Energieoperator

Der Energieoperator ist das mathematische Objekt, das in der Quantenmechanik die Messung der (kanonischen) Energie darstellt.

Definition

Einem physikalischen System (Teilchen) wird je nach Präparation ein Zustandsvektor $ \Psi $ zugewiesen. Solch ein Zustandsvektor ist Element eines Hilbertraumes H und die Observablen werden durch selbstadjungierte lineare Operatoren auf diesem Raum dargestellt.

Der Energieoperator ist dabei der Operator, der den Mittelwert (Erwartungswert) der Messergebnisse bei Messung der Energie des Teilchens im Raum beschreibt.

Ortsdarstellung

In der so genannten Ortsdarstellung ist der Hilbertraum H der Raum der quadratintegrablen Funktionen über dem Ortsraum. Ein Zustandsvektor $ \Psi $ wird in diesem Fall durch die Wellenfunktion $ \psi (\mathbf {x} ) $ beschrieben. Der Operator $ {\hat {\mathbf {E} }} $, der die obige Gleichung erfüllt ist im Falle der zeitunabhängigen Darstellung der Schrödinger-Gleichung schlicht als $ {\hat {\mathbf {E} }} $ gegeben, im Falle der zeitabhängigen Darstellung hingegen durch die partielle Ableitungen nach der Zeit, d.h. einen Differentialoperator gegeben mit dem Vorfaktor $ \textstyle -{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial t}} $ oder $ \textstyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}} $.

$ \langle {\hat {E}}(\mathbf {\hat {x}} )\rangle =\iiint {\overline {\psi (\mathbf {x,t} )}}{\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi (\mathbf {x,t} )\,d^{3}x.\equiv \langle \psi (\mathbf {x,t} )\vert {\hat {E}}\vert \psi (\mathbf {x,t} )\rangle $ (dreidimensional)

Impulsdarstellung

Im Impulsraum stellt sich der Energieoperator in der nichtrelativistischen Quantenmechanik dar, wie es aus der Beziehung zwischen Impuls und kinetischer Energie aus der klassischen Mechanik $ E={\tfrac {p^{2}}{2m}} $ zu erwarten ist:

$ {\hat {E}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}} $

Eigenschaften

• Energieoperator ist ein selbstadjungierter Operator, dessen Spektrum (Bereich der möglichen Messwerte) die gesamte reelle Achse umfasst.
• Das Spektrum des Energieoperators liefert das ein Eigenwertspektrum. Im Falle einer freien Teilchens ist es kontinuierlich, beim harmonischen Oszillator im Potentialtopf hingegen, ergeben sich diskrete Eigenwerte.
• Atomspektren oder gar Bandstrukturen von Halbleitern weisen in der Regel sowohl kontinuierliche wie diskrete Anteile auf.
• Man kann mithilfe der zeitabhängigen Störungsrechnung eine Energie-Zeit-Unschärferelation ableiten:

$ \Delta E\cdot \Delta t\geq {\frac {\hbar }{2}} $

Das ist keine Heisenbergsche Unschärferelation im eigentlichen Sinne zwischen nichtvertauschbaren Observablen, da es in der Quantenmechanik keinen Zeitoperator gibt.