder : elektromagnetische Wellen auf Leitungen, im Freiraum und ihre Abstrahlung mit 79 Tabellen und 125 Übungsaufgaben. Vieweg, Wiesbaden 2006, ISBN 978-3-8348-0216-3

Weblinks

• Berechnungen und Animationen zum Hertz'schen Dipol