Isentropenexponent

Spezialfälle der polytropen Zustandsänderung; n = 0: isobar, n = 1: isotherm, n = κ: isentrop, n = ∞: isochor

Der Isentropenexponent (Formelzeichen: κ) (auch Adiabatenindex) ist der Exponent in der Gleichung

\ pV^{\kappa }=\mathrm {const.}

für die isentrope Zustandsänderung eines idealen Gases.

Da eine Zustandsänderung isentrop ist, wenn sie adiabat und reversibel verläuft, wie das z. B. bei großräumigen Luftströmungen angenähert der Fall ist, nennt man den Exponenten in der Meteorologie auch oft Adiabatenexponent, Adiabatenkoeffizient oder Adiabatenindex. In der Technik ist in der Regel eine adiabate Zustandsänderung (z. B. in einer Dampfturbine) nicht isentrop, da Reibungs-, Drossel- und Stoßvorgänge Entropie produzieren (vergl. „Adiabate Maschine“ und „Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik“). Diese Zustandsänderungen lassen sich näherungsweise durch eine Polytrope mit einem variablen Polytropenexponenten n beschreiben.

Die Isentrope ist der Spezialfall einer Polytrope mit $n=\kappa$ (vergl. Bild).

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Die temperaturabhängigen Isentropenexponenten in der Tabelle sind in keiner Weise belegt. Eine Quelle ist dringend nötig.

Isentropenexponenten für Gase bei Normaldruck^[1]
Temp	Gas	κ	Temp	Gas	κ	Temp	Gas	κ
–200 °C	H₂^[2]	1,65	0 °C	Trockene Luft	1,40	–180 °C	N₂	1,43
–73 °C		1,44	400 °C		1,37	20 °C		1,40
20 °C		1,41	1000 °C		1,32	500 °C		1,36
1000 °C		1,36	2000 °C		1,30	1000 °C		1,32
2000 °C		1,31	-55 °C	CO₂	1,35	2000 °C		1,30
-250 °C bis 1500 °C	He	1,67	20 °C		1,29	–73 °C	CH₄	1,34
			400 °C		1,24	20 °C		1,31
			1000 °C		1,18	350 °C		1,18
100 °C	H₂O	1,33	2000 °C		1,16	1000 °C		1,11
200 °C		1,32	20 °C	CO	1,40	20 °C	NH₃	1,29
500 °C		1,28	1000°C		1,32	450 °C	NH₃	1,20
1000 °C		1,23	2000 °C		1,29	0 °C bis 500 °C	Ne, Ar Xe, Kr	1,67
2000 °C		1,19	–180 °C	O₂	1,44	0 °C bis 500 °C	Ne, Ar Xe, Kr	1,67
–180 °C	Ar	1,71	20 °C		1,40	20 °C	SO₂	1,28
20 °C	NO	1,37	400 °C		1,34	250 °C	SO₂	1,22
20 °C	N₂O	1,32	1000 °C		1,31	15 °C	C₂H₆	1,20
20 °C	NO₂	1,28	2000 °C		1,28	15 °C	C₃H₈	1,13

Der Isentropenexponent ist definiert als das Verhältnis der Wärmekapazität bei konstantem Druck (c_p) zur Wärmekapazität bei konstantem Volumen (c_V) und entspricht der temperaturbedingten Gasausdehnung. Der Wert hängt vom Freiheitsgrad der Gasteilchen ab. Der Freiheitsgrad setzt sich zusammen aus Translations-, Rotations- und Schwingungsfreiheitsgrad. Translation ist bei allen Temperaturen angeregt, Rotation erst ab mittleren, Vibration erst bei höheren Temperaturen. Anders gesagt: mit abnehmender Temperatur „frieren“ immer mehr Freiheitsgrade ein, insbesondere Schwingungsfreiheitsgrade. Deshalb weist die Wärmekapazität von Gasen eine starke Temperaturabhängigkeit auf. Da die Differenz zwischen isobarer und isochorer Wärmekapazität über einen grossen Temperaturbereich konstant bleibt, ist auch der Isentropenexponent stark temperaturabhängig.

\kappa ={\frac {c_{p}}{c_{V}}}={\frac {f+2}{f}}

Die Zahl der Freiheitsgrade eines Gasmoleküls ist von der Geometrie und der Bindungsstärke der Atome abhängig.

$ f=3N-r $

Der Freiheitsgrad eines Körpers gibt an, wieviele Bewegungsmöglichkeiten dieser Körper innerhalb eines Koordinatensystems hat. Der einzelne Massenpunkt hat 3 Freiheitsgrade, er kann sich entlang der x-, y- und z-Achse im Raum bewegen. Er hat keine Rotationsfreiheitsgrade, denn ein Punkt kann sich nicht drehen. Ein System von N Punkten hat 3N Freiheitsgrade. Liegen zwischen den Punkten r starre Bindungen vor, so reduziert sich die Anzahl der Freiheitsgrade auf 3N - r.^[3]

Der Isentropenexponent von trockener Luft beträgt unter Normalbedingungen κ = 1,402 und liegt damit nahe bei 1,4, was dem theoretischen Wert für 3 Translations- und 2 Rotationsfreiheitsgrade (bei zweiatomigen Molekülen ist in diesem Sinne keine Rotation um die Verbindungsachse möglich) entspricht. Schwingungszustände werden also kaum angeregt. Bei viel höheren Temperaturen kommt es neben den Molekülschwingungen durch Dissoziations- und Ionisationsvorgänge zu noch mehr Freiheitsgraden. Bei feuchter Luft kann es bei Expansion z. B. infolge der Abkühlung zum Wasserausfall kommen: durch die freiwerdende Kondensationswärme wird der Exponent niedriger.

Messen lässt sich der Isentropenexponent mit Hilfe des Rüchardt-Experiments.

Idealisierte molare Wärmekapazität $C_{V},C_{p},\kappa$ und Freiheitsgrade $$ f $$ von Gasen
Molekül	$C_{V}$	$C_{p}$	$\kappa ={\tfrac {C_{p}}{C_{v}}}$	$$ f=3N-r $$	Beispiele
1-atomige Gase	${\frac {3}{2}}\cdot R$	${\frac {5}{2}}\cdot R$	${\frac {5}{3}}=1{,}{\overline {6}}$	3=3*1-0	Helium, Argon
2-atomige Gase	${\frac {5}{2}}\cdot R$	${\frac {7}{2}}\cdot R$	${\frac {7}{5}}=1{,}4$	5=3*2-1	Stickstoff, Sauerstoff, Wasserstoff, Kohlenmonoxid
3-atomige Gase, starres Molekül	${\frac {6}{2}}\cdot R$	${\frac {8}{2}}\cdot R$	${\frac {8}{6}}=1{,}{\overline {3}}$	6=3*3-3	Wasserdampf, Lachgas
3-atomige Gase, nicht starres Molekül	${\frac {7}{2}}\cdot R$	${\frac {9}{2}}\cdot R$	${\frac {9}{7}}\approx 1{,}29$	7=3*3-2	Kohlendioxid, Schwefeldioxid, Stickstoffdioxid

R = C_p - C_V; (Universelle Gaskonstante)

Literatur

Alfred Böge: Handbuch Maschinenbau. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-1025-0.

Quellen

↑ NIST Standard Reference Database Number 69
↑ Engineering Toolbox: Hochtemperatur-cp-Werte
↑ dtv-Atlas zur Physik; Mechanik, Akustik, Thermodynamik, Optik. Band 1, München 1987ff, ISBN 3-423-03226-X, S. 49 und 109.

[1] NIST Standard Reference Database Number 69

[2] Engineering Toolbox: Hochtemperatur-cp-Werte

[3] dtv-Atlas zur Physik; Mechanik, Akustik, Thermodynamik, Optik. Band 1, München 1987ff, ISBN 3-423-03226-X, S. 49 und 109.

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