Stefan-Boltzmann-Gesetz

Das Stefan-Boltzmann-Gesetz ist ein physikalisches Gesetz, das die thermisch abgestrahlte Leistung eines idealen Schwarzen Körpers in Abhängigkeit von seiner Temperatur angibt. Es ist benannt nach den Physikern Josef Stefan und Ludwig Boltzmann.

Stefan-Boltzmann-Gesetz

Jeder Körper, dessen Temperatur über dem absoluten Nullpunkt liegt, gibt Wärmestrahlung an seine Umgebung ab. Ein Schwarzer Körper ist ein idealisierter Körper, der alle auf ihn treffende Strahlung vollständig absorbieren kann (Absorptionsgrad = 1). Nach dem kirchhoffschen Strahlungsgesetz erreicht daher auch sein Emissionsgrad ε den Wert 1, und er sendet die bei der betreffenden Temperatur maximal mögliche thermische Leistung aus. Das Stefan-Boltzmann-Gesetz gibt an, welche Strahlungsleistung $P$ ein Schwarzer Körper der Fläche $A$ und der absoluten Temperatur $T$ aussendet. Es lautet

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P = \sigma \cdot A\cdot T^4

mit der Stefan-Boltzmann-Konstanten $\sigma$. Die Strahlungsleistung eines schwarzen Körpers ist also proportional zur vierten Potenz seiner absoluten Temperatur: Eine Verdopplung der Temperatur bewirkt, dass die abgestrahlte Leistung um den Faktor 16 ansteigt. Dieses Gesetz wird deshalb auch als „Boltzmannsches T-hoch-vier-Gesetz“ bezeichnet.

Der Wert dieser Naturkonstanten beträgt nach derzeitiger Messgenauigkeit^[1]

$\sigma =\frac{2{\pi }^5{k}_{\mathrm{B}}^4}{15h^3{c}^2}=(\mathrm{5,670}373\pm \mathrm{0,000}021)\cdot {10}^{-8}\frac{\mathrm{W}}{{\mathrm{m}}^2{\mathrm{K}}^4}.$

1- und 2-dimensionaler Fall

Das oben erwähnte Gesetz gilt für 3-dimensionale Körper, d. h. alle Längendimensionen $L_i$ befinden sich im Bereich $\lambda \ll L_i$, d. h. sind sehr groß im Verhältnis zur betrachteten Wellenlänge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda . Falls eine Körperdimension Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): L_1 sehr klein ist im Vergleich zur Wellenlänge, wenn also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): L_1 \ll \lambda \ll L_2, L_3 gilt, so handelt es sich um einen 2-dimensionalen Körper (Fläche). Und falls zwei Körperdimensionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): L_1, L_2 sehr klein sind im Vergleich zur Wellenlänge, also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): L_1, L_2 \ll \lambda \ll L_3, handelt es sich um einen 1-dimensionalen Körper (Stab). In diesen Fällen können sich die Wellen im Körper nicht in drei Dimensionen ausbreiten, und somit ist die gesamte innere Energie $U$ kleiner. Es gilt

für 1-dim. Körper

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): U = a_1 \cdot T^2\cdot V

mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a_1 = \frac{\pi^2 k_\mathrm{B}^2}{3hc}

und

für 2-dim. Körper

$U=a_2\cdot T^3\cdot V$

mit

$a_2=\frac{4\pi k_{\mathrm{B}}^3\zeta (3)}{h^2{c}^2},$

wobei $\zeta (s)$ die riemannsche Zeta-Funktion bezeichnet und $\zeta (3)$ auch als Apéry-Konstante bezeichnet wird. Die abgestrahlte Energie eines Schwarzen Körpers ist im Allgemeinen also proportional zur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): (n+1) -ten Potenz seiner absoluten Temperatur, wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): n die Dimension des Körpers bezeichnet.

Herleitung aus der Thermodynamik

Das Stefan-Boltzmann-Gesetz wurde im Jahr 1879 von Josef Stefan experimentell entdeckt.^[2] Boltzmann leitete 1884 dieses Strahlungsgesetz aus Gesetzen der Thermodynamik und der klassischen maxwellschen Elektrodynamik ab.^[3] Ausgehend von einer der thermodynamischen Grundgleichungen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): T dS = dU + p dV

findet man unter Beachtung der Integrabilitätsbedingung den Ausdruck

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \left ( \frac{\partial U}{\partial V} \right )_T = T \left ( \frac{\partial p}{\partial T } \right )_V - p.

S = Entropie, U = innere Energie, V = Volumen des abgeschlossenen Systems, p = Druck, T = Temperatur

(Erläuterung der Symbole siehe Thermodynamik)

Maxwell zeigte bereits 1873, dass sich der Strahlungsdruck als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p = \frac{1}{3} u

schreiben lässt. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): u ist hierbei die Energiedichte der elektromagnetischen Strahlung. Adolfo Bartoli konnte ferner im Jahre 1876 die Existenz eines Strahlungsdruckes thermodynamisch rechtfertigen, indem er darlegte, dass im Falle der Nichtexistenz der zweite Hauptsatz der Thermodynamik verletzt würde. Der Vorfaktor 1/3 folgt allerdings nur aus elektrodynamischen Betrachtungen.

Setzt man diesen Ausdruck für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p in die vorhergehende Beziehung ein und berücksichtigt, dass die gesamte Energie in einem Volumen sich als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): U = u \cdot V schreiben lässt, so folgt nach Integration

$u=a\cdot T^4$

bzw. für die gesamte Energie

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): U = a T^4 V.

Die Integrationskonstante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a bleibt jedoch zunächst unbestimmt. Sie musste durch Experimente, wie zum Beispiel jene von Joseph Stefan, bestimmt werden. Dass es sich dabei um eine aus anderen Naturkonstanten zusammengesetzte Größe handelt, zeigte sich erst in der Quantenmechanik. Im Jahre 1900, also 21 Jahre nach dem Stefan-Boltzmann-Gesetz, entdeckte Max Planck das nach ihm benannte plancksche Strahlungsgesetz, aus dem das Stefan-Boltzmann-Gesetz einfach durch Integration über alle Richtungen und Wellenlängen folgt. Das plancksche Strahlungsgesetz konnte mit der Einführung des Wirkungsquantums Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): h auch erstmals die Stefan-Boltzmann-Konstante auf fundamentale Naturkonstanten zurückführen.

In älterer Literatur wird die Größe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a ebenfalls als Stefan-Boltzman-Konstante bezeichnet.^[4] Mit der durch CODATA unter diesem Namen geführten Konstanten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sigma steht Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a , die sogenannte Strahlungskonstante, allerdings über

$a=\frac{4\sigma }{c}=\frac{8{\pi }^5{k}_{\mathrm{B}}^4}{15c^3{h}^3}$

in Beziehung. In Zahlen ausgedrückt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a = 7{,}567 \cdot 10^{-16} \;\text{J}\,\text{m}^{-3}\,\text{K}^{-4}

Herleitung aus der Quantenmechanik

Zur Herleitung geht man von der spektralen Strahlungsdichte eines Schwarzen Körpers aus und integriert diese sowohl über den gesamten Halbraum, in den das betrachtete Flächenelement abstrahlt, als auch über alle Frequenzen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): M^o(T) = \int\limits_{\nu=0}^{\infty} \int\limits_{\text{Halbraum}} \frac{2 h\nu^{3}}{c^2} \frac{1}{e^{\left(\frac{h\nu}{k_\mathrm{B}T}\right)}-1} \, \cos\beta \, \sin\beta \, \mathrm{d}\beta \, \mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}\nu

Gemäß dem Lambertschen Gesetz berücksichtigt dabei der Kosinusfaktor den Umstand, dass bei Abstrahlung in eine beliebige durch die Winkel $\beta$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \phi gegebene Richtung nur die auf dieser Richtung senkrecht stehende Projektion $\cos \beta \mathrm{d}A$ der Fläche $\mathrm{d}A$ als effektive Strahlfläche auftritt. Der Term Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \sin\beta \, \mathrm{d}\beta \, \mathrm{d}\varphi ist ein Raumwinkelelement.

Da der Schwarze Körper grundsätzlich ein diffuser Strahler und seine spektrale Strahldichte daher richtungsunabhängig ist, ergibt das Integral, ausgeführt über den Halbraum, den Wert $\pi$. Für die Integration über die Frequenzen ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \int_{0}^{\infty} \frac{x^3}{e^{x}-1} \, \mathrm{d}x = \frac{\pi^4}{15}

zu beachten. Integriert man die so erhaltene spezifische Ausstrahlung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): M^o(T) noch über die abstrahlende Fläche, erhält man das Stefan-Boltzmann-Gesetz in der oben angegebenen Form.

Für den 1- und 2-dimensionalen Fall sind hier zwei andere Integrale zu lösen. Es gilt:^[5]

${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{e^x-1}dx=\zeta (n+1)\mathrm{\Gamma }(n+1)=\zeta (n+1)\cdot n!$

Somit folgt für

$n=1$: ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x}{e^x-1}\mathrm{d}x=\zeta (2)\cdot 1!=\frac{{\pi }^2}{6}$

und daraus folgt

$n=2$: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \int_{0}^{\infty} \frac{x^2}{e^{x}-1} \, \mathrm{d}x = \zeta(3)\cdot 2! = 2\cdot\zeta(3) \approx 2{,}40411.

Diese Integrale werden z. B. durch geschickte Umformung oder mit Hilfe der Funktionentheorie gelöst.^[6]

Nicht-Schwarze Strahler

Das Stefan-Boltzmann-Gesetz gilt in der obigen Form nur für Schwarze Strahler. Ist ein nicht-Schwarzer Strahler gegeben, der richtungsunabhängig strahlt (so genannter Lambert-Strahler) und dessen Emissionsgrad Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon(T) für alle Frequenzen denselben Wert hat (so genannter Grauer Körper), dann ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): P = \varepsilon(T) \cdot \sigma \cdot A \cdot T^4

die von diesem abgegebene Strahlungsleistung. Dabei ist der Emissionsgrad Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \varepsilon(T) der gewichtete gemittelte Emissionsgrad über alle Wellenlängen und die Wichtungsfunktion ist die Schwarzkörperenergieverteilung. $\epsilon (T)$ streut materialabhängig zwischen 0,012 und 0,98. Ist der Emissionsgrad wellenlängenabhängig, so ändert sich die Strahlungsverteilung nicht nur wegen der Änderung der Planck-Verteilung. Durch diese zusätzliche Temperaturabhängigkeit ist die gesamte Strahlungsleistung nicht mehr streng proportional zur vierten Potenz der absoluten Temperatur.

Für einen Strahler, bei dem die Richtungsunabhängigkeit oder die Frequenzunabhängigkeit der Emission nicht gegeben ist, muss zur Bestimmung des hemisphärischen Gesamtemissionsgrads ε(T) das Integral individuell unter Zugrundelegung der betreffenden Gesetzmäßigkeiten berechnet werden. Viele Körper weichen nur wenig vom idealen Lambert-Strahler ab; wenn der Emissionsgrad in dem Frequenzbereich, in dem der Körper einen merklichen Anteil seiner Strahlungsleistung abgibt, nur wenig variiert, lässt sich das Stefan-Boltzmann-Gesetz zumindest näherungsweise anwenden.

Beispiel

Außerhalb der Erdatmosphäre in Sonnen-Erd-Abstand empfängt eine zur Sonne ausgerichtete Fläche eine Bestrahlungsstärke von S = 1,367 kW/m² (Solarkonstante). Man bestimme die Temperatur $T$ der Sonnenoberfläche unter der Annahme, dass die Sonne in hinreichender Näherung ein Schwarzer Körper sei. Der Sonnenradius beträgt R = 6,963·10⁸ m, der mittlere Abstand zwischen Erde und Sonne ist D = 1,496·10¹¹ m.

Die von der Sonnenoberfläche abgegebene Strahlungsleistung P durchdringt eine konzentrisch um die Sonne gelegte Kugelschale des Radius D mit der Bestrahlungsstärke S, beträgt also insgesamt P = 4πD²·S = 3,845·10²⁶ W (Leuchtkraft der Sonne). Nach dem Stefan-Boltzmann-Gesetz beträgt die Temperatur der abstrahlenden Oberfläche

$T=\sqrt[4]{\frac{P}{\sigma A}}=\sqrt[4]{\frac{S\cdot 4\pi D^2}{\sigma \cdot 4\pi R^2}}=\sqrt[4]{\frac{S\cdot D^2}{\sigma \cdot R^2}}=\sqrt[4]{\frac{1367\cdot \mathrm{2,238}\cdot {10}^{22}}{\mathrm{5,670}\cdot {10}^{-8}\cdot \mathrm{4,844}\cdot {10}^{17}}}\mathrm{K}=5777\mathrm{K}.$

Die so bestimmte Temperatur der Sonnenoberfläche heißt Effektivtemperatur. Es ist die Temperatur, die ein gleich großer Schwarzer Körper haben müsste, um dieselbe Strahlungsleistung abzugeben wie die Sonne.

Siehe auch

Das Stefan-Boltzmann-Gesetz macht eine Aussage über die von einem Schwarzen Körper auf allen Frequenzen insgesamt abgegebene Strahlungsleistung. Die Aufteilung auf einzelne Frequenzen bzw. Wellenlängen wird vom planckschen Strahlungsgesetz beschrieben.

Das wiensche Verschiebungsgesetz verbindet die Temperatur eines Schwarzen Körpers mit der am stärksten abgestrahlten Wellenlänge.

Weblinks

Einzelnachweise