Stefan-Boltzmann-Gesetz
Das Stefan-Boltzmann-Gesetz ist ein physikalisches Gesetz, das die thermisch abgestrahlte Leistung eines idealen Schwarzen Körpers in Abhängigkeit von seiner Temperatur angibt. Es ist benannt nach den Physikern Josef Stefan und Ludwig Boltzmann.
Stefan-Boltzmann-Gesetz
Jeder Körper, dessen Temperatur über dem absoluten Nullpunkt liegt, gibt Wärmestrahlung an seine Umgebung ab. Ein Schwarzer Körper ist ein idealisierter Körper, der alle auf ihn treffende Strahlung vollständig absorbieren kann (Absorptionsgrad = 1). Nach dem kirchhoffschen Strahlungsgesetz erreicht daher auch sein Emissionsgrad ε den Wert 1, und er sendet die bei der betreffenden Temperatur maximal mögliche thermische Leistung aus. Das Stefan-Boltzmann-Gesetz gibt an, welche Strahlungsleistung
mit der Stefan-Boltzmann-Konstanten
Der Wert dieser Naturkonstanten beträgt nach derzeitiger Messgenauigkeit[1]
Kreiszahl | Mathematische Konstante | |
Boltzmann-Konstante | Naturkonstante, nicht mit der Stefan-Boltzmann-Konstante | |
Plancksches Wirkungsquantum | Naturkonstante | |
Lichtgeschwindigkeit | Naturkonstante | |
Watt | Einheit der Leistung | |
Meter | Einheit der Länge | |
Kelvin | Einheit der absoluten Temperatur |
1- und 2-dimensionaler Fall
Das oben erwähnte Gesetz gilt für 3-dimensionale Körper, d. h. alle Längendimensionen
- für 1-dim. Körper
- mit
und
- für 2-dim. Körper
- mit
wobei
Herleitung aus der Thermodynamik
Das Stefan-Boltzmann-Gesetz wurde im Jahr 1879 von Josef Stefan experimentell entdeckt.[2] Boltzmann leitete 1884 dieses Strahlungsgesetz aus Gesetzen der Thermodynamik und der klassischen maxwellschen Elektrodynamik ab.[3] Ausgehend von einer der thermodynamischen Grundgleichungen
findet man unter Beachtung der Integrabilitätsbedingung den Ausdruck
S = Entropie, U = innere Energie, V = Volumen des abgeschlossenen Systems, p = Druck, T = Temperatur
(Erläuterung der Symbole siehe Thermodynamik)
Maxwell zeigte bereits 1873, dass sich der Strahlungsdruck als
schreiben lässt.
Setzt man diesen Ausdruck für
bzw. für die gesamte Energie
Die Integrationskonstante
In älterer Literatur wird die Größe
in Beziehung. In Zahlen ausgedrückt:
Herleitung aus der Quantenmechanik
Zur Herleitung geht man von der spektralen Strahlungsdichte eines Schwarzen Körpers aus und integriert diese sowohl über den gesamten Halbraum, in den das betrachtete Flächenelement abstrahlt, als auch über alle Frequenzen:
Gemäß dem Lambertschen Gesetz berücksichtigt dabei der Kosinusfaktor den Umstand, dass bei Abstrahlung in eine beliebige durch die Winkel
Da der Schwarze Körper grundsätzlich ein diffuser Strahler und seine spektrale Strahldichte daher richtungsunabhängig ist, ergibt das Integral, ausgeführt über den Halbraum, den Wert
zu beachten. Integriert man die so erhaltene spezifische Ausstrahlung
Für den 1- und 2-dimensionalen Fall sind hier zwei andere Integrale zu lösen. Es gilt:[5]
Somit folgt für
:
und daraus folgt
:
Diese Integrale werden z. B. durch geschickte Umformung oder mit Hilfe der Funktionentheorie gelöst.[6]
Nicht-Schwarze Strahler
Das Stefan-Boltzmann-Gesetz gilt in der obigen Form nur für Schwarze Strahler. Ist ein nicht-Schwarzer Strahler gegeben, der richtungsunabhängig strahlt (so genannter Lambert-Strahler) und dessen Emissionsgrad
die von diesem abgegebene Strahlungsleistung. Dabei ist der Emissionsgrad
Für einen Strahler, bei dem die Richtungsunabhängigkeit oder die Frequenzunabhängigkeit der Emission nicht gegeben ist, muss zur Bestimmung des hemisphärischen Gesamtemissionsgrads ε(T) das Integral individuell unter Zugrundelegung der betreffenden Gesetzmäßigkeiten berechnet werden. Viele Körper weichen nur wenig vom idealen Lambert-Strahler ab; wenn der Emissionsgrad in dem Frequenzbereich, in dem der Körper einen merklichen Anteil seiner Strahlungsleistung abgibt, nur wenig variiert, lässt sich das Stefan-Boltzmann-Gesetz zumindest näherungsweise anwenden.
Beispiel
Außerhalb der Erdatmosphäre in Sonnen-Erd-Abstand empfängt eine zur Sonne ausgerichtete Fläche eine Bestrahlungsstärke von S = 1,367 kW/m² (Solarkonstante). Man bestimme die Temperatur
Die von der Sonnenoberfläche abgegebene Strahlungsleistung P durchdringt eine konzentrisch um die Sonne gelegte Kugelschale des Radius D mit der Bestrahlungsstärke S, beträgt also insgesamt P = 4πD²·S = 3,845·1026 W (Leuchtkraft der Sonne). Nach dem Stefan-Boltzmann-Gesetz beträgt die Temperatur der abstrahlenden Oberfläche
Die so bestimmte Temperatur der Sonnenoberfläche heißt Effektivtemperatur. Es ist die Temperatur, die ein gleich großer Schwarzer Körper haben müsste, um dieselbe Strahlungsleistung abzugeben wie die Sonne.
Siehe auch
Das Stefan-Boltzmann-Gesetz macht eine Aussage über die von einem Schwarzen Körper auf allen Frequenzen insgesamt abgegebene Strahlungsleistung. Die Aufteilung auf einzelne Frequenzen bzw. Wellenlängen wird vom planckschen Strahlungsgesetz beschrieben.
Das wiensche Verschiebungsgesetz verbindet die Temperatur eines Schwarzen Körpers mit der am stärksten abgestrahlten Wellenlänge.
Weblinks
Einzelnachweise
- ↑ CODATA Recommended Values. National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 16. Juni 2011. Wert für
- ↑ J. Stefan: Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur, in: Sitzungsberichte der mathematisch-naturwissenschaftlichen Classe der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Bd. 79 (Wien 1879), S. 391–428.
- ↑ L. Boltzmann: Ableitung des Stefan’schen Gesetzes, betreffend die Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus der electromagnetischen Lichttheorie. In: Annalen der Physik und Chemie, Bd. 22, 1884, S. 291–294 doi:10.1002/andp.18842580616.
- ↑ I. P. Bazarov: Thermodynamik. Dt. Verl. der Wiss., Berlin 1964, S. 130.
- ↑ Planck’s law (Appendix) in der englischsprachigen Wikipedia, 30. Mai 2009 (as edited by DumZiBoT at 08:56).
- ↑ Stefan–Boltzmann law (Appendix) in der englischsprachigen Wikipedia, 30. März 2009 (as edited by JAnDbot at 17:59).