Hertzsche Pressung

Hertzsche Pressung zwischen zwei gekrümmten Körpern

Unter der Hertzschen Pressung (nach Heinrich Hertz) versteht man die größte Spannung, die in der Mitte der Berührungsfläche zweier elastischer Körper herrscht.

Werden zwei elastische Körper mit gewölbter Oberfläche (Zylinder oder Kugeln) gegeneinander gepresst, dann berühren sie sich im idealisierten Fall nur linien- oder punktförmig. Durch die Elastizität entsteht aber im realen Fall an der Berührungsstelle eine Abplattung und eine Berührungsfläche. Auf der Berührungsfläche entsteht in beiden Körpern eine charakteristische Spannungsverteilung (Flächenpressung), wobei die Spannung stets in der Mitte am höchsten ist.

Berühren sich zwei Kugeln, eine Kugel und eine Ebene oder zwei gekreuzte Zylinder, so entsteht eine Berührellipse. Bei Berührung zweier paralleler Zylinder oder eines Zylinders mit einer Ebene entsteht eine rechteckige, langgestreckte Berührungsfläche; man spricht hier auch von Walzenpressung.

Nach den Theorien des deutschen Physikers Heinrich Hertz können Größe und Form der Berührungsflächen sowie die Höhe und Verteilung der mechanischen Spannungen unter den Berührungsflächen berechnet werden. Nach Hertz wird die höchste Spannung, die in der Mitte der Berührungsfläche herrscht, auch Hertzsche Pressung genannt.

Die Höhe der Hertzschen Pressung hängt ab von der Kraft, mit der die beiden Körper aufeinander gepresst werden, von ihren Krümmungsradien und von ihrem Elastizitätsmodul.

Berechnung

Voraussetzungen für die Berechnung der Flächenpressung nach den Hertzschen Gleichungen sind

linear-elastische, homogene und isotrope Werkstoffe
Kontaktfläche eben und klein (gegenüber den Abmessungen der Körper)
Reibungsfreiheit, keine Schubspannungen in der Kontaktfläche
die Körper können als elastische Halbräume betrachtet werden

Allgemein

Die Hertzsche Pressung bei Kontakt gekrümmter Oberflächen berechnet sich nach folgender Gleichung:

p_{\max} = \frac{1}{ξ \cdot η} \cdot \sqrt[3]{\frac{3 F \cdot E^{2} \cdot (\sum k)^{2}}{{8 π}^{3} (1 - ν^{2})^{2}}}

wobei gilt:

$F$ -- Kraft zwischen den Körpern

$E$ -- E-Modul

Es gilt:

$\frac{1 - ν^{2}}{E} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1 - ν_{1}^{2}}{E_{1}} + \frac{1 - ν_{2}^{2}}{E_{2}})$

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$ξ, η$ -- Beiwerte nach Hertz für die Berührung gekrümmter Oberflächen

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Punktberührung Kugel - Kugel

Für den einfachen Berührungsfall Kugel - Kugel (oder Ebene) gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p_{\mathrm{max}} = \frac{1} {\pi} \cdot \sqrt[3]{\frac{1,5 \cdot F E^2}{{{r}^2 (1-{\nu}^2)^2}} }

und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r = \frac{r_1 r_2} {r_1 + r_2}

sowie $E = 2 \frac{E_{1} E_{2}}{E_{1} + E_{2}}$

mit

$r_{1, 2}$ -- Kugelradien Kugel 1, Kugel 2; Sonderfall Ebene: $r_{2} \to \infty$ und damit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r = r_1

Linienberührung Zylinder - Zylinder

Für den einfachen Berührungsfall Zylinder - Zylinder (oder Ebene) gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p_{\mathrm{max}} = \sqrt {\frac{F \cdot E}{2 \pi r l (1-{\nu}^2)} }

und $r = \frac{r_{1} r_{2}}{r_{1} + r_{2}}$

sowie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E = 2 \frac{E_1 E_2} {E_1 + E_2}

mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): l -- Berührungslänge der Zylinder

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$r_{1, 2}$ -- Zylinderradien Zylinder 1, Zylinder 2; Sonderfall Ebene: $r_{2} \to \infty$ und damit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): r = r_1

Siehe auch

Weblinks