Stefan-Boltzmann-Gesetz

Das Stefan-Boltzmann-Gesetz ist ein physikalisches Gesetz, das die thermisch abgestrahlte Leistung eines idealen Schwarzen Körpers in Abhängigkeit von seiner Temperatur angibt. Es ist benannt nach den Physikern Josef Stefan und Ludwig Boltzmann.

Stefan-Boltzmann-Gesetz

Jeder Körper, dessen Temperatur über dem absoluten Nullpunkt liegt, gibt Wärmestrahlung an seine Umgebung ab. Ein Schwarzer Körper ist ein idealisierter Körper, der alle auf ihn treffende Strahlung vollständig absorbieren kann (Absorptionsgrad = 1). Nach dem kirchhoffschen Strahlungsgesetz erreicht daher auch sein Emissionsgrad ε den Wert 1, und er sendet die bei der betreffenden Temperatur maximal mögliche thermische Leistung aus. Das Stefan-Boltzmann-Gesetz gibt an, welche Strahlungsleistung $ P $ ein Schwarzer Körper der Fläche $ A $ und der absoluten Temperatur $ T $ aussendet. Es lautet

$ P=\sigma \cdot A\cdot T^{4} $

mit der Stefan-Boltzmann-Konstanten $ \sigma $. Die Strahlungsleistung eines schwarzen Körpers ist also proportional zur vierten Potenz seiner absoluten Temperatur: Eine Verdopplung der Temperatur bewirkt, dass die abgestrahlte Leistung um den Faktor 16 ansteigt. Dieses Gesetz wird deshalb auch als „Boltzmannsches T-hoch-vier-Gesetz“ bezeichnet.

Der Wert dieser Naturkonstanten beträgt nach derzeitiger Messgenauigkeit^[1]

$ \sigma ={\frac {2\pi ^{5}k_{\mathrm {B} }^{4}}{15h^{3}c^{2}}}=(5{,}670\,373\pm 0{,}000\,021)\,\cdot \,10^{-8}\,\mathrm {\frac {W}{m^{2}K^{4}}} . $

1- und 2-dimensionaler Fall

Das oben erwähnte Gesetz gilt für 3-dimensionale Körper, d. h. alle Längendimensionen $ L_{i} $ befinden sich im Bereich $ \lambda \ll L_{i} $, d. h. sind sehr groß im Verhältnis zur betrachteten Wellenlänge $ \lambda $. Falls eine Körperdimension $ L_{1} $ sehr klein ist im Vergleich zur Wellenlänge, wenn also $ L_{1}\ll \lambda \ll L_{2},L_{3} $ gilt, so handelt es sich um einen 2-dimensionalen Körper (Fläche). Und falls zwei Körperdimensionen $ L_{1},L_{2} $ sehr klein sind im Vergleich zur Wellenlänge, also $ L_{1},L_{2}\ll \lambda \ll L_{3}, $ handelt es sich um einen 1-dimensionalen Körper (Stab). In diesen Fällen können sich die Wellen im Körper nicht in drei Dimensionen ausbreiten, und somit ist die gesamte innere Energie $ U $ kleiner. Es gilt

für 1-dim. Körper

$ U=a_{1}\cdot T^{2}\cdot V $

mit

$ a_{1}={\frac {\pi ^{2}k_{\mathrm {B} }^{2}}{3hc}} $

und

für 2-dim. Körper

$ U=a_{2}\cdot T^{3}\cdot V $

mit

$ a_{2}={\frac {4\pi k_{\mathrm {B} }^{3}\zeta (3)}{h^{2}c^{2}}}, $

wobei $ \zeta (s) $ die riemannsche Zeta-Funktion bezeichnet und $ \zeta (3) $ auch als Apéry-Konstante bezeichnet wird. Die abgestrahlte Energie eines Schwarzen Körpers ist im Allgemeinen also proportional zur $ (n+1) $-ten Potenz seiner absoluten Temperatur, wobei $ n $ die Dimension des Körpers bezeichnet.

Herleitung aus der Thermodynamik

Das Stefan-Boltzmann-Gesetz wurde im Jahr 1879 von Josef Stefan experimentell entdeckt.^[2] Boltzmann leitete 1884 dieses Strahlungsgesetz aus Gesetzen der Thermodynamik und der klassischen maxwellschen Elektrodynamik ab.^[3] Ausgehend von einer der thermodynamischen Grundgleichungen

$ TdS=dU+pdV $

findet man unter Beachtung der Integrabilitätsbedingung den Ausdruck

$ \left({\frac {\partial U}{\partial V}}\right)_{T}=T\left({\frac {\partial p}{\partial T}}\right)_{V}-p. $

S = Entropie, U = innere Energie, V = Volumen des abgeschlossenen Systems, p = Druck, T = Temperatur

(Erläuterung der Symbole siehe Thermodynamik)

Maxwell zeigte bereits 1873, dass sich der Strahlungsdruck als

$ p={\frac {1}{3}}u $

schreiben lässt. $ u $ ist hierbei die Energiedichte der elektromagnetischen Strahlung. Adolfo Bartoli konnte ferner im Jahre 1876 die Existenz eines Strahlungsdruckes thermodynamisch rechtfertigen, indem er darlegte, dass im Falle der Nichtexistenz der zweite Hauptsatz der Thermodynamik verletzt würde. Der Vorfaktor 1/3 folgt allerdings nur aus elektrodynamischen Betrachtungen.

Setzt man diesen Ausdruck für $ p $ in die vorhergehende Beziehung ein und berücksichtigt, dass die gesamte Energie in einem Volumen sich als $ U=u\cdot V $ schreiben lässt, so folgt nach Integration

$ u=a\cdot T^{4} $

bzw. für die gesamte Energie

$ U=aT^{4}V. $

Die Integrationskonstante $ a $ bleibt jedoch zunächst unbestimmt. Sie musste durch Experimente, wie zum Beispiel jene von Joseph Stefan, bestimmt werden. Dass es sich dabei um eine aus anderen Naturkonstanten zusammengesetzte Größe handelt, zeigte sich erst in der Quantenmechanik. Im Jahre 1900, also 21 Jahre nach dem Stefan-Boltzmann-Gesetz, entdeckte Max Planck das nach ihm benannte plancksche Strahlungsgesetz, aus dem das Stefan-Boltzmann-Gesetz einfach durch Integration über alle Richtungen und Wellenlängen folgt. Das plancksche Strahlungsgesetz konnte mit der Einführung des Wirkungsquantums $ h $ auch erstmals die Stefan-Boltzmann-Konstante auf fundamentale Naturkonstanten zurückführen.

In älterer Literatur wird die Größe $ a $ ebenfalls als Stefan-Boltzman-Konstante bezeichnet.^[4] Mit der durch CODATA unter diesem Namen geführten Konstanten $ \sigma $ steht $ a $, die sogenannte Strahlungskonstante, allerdings über

$ a={\frac {4\sigma }{c}}={\frac {8\pi ^{5}k_{\mathrm {B} }^{4}}{15c^{3}h^{3}}} $

in Beziehung. In Zahlen ausgedrückt:

$ a=7{,}567\cdot 10^{-16}\;{\text{J}}\,{\text{m}}^{-3}\,{\text{K}}^{-4} $

Herleitung aus der Quantenmechanik

Zur Herleitung geht man von der spektralen Strahlungsdichte eines Schwarzen Körpers aus und integriert diese sowohl über den gesamten Halbraum, in den das betrachtete Flächenelement abstrahlt, als auch über alle Frequenzen:

$ M^{o}(T)=\int \limits _{\nu =0}^{\infty }\int \limits _{\text{Halbraum}}{\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\left({\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)}-1}}\,\cos \beta \,\sin \beta \,\mathrm {d} \beta \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} \nu $

Gemäß dem Lambertschen Gesetz berücksichtigt dabei der Kosinusfaktor den Umstand, dass bei Abstrahlung in eine beliebige durch die Winkel $ \beta $ und $ \phi $ gegebene Richtung nur die auf dieser Richtung senkrecht stehende Projektion $ \cos \beta \,\mathrm {d} A $ der Fläche $ \mathrm {d} A $ als effektive Strahlfläche auftritt. Der Term $ \sin \beta \,\mathrm {d} \beta \,\mathrm {d} \varphi $ ist ein Raumwinkelelement.

Da der Schwarze Körper grundsätzlich ein diffuser Strahler und seine spektrale Strahldichte daher richtungsunabhängig ist, ergibt das Integral, ausgeführt über den Halbraum, den Wert $ \pi $. Für die Integration über die Frequenzen ist

$ \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi ^{4}}{15}} $

zu beachten. Integriert man die so erhaltene spezifische Ausstrahlung $ M^{o}(T) $ noch über die abstrahlende Fläche, erhält man das Stefan-Boltzmann-Gesetz in der oben angegebenen Form.

Für den 1- und 2-dimensionalen Fall sind hier zwei andere Integrale zu lösen. Es gilt:^[5]

$ \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{e^{x}-1}}\,dx=\zeta (n+1)\Gamma {\left(n+1\right)}=\zeta (n+1)\cdot n! $

Somit folgt für

$ n=1 $: $ \int _{0}^{\infty }{\frac {x}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x=\zeta (2)\cdot 1!={\frac {\pi ^{2}}{6}} $

und daraus folgt

$ n=2 $: $ \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x=\zeta (3)\cdot 2!=2\cdot \zeta (3)\approx 2{,}40411. $

Diese Integrale werden z. B. durch geschickte Umformung oder mit Hilfe der Funktionentheorie gelöst.^[6]

Nicht-Schwarze Strahler

Das Stefan-Boltzmann-Gesetz gilt in der obigen Form nur für Schwarze Strahler. Ist ein nicht-Schwarzer Strahler gegeben, der richtungsunabhängig strahlt (so genannter Lambert-Strahler) und dessen Emissionsgrad $ \varepsilon (T) $ für alle Frequenzen denselben Wert hat (so genannter Grauer Körper), dann ist

$ P=\varepsilon (T)\cdot \sigma \cdot A\cdot T^{4} $

die von diesem abgegebene Strahlungsleistung. Dabei ist der Emissionsgrad $ \varepsilon (T) $ der gewichtete gemittelte Emissionsgrad über alle Wellenlängen und die Wichtungsfunktion ist die Schwarzkörperenergieverteilung. $ \varepsilon (T) $ streut materialabhängig zwischen 0,012 und 0,98. Ist der Emissionsgrad wellenlängenabhängig, so ändert sich die Strahlungsverteilung nicht nur wegen der Änderung der Planck-Verteilung. Durch diese zusätzliche Temperaturabhängigkeit ist die gesamte Strahlungsleistung nicht mehr streng proportional zur vierten Potenz der absoluten Temperatur.

Für einen Strahler, bei dem die Richtungsunabhängigkeit oder die Frequenzunabhängigkeit der Emission nicht gegeben ist, muss zur Bestimmung des hemisphärischen Gesamtemissionsgrads ε(T) das Integral individuell unter Zugrundelegung der betreffenden Gesetzmäßigkeiten berechnet werden. Viele Körper weichen nur wenig vom idealen Lambert-Strahler ab; wenn der Emissionsgrad in dem Frequenzbereich, in dem der Körper einen merklichen Anteil seiner Strahlungsleistung abgibt, nur wenig variiert, lässt sich das Stefan-Boltzmann-Gesetz zumindest näherungsweise anwenden.

Beispiel

Vergleich des Abstrahlverhaltens der Sonne und eines Schwarzen Körpers. Die effektive Temperatur der Sonne beträgt 5777 K.

Außerhalb der Erdatmosphäre in Sonnen-Erd-Abstand empfängt eine zur Sonne ausgerichtete Fläche eine Bestrahlungsstärke von S = 1,367 kW/m² (Solarkonstante). Man bestimme die Temperatur $ T $ der Sonnenoberfläche unter der Annahme, dass die Sonne in hinreichender Näherung ein Schwarzer Körper sei. Der Sonnenradius beträgt R = 6,963·10⁸ m, der mittlere Abstand zwischen Erde und Sonne ist D = 1,496·10¹¹ m.

Die von der Sonnenoberfläche abgegebene Strahlungsleistung P durchdringt eine konzentrisch um die Sonne gelegte Kugelschale des Radius D mit der Bestrahlungsstärke S, beträgt also insgesamt P = 4πD²·S = 3,845·10²⁶ W (Leuchtkraft der Sonne). Nach dem Stefan-Boltzmann-Gesetz beträgt die Temperatur der abstrahlenden Oberfläche

$ T={\sqrt[{4}]{\frac {P}{\sigma A}}}={\sqrt[{4}]{\frac {S\cdot 4\pi D^{2}}{\sigma \cdot 4\pi R^{2}}}}={\sqrt[{4}]{\frac {S\cdot D^{2}}{\sigma \cdot R^{2}}}}={\sqrt[{4}]{\frac {1\,367\cdot 2{,}238\cdot 10^{22}}{5{,}670\cdot 10^{-8}\,\cdot \,4{,}844\cdot 10^{17}}}}\;\mathrm {K} =5\,777\,\mathrm {K} . $

Die so bestimmte Temperatur der Sonnenoberfläche heißt Effektivtemperatur. Es ist die Temperatur, die ein gleich großer Schwarzer Körper haben müsste, um dieselbe Strahlungsleistung abzugeben wie die Sonne.

Siehe auch

Das Stefan-Boltzmann-Gesetz macht eine Aussage über die von einem Schwarzen Körper auf allen Frequenzen insgesamt abgegebene Strahlungsleistung. Die Aufteilung auf einzelne Frequenzen bzw. Wellenlängen wird vom planckschen Strahlungsgesetz beschrieben.

Das wiensche Verschiebungsgesetz verbindet die Temperatur eines Schwarzen Körpers mit der am stärksten abgestrahlten Wellenlänge.

Weblinks

Wikibooks: Formelsammlung plancksches Strahlungsgesetz – Lern- und Lehrmaterialien

Einzelnachweise