Hertzscher Dipol

Der Hertz'sche Dipol (nach Heinrich Hertz), auch Elementardipol genannt, ist die Idealisierung eines elektrischen Strahlers und dient der Berechnung der Abstrahlung realer Antennen sowie als Bezugsantenne, um die Richtwirkung einer Antenne als Gewinn zahlenmäßig zu erfassen.

Der Hertz'sche Dipol als Modell

Betrag der elektrischen Feldstärke $ E=|\mathbf {E} | $ (farbig) und der Poynting-Vektor (schwarze Pfeile) im Nahfeld des vertikal in der Bildebene liegenden Dipols. Blaue/rote Farben bedeuten ein nach unten/oben orientiertes elektrisches Feld.

Dem Hertz'schen Dipol als Modell liegt ein sinusförmig (mit Kreisfrequenz $ \omega $) variierendes elektrisches Dipolmoment zugrunde, in komplexer Schreibweise

$ \mathbf {p} \,\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \omega t} $.

Ein solches reines Dipolmoment ohne räumliche Ausdehnung entsteht im Grenzübergang oszillierender Ladungsträger mit verschwindender Schwingungsamplitude und divergierender Ladungsmenge.

Exakte Gleichungen

Für das magnetische und elektrische Feld am durch Abstand $ r $ und Richtung $ \mathbf {n} $ gegebenen Ort gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf H = \frac{\omega^3}{4\pi c^2}(\mathbf n \times \mathbf p) \left(\frac{1}{\rho}+\frac{\mathrm{i}}{\rho^2}\right) \,\mathrm{e}^{\mathrm{i} (\rho-\omega t)} (tangential zu Kreisen um die Dipolachse)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf E = \frac{\omega^3}{4\pi \epsilon c^3} \left[ (\mathbf n\times\mathbf p)\times\mathbf n\,\frac{1}{\rho} +\left(3\mathbf n(\mathbf n\mathbf p)-\mathbf p\right) \left(\frac{1}{\rho^3}-\frac{\mathrm i}{\rho^2}\right)\right] \,\mathrm{e}^{\mathrm{i} (\rho-\omega t)} (in Meridionalebenen)

Darin ist

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c die Lichtgeschwindigkeit
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \rho=\tfrac{\omega r}{c}
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \epsilon die Permittivität

Aus diesen Gleichungen für den Hertz'schen Dipol lassen sich, im Gegensatz zu allen anderen Antennentypen, die Ausbreitungsgeschwindigkeiten der Wellenfronten analytisch berechnen. Das Diagramm rechts zeigt die Phasengeschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v_p , die Gruppengeschwindigkeit $ v_{g} $ und die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Energie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v_e in Einheiten der Lichtgeschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c als Funktion der Entfernung zur Quelle in Einheiten der Kreis-Wellenzahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): k=\tfrac{\omega}{c}=\tfrac{2\pi}{\lambda} . Für große Abstände nähern sich alle diese Geschwindigkeiten der Lichtgeschwindigkeit. Im Nahfeld gibt nur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): v_e die Geschwindigkeit der Signalausbreitung richtig wieder.

Von der Fernfeldnäherung zum Antennendiagramm

Im Fernfeld sind die Terme mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \rho^{-2} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \rho^{-3} vernachlässigbar und die Felder entsprechend einfacher:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf H = \frac{\omega^2}{4\pi c r}(\mathbf n \times \mathbf p)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} (\rho-\omega t)}

$ \mathbf {E} ={\frac {\omega ^{2}}{4\pi \epsilon c^{2}r}}(\mathbf {n} \times \mathbf {p} )\times \mathbf {n} \,\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\rho -\omega t)} $

Der Betrag des gemeinsamen Faktors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \mathbf n \times \mathbf p enthält die Richtungsabhängigkeit der Feldstärke. Sie variiert wie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \cos\varphi mit dem Winkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varphi zur Äquatorebene und ist unabhängig vom Azimut (siehe nebenstehendes Antennendiagramm).

Der Poynting-Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{S}=\vec{E}\times\vec{H} gibt die Energieflussdichte an. Sein Betrag, zeitlich gemittelt, ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \langle|\vec{S}((\varphi,r)|\rangle =\frac{1}{2}\,\frac{\omega^2|\mathbf p|}{4\pi \epsilon c^2 r}\,\frac{\omega^2|\mathbf p|}{4\pi c r}\,\cos^2\varphi

und bis auf den Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r^2 -Faktor gleich der Strahlungsintensität

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): I(\varphi)=\frac{\omega^4|\mathbf p|^2}{32\pi^2\epsilon c^3}\,\cos^2\varphi .

Integriert über alle Richtungen ergibt sich die insgesamt abgestrahlte Leistung zu

$ P={\frac {\omega ^{4}|\mathbf {p} |^{2}}{12\pi \epsilon c^{3}}} $,

die isotrop verteilt eine Strahlungsintensität von

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \bar{I} = \frac{\omega^4|\mathbf p|^2}{48 \pi^2 \epsilon c^3}

ergäbe. Das als Antennengewinn bezeichnete Verhältnis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \tfrac{I(0)}{\bar{I}} beträgt damit also 1,5 (etwa 1,76 dBi).

Literatur

• John D. Jackson: Klassische Elektrodynamik. Gruyter, 2002, ISBN 3-11-016502-3
• Klaus Kark: Antennen und Strahlungsfelder : elektromagnetische Wellen auf Leitungen, im Freiraum und ihre Abstrahlung mit 79 Tabellen und 125 Übungsaufgaben. Vieweg, Wiesbaden 2006, ISBN 978-3-8348-0216-3

Weblinks

• Berechnungen und Animationen zum Hertz'schen Dipol