Masse (Physik)

Die Masse ist eine Eigenschaft der Materie und eine physikalische Grundgröße. Sie wird gemäß dem internationalen Einheitensystem in der Einheit Kilogramm angegeben. Das Formelzeichen ist meist $ m. $ Die Masse ist eine extensive Größe.

Die Gravitation eines Körpers ist proportional zu seiner Masse. Zugleich bestimmt seine Masse die Trägheit, mit der sein Bewegungszustand auf Kräfte reagiert. Diese doppelte Rolle der Masse ist Inhalt des Äquivalenzprinzips. Außerdem ist die Masse eines Körpers in seinem Ruhesystem äquivalent zu seiner Energie, d. h. die beiden Größen unterscheiden sich nur durch den konstanten Faktor $ c^{2} $.

Die Masse wird außerhalb der Physik auch als Gewicht bezeichnet. Dabei sollte beachtet werden, dass dieses Wort auch für die verwandten, aber nicht identischen Bedeutungen Gewichtskraft, Wägewert oder Gewichtsstück stehen kann.

Definition (träge und schwere Masse)

Mit der Masse eines Körpers sind drei klassische Eigenschaften verbunden:^[1]

1. Trägheit: Der Körper setzt jeder Änderung von Betrag und/oder Richtung seiner Geschwindigkeit einen Widerstand entgegen – er zeigt eine zu seiner Masse proportionale Trägheit.
2. Passive Gravitationsladung: Auf den Körper wirkt in einem Gravitationsfeld (Schwerefeld) eine zu seiner Masse proportionale Kraft.
3. Aktive Gravitationsladung: Der Körper erzeugt ein Gravitationsfeld, dessen Stärke zu seiner Masse proportional ist.

Um die erste Eigenschaft hervorzuheben, bezeichnet man die Masse auch als träge Masse, für die zweite und/oder dritte Eigenschaft als schwere Masse. Jedoch wurde bisher in Messungen, deren Genauigkeit auf zwölf signifikante Dezimalstellen gesteigert werden konnte, keinerlei Differenz zwischen träger und schwerer Masse festgestellt. Die Annahme, dass es sich um ein und dieselbe physikalische Größe handelt, gehört zum Äquivalenzprinzip der Physik, aus dem Albert Einstein die Allgemeine Relativitätstheorie entwickelt hat.

Die SI-Basiseinheit der Masse, das Kilogramm (kg), wird über eine Referenzmasse definiert: Ein Kilogramm ist die Masse des internationalen Kilogrammprototyps.

Messung

Direkte Massenbestimmung

Die sogenannte direkte Messung der Masse erfolgt am ruhenden Körper durch Vergleich mit einer Referenzmasse. Zwei Massen sind gleich, wenn sie im selben Schwerefeld die gleiche Gewichtskraft haben. Dies kann man mit einer Balkenwaage überprüfen. Dabei ist die Stärke des Schwerefeldes unerheblich, es muss nur von Null verschieden und an den Orten der beiden Körper gleich sein. Zur Festlegung der Masseneinheit siehe Urkilogramm. Das Ergebnis einer solchen Messung wird auch als schwere Masse des Körpers bezeichnet.

Indirekte Massenbestimmung

Die Masse kann über Kräfte und Beschleunigungen bestimmt werden. In der newtonschen Mechanik ist jede Bewegungsänderung proportional zu der Kraft, welche die Bewegungsänderung verursacht hat (s. u.: $ {\vec {F}}=m\cdot {\vec {a}} $). Masse ist somit die Proportionalitätskonstante zwischen Kraft und Beschleunigung:

$ m={\frac {|{\vec {F}}|}{|{\vec {a}}|}} $

Die Beschleunigung $ {\vec {a}} $ gibt dabei die durch eine Kraft $ {\vec {F}} $ verursachte Geschwindigkeitsänderung an. Eine so bestimmte Masse wird auch als träge Masse bezeichnet.

Beispiel 1 (zur trägen Masse): Wird ein Körper durch die konstante Kraft $ F=6\,\mathrm {N} $ innerhalb des Zeitintervalls $ \Delta t=2\,\mathrm {s} $ um $ \Delta v=3\,\mathrm {\tfrac {m}{s}} $ schneller, so ist seine Beschleunigung

$ a={\frac {\Delta v}{\Delta t}}={\frac {3\,\mathrm {\frac {m}{s}} }{2\,\mathrm {s} }}=1{,}5\,\mathrm {\frac {m}{s^{2}}} . $

Seine Masse beträgt dann

$ m={\frac {F}{a}}={\frac {6\,\mathrm {N} }{1{,}5\,\mathrm {\frac {m}{s^{2}}} }}=4\,\mathrm {kg} . $

Beispiel 2 (zur schweren Masse): Durch die Gravitation der Erde werden frei fallende Körper mit

$ a=9{,}81\,\mathrm {\frac {m}{s^{2}}} \qquad \left(={\text{Ortsfaktor }}g=9{,}81\,\mathrm {\frac {N}{kg}} \right) $

beschleunigt. Ein Körper, der auf der Erdoberfläche mit der Gewichtskraft $ F=6\,\mathrm {N} $ angezogen wird, hat die Masse

$ m={\frac {F}{a}}={\frac {6\,\mathrm {N} }{9{,}81\,\mathrm {\frac {m}{s^{2}}} }}=0{,}612\,\mathrm {kg} . $

Die träge Masse lässt sich zum Beispiel durch die Kraft messen, die erforderlich ist, um einen Körper eine Kreisbahn mit konstanter Bahngeschwindigkeit durchlaufen zu lassen (Zentripetalkraft). Die durch die Kraft bewirkte Beschleunigung ändert die Richtung der Geschwindigkeit (auf der Kreisbahn), aber nicht den Geschwindigkeitsbetrag. Bei einem geladenen Teilchen im Magnetfeld kann man bei bekannter Geschwindigkeit und Magnetfeldstärke aus dem Kreisradius das Verhältnis von Ladung zu träger Masse berechnen.

Verwandte Größen

Die Masse ist eine extensive Größe. Das bedeutet, dass zwei Körper der Masse $ m $ insgesamt die doppelte Masse $ 2m $ haben. Intensive Größen ändern sich bei der Systemverdopplung nicht. Mit der Masse verwandt sind folgende intensive Größen:

• Bezieht man die Masse auf das Volumen $ V $, erhält man die Dichte $ \rho \colon ={\frac {m}{V}} $ mit der SI-Einheit $ [\rho ]=1\mathrm {\frac {kg}{m^{3}}} . $

Man kann also bei bekannter Dichte die Masse eines homogenen Körpers aus seinem Volumen berechnen.

• Bezieht man die Masse auf die Stoffmenge $ n $, erhält man die molare Masse $ M\colon ={\frac {m}{n}} $ mit der SI-Einheit $ [M]=1\mathrm {\frac {kg}{mol}} . $

Man kann also bei bekannter molarer Masse die Masse eines Reinstoffs aus seiner Stoffmenge berechnen.

Klassische Mechanik

Die klassische Mechanik erklärt die Äquivalenz von schwerer und träger Masse nicht. Sie tritt als empirische Tatsache auf, ebenso wie die Massenerhaltung.

Als schwere Masse $ m_{\mathrm {s} } $ bezeichnet man die Quelle der Gravitationskraft. Die von der Masse $ M_{\mathrm {s} } $ auf die Masse $ m_{\mathrm {s} } $ ausgeübte Kraft ist

$ {\vec {F}}\,=\ G{\frac {m_{\mathrm {s} }M_{\mathrm {s} }}{|{\vec {r}}|^{2}}}\,{\frac {\vec {r}}{|{\vec {r}}|}}, $

wobei die Massen punkt- oder kugelförmig gedacht sind und $ {\vec {r}} $ der Vektor von $ m_{\mathrm {s} } $ nach $ M_{\mathrm {s} } $ ist. $ G $ ist die Gravitationskonstante, eine Naturkonstante.

Die träge Masse $ m $ ist in der newtonschen Mechanik der Proportionalitätsfaktor zwischen Kraft $ {\vec {F}} $ und Beschleunigung $ {\vec {a}}\,: $

$ {\vec {F}}\,=\,m{\vec {a}} $

Aus dem 2. newtonschen Axiom (Aktionsprinzip)

$ {\vec {F}}\,=\,{\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}} $

ergibt sich mit dem Impuls $ p=m\,v $ für Körper mit konstanter Masse die Bewegungsgleichung zu „Kraft ist gleich Masse mal Beschleunigung“, der „Grundgleichung der Mechanik“:

$ {\vec {F}}\,=\,m\,{\vec {a}} $

Dies gilt nicht für Körper mit zeitlich veränderlichen Massen wie etwa bei einer Rakete.

Spezielle Relativitätstheorie

Der Begriff der schweren Masse tritt in der speziellen Relativitätstheorie nicht auf. Diese befasst sich mit der Dynamik von Körpern bei gegebenen Kräften.

In der speziellen Relativitätstheorie ist der Impuls $ {\vec {p}} $ nicht wie bei Newton das Produkt von Masse $ m $ und Geschwindigkeit $ {\vec {v}}, $ sondern es gilt

$ {\vec {p}}={\frac {m\,{\vec {v}}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\,. $

Damit ist die Bewegung eines Körpers mit Licht- ($ v{\mathord {=}}c $) oder Überlichtgeschwindigkeit ($ v{\mathord {>}}c $) ausgeschlossen.

Relativistische Masse

Um dennoch die Newtonsche Formel beibehalten zu können, wurde der Begriff relativistische Masse

$ m_{\text{rel.}}(v)={\frac {m}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}} $

eingeführt, sodass $ {\vec {p}}{\mathord {=}}m_{\text{rel.}}({\vec {v}})\,\cdot {\vec {v}} $ gilt. Die Größe $ m $ wird in diesem Zusammenhang „Ruhemasse“ genannt und meist mit $ m_{0} $ bezeichnet: $ m_{0}=m_{\text{rel.}}({\vec {v}}{\mathord {=}}0). $ Der Begriff der relativistischen oder relativistisch veränderlichen Masse wird in der populären Literatur und teilweise auch in der Experimentalphysik heute noch benutzt, jedoch zunehmend vermieden, weil die relativistische Masse $ m_{\text{rel.}}(v) $ nur in den Gleichungen für den Impuls und für die relativistische Energie $ E=m_{\text{rel.}}(v)\,\cdot c^{2} $ zu richtigen Ergebnissen führt, im newtonschen Gravitationsgesetz und im newtonschen Gesetz $ {\vec {F}}=m\,{\vec {a}} $ eingesetzt aber falsche Ergebnisse hervorbringt. In diesem Artikel wird die Größe $ m_{\text{rel.}}(v) $ nicht weiter verwendet, und das Symbol $ m $ für die Masse hat stets die Bedeutung der Ruhemasse, also $ m=m_{0}. $

Ruhemasse

Unter der Ruhemasse $ m_{0}{\mathord {:}}\!=\,m_{\text{rel.}}(v{\mathord {=}}0) $ versteht man die Masse eines Körpers in seinem Ruhesystem. Sie ist also eine feststehende Eigenschaft des Körpers, die nicht mit der je nach Bezugssystem des Beobachters unterschiedlichen Geschwindigkeit verschiedene Werte annimmt. Mit dem Wort Masse (ohne Zusätze) ist zumeist diese Ruhemasse gemeint. Aufgrund der Äquivalenz von Masse und Energie wird

$ E_{0}=m_{0}\cdot c^{2} $

auch als Ruheenergie bezeichnet.

Die Kraft $ {\vec {F}} $ ist gleich der zeitlichen Änderung des Impulses, in der speziellen Relativitätstheorie

$ {\vec {F}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {m_{0}\,{\vec {a}}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{0}\,{\vec {v}}\,({\vec {v}}\cdot {\vec {a}})}{c^{2}\,({\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}})^{3}}} $

oder, nach der Beschleunigung $ {\vec {a}} $ aufgelöst,

$ {\vec {a}}={\frac {1}{\sqrt {m_{0}^{2}+p^{2}/c^{2}}}}{\bigl (}{\vec {F}}-{\vec {v}}({\vec {v}}\cdot {\vec {F}})/c^{2}{\bigr )}\,. $

Man sieht, dass die Beschleunigung nicht immer in Richtung der Kraft zeigt, sondern i. A. auch einen Anteil in Richtung der Geschwindigkeit hat. Eine Kraft $ {\vec {F}} $ bewirkt bei unterschiedlichen Geschwindigkeiten des Teilchens verschiedene Beschleunigungen. Die Masse ist also kein einfacher Proportionalitätsfaktor zwischen Kraft und Beschleunigung wie in der newtonschen Mechanik. Die unterschiedliche Trägheit in Richtung der Bewegung und quer dazu hatte man zunächst mit den Begriffen der longitudinalen und transversalen Masse zu erfassen versucht, die aber heute nicht mehr verwendet werden.

Die Masse verknüpft die Energie $ E $ und den Impuls über die allgemeingültige Energie-Impuls-Beziehung

$ \left(m_{0}\,c^{2}\right)^{2}=E^{2}-p^{2}c^{2}. $

Für einen ruhenden Körper ($ {\vec {p}}{\mathord {=}}0 $) wird daraus Einsteins berühmte Gleichung $ E_{\text{Ruhe}}{\mathord {=}}m_{0}\cdot c^{2}, $ durch welche die Äquivalenz von Masse und Energie zum Ausdruck kommt.

Für ein Teilchen ohne Masse ($ m_{0}{\mathord {=}}0 $) folgt $ E=|{\vec {p}}|c\,. $ Solche Teilchen bewegen sich relativ zu jedem Bezugssystem mit der in der speziellen Relativitätstheorie postulierten oberen Grenzgeschwindigkeit, der Lichtgeschwindigkeit. Dies ist etwa bei Photonen der Fall. Der umgekehrte Schluss ist ebenfalls richtig: Teilchen, die sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen, sind masselos.

Teilchenphysik

Invariante Masse

Von der Ruhemasse eines Teilchens wird die invariante Masse (auch Schwerpunktenergie) mehrerer freier Teilchen vor oder nach einer Teilchenreaktion unterschieden:

$ (m_{\text{invariant}}\,c^{2})^{2}=(\Sigma _{i=1}^{N}E_{i})^{2}-(\Sigma _{i=1}^{N}{\vec {p}}_{i})^{2}\,c^{2}, $

wobei N die Anzahl der Teilchen ist. Die invariante Masse ist eine lorentzinvariante Größe. Sie gibt die im gemeinsamen Schwerpunktsystem der betrachteten Teilchen vorhandene Gesamtenergie an (als die Summe ihrer Ruhemassen und kinetischen Energien, Massen und Energien mit c² ineinander umgerechnet). Nur dieser Energiebetrag steht für Reaktionen zur Verfügung, denn der Rest ist die mit der Schwerpunktsbewegung verbundene kinetische Energie des Gesamtsystems, die immer konstant bleibt.^[2] Die Formel zur Berechnung der invarianten Masse kann für N=1 auch auf ein einzelnes Teilchen angewandt werden und stimmt dann gerade mit dessen Ruhemasse überein.^[3]

In der Hochenergiephysik werden Teilchenkollisionen bei Energien betrachtet, die deutlich höher sind als die Ruhemassen der kollidierenden oder möglicherweise neu erzeugten Teilchen. Die invariante Masse der Teilchen vor dem Stoß gibt den höchsten möglichen Wert für die Masse eines Teilchens an, das sich dabei bilden könnte. Zum Beispiel bildet sich bei einer Elektron-Positron-Kollision mit je 45 GeV im Schwerpunktsystem das Z⁰-Boson von 90 GeV Masse. Meist sind die in solchen Stößen gebildeten Teilchen kurzlebig (intermediäre Teilchen), sie zerfallen schnell in mehrere andere Teilchen und können nur über diese Zerfallsprodukte untersucht werden. Gestützt auf die Kenntnis oder auf eine Vermutung, in welche Teilchenarten eine bestimmte Art von intermediären Teilchen zerfällt, identifiziert man diese Zerfallsprodukte unter allen anderen Reaktionsprodukten der Kollision anhand ihrer invarianten Masse. Sie muss mit der Masse des gesuchten Teilchens übereinstimmen. Ist das intermediäre Teilchen noch hypothetisch oder seine Masse noch unbekannt, durchsucht man die in Frage kommenden Kombinationen von Zerfallsprodukten daraufhin, ob eine bestimmte invariante Masse mit signifikant größerer Häufigkeit auftritt als aufgrund bekannter anderer Reaktionen zu erwarten wäre. Auch die gegenwärtige Suche nach dem Higgs-Boson folgt diesem Weg.

Massenschale

Da der Impuls eines Teilchens der (Ruhe-)Masse $ m, $ das sich mit Geschwindigkeit $ {\vec {v}} $ bewegt, in relativistischer Physik

$ {\vec {p}}\,({\vec {v}})={\frac {m\,{\vec {v}}}{\sqrt {1-{\frac {{\vec {v}}^{2}}{c^{2}}}}}} $

beträgt (Herleitung siehe Viererimpuls), hängen die Energie und der Impuls mit der Masse durch die Energie-Impuls-Beziehung

$ E^{2}-{\vec {p}}^{\,2}\,c^{2}=m^{2}\,c^{4} $

zusammen. Gemäß dieser Gleichung liegen im vierdimensionalen Raum aller denkbaren Energie- und Impulswerte die physikalisch möglichen Energien eines Teilchens der Masse $ m $ auf einer dreidimensionalen Fläche, der sogenannten Massenschale. Sie ist ein Hyperboloid ($ y^{2}-x^{2}=1 $ beschreibt eine Hyperbel in der xy-Ebene).

Die Energie-Impuls-Beziehung gilt auch für Photonen. Sie sind masselos ($ m_{\text{Photon}}=0 $) und bewegen sich stets mit Lichtgeschwindigkeit $ c. $ Ihre Energie ist bis auf den Faktor $ c $ der Betrag ihres Impulses:

$ E_{\text{Photon}}=c\,|{\vec {p}}_{\text{Photon}}| $

Massendefekt

Weil der Energieinhalt eines ruhenden Körpers seine Masse festlegt, stimmt die Masse eines zusammengesetzten Teilchens nicht genau mit der Summe der Massen seiner Bestandteile überein. Sie ist um den Betrag geringer, der der Bindungsenergie entspricht. Bei Atomkernen fällt dieser Unterschied besonders groß aus. Die Bindungsenergie der Kernbestandteile beträgt einige MeV. Das ist so groß, dass es einen Massendefekt im Bereich eines Prozents der Gesamtmasse bewirkt. Ein Kern des Isotops Eisen-56 ist dadurch etwa $ 0,9\;\% $ leichter, als wenn man die $ 26 $ Protonen und $ 30 $ Neutronen, aus denen der Kern besteht, einzeln wiegen würde.

Bei chemischen Bindungen ist die Bindungsenergie pro Atom sehr viel kleiner als die Energie, die der Masse des Atoms entspricht. Sie hat die Größe von einigen Elektronenvolt. Das ist um einig Millionen Mal kleiner als die Bindungsenergie der Nukleonen im Atomkern. Entsprechend klein ist der Massendefekt durch chemische Bindungen. Es ist daher nicht praktikabel, den Ladungszustand einer Batterie mit Hilfe einer Waage zu ermitteln.

Allgemeine Relativitätstheorie

In der allgemeinen Relativitätstheorie wird der freie Fall von Teilchen im Gravitationsfeld als kräftefrei verstanden. Kräfte bewirken, dass die Bahnkurven vom freien Fall abweichen. An der Größe der Kraft, mit der Teilchen vom freien Fall abgehalten werden, zeigt sich ihre träge Masse.

Die Weltlinien frei fallender Teilchen sind die Geraden (genauer: Geodäten) der Raumzeit. Sie sind in Übereinstimmung mit allen Beobachtungen vollständig durch den anfänglichen Ort und die anfängliche Geschwindigkeit festgelegt und hängen nicht von anderen Eigenschafte wie Größe oder Masse des frei fallenden Teilchens ab (Äquivalenzprinzip). Da die Raumzeit gekrümmt ist, ergibt die Projektion der Geodäten auf den dreidimensionalen Ortsraum normalerweise keine Geraden, sondern beispielsweise Wurfparabeln.

Quelle der Gravitation ist in der Grundgleichung der Allgemeinen Relativitätstheorie der Energie-Impuls-Tensor, das heißt: Energiedichte, Impulsdichten, Energieströme und Impulsströme. Da die Energie ruhender Teilchen durch ihre Masse bestimmt ist, bewirkt die Masse ruhender Teilchen Gravitation. Kann man die Bewegung der gravitationserzeugenden Körper vernachlässigen und ist die Geschwindigkeit der frei fallenden Teilchen klein gegen die Lichtgeschwindigkeit, so wirkt sich die Masse der gravitationserzeugenden Körper wie in Newtons Gravitationstheorie aus. Für Licht als Testteilchen trifft diese Einschränkung nicht zu: Es wird an der Sonne doppelt so stark abgelenkt, wie nach Newton zu erwarten wäre.

An ihrer gravitativen Auswirkung kann man in großen Abständen von den gravitationserzeugenden Energie- und Impulsdichten die ADM-Masse ablesen. Sie verändert sich nicht im Laufe der Zeit, da Strahlung nicht in endlicher Zeit unendliche räumliche Entfernungen durchläuft. Die Bondi-Masse wird in der Allgemeinen Relativitätstheorie für große Zeiten und dabei mit Lichtgeschwindigkeit zunehmenden Abständen abgelesen. Sie vermindert sich durch Abstrahlung und ist nichtnegativ, das heißt, in der Allgemeinen Relativitätstheorie ist die Energie, die abgestrahlt werden kann, nach unten beschränkt.

Ursprung der Massen der Elementarteilchen

Im Standardmodell der Elementarteilchenphysik wird der Ursprung der Massen der Elementarteilchen durch den Higgs-Mechanismus erklärt. Durch Wechselwirkung mit dem Higgs-Boson, einem skalaren Elementarteilchen, das möglicherweise experimentell beobachtet wurde,^[4] erhalten sie eine Masse, wenn das dazu gehörende Higgs-Feld auch im Vakuum nicht verschwindet.^[5] Nur die Masse des Higgs-Bosons selbst wird hierdurch nicht erklärt.

Die Massen der Baryonen, zu denen auch Proton und Neutron gehören, sind allerdings ca. 100-mal größer als die Massen der drei Quarks, aus denen sie bestehen. Die Baryonenmassen werden dynamisch erklärt. Ansätze zur Berechnung liefern Gitterrechnungen in der QCD. Halb anschaulich kann man mit der geringen Ausdehnung der Baryonen von etwa 10⁻¹⁵ m argumentieren: Wenn sich die Quarks im Baryon auf so kleinem Raum konzentrieren, haben sie eine so kurze de-Broglie-Wellenlänge, dass ihre kinetische Energie E_kin nach Einsteins Formel E=mc² erhebliche Masse bedeutet. Drei solcher Konstituenten-Quarks ergeben dann tatsächlich etwa die Masse des Protons oder Neutrons.

Die Baryonen machen den größten Teil der Masse sichtbarer Materie aus. Es wird vermutet, dass „WIMPs“ (engl. weakly interacting massive particles) wie etwa das hypothetische LSP (engl. lightest supersymmetric particle) die nicht sichtbare Dunkle Materie aufbauen könnten.

Sprachgebrauch: Masse und Gewicht

Im allgemeinen Sprachgebrauch wird die Masse eines Objekts auch als sein Gewicht bezeichnet. Beispiele sind das Übergewicht, Leergewicht, Abtropfgewicht oder Gewichtsangaben in Kochrezepten. Dies trifft auch auf viele Gesetze und Verordnungen zu. Beispiele sind das Deutsche Mutterschutzgesetz^[6] und das Schweizer Straßenverkehrsgesetz^[7].

Beim Gleichsetzen von Masse und Gewicht kann der Eindruck entstehen, die Masse hänge von der vor Ort herrschenden Schwerkraft ab. So ist die folgende Aussage missverständlich: „Auf dem Mond wiegt ein 60 kg schwerer Mensch nur ungefähr 10 kg.“ Klarer ist: „Ein Mensch mit einer Masse von 60 kg wiegt auf dem Mond ungefähr so viel, wie ein Mensch mit einer Masse von 10 kg auf der Erde wiegt.“

Einzelnachweise und Fußnoten

Siehe auch

• Liste mit Größenordnungen von Massen
• Massendichte

Literatur

• Max Jammer Der Begriff der Masse in der Physik Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1964 (Concepts of Mass in Classical and Modern Physics, Harvard 1961, deutsch)
• Gordon Kane: Das Geheimnis der Masse. In: Spektrum der Wissenschaft. Nr. 2, Spektrum der Wissenschaft Verlag, 2006, ISSN 0170-2971, S. 36–43.

Weblinks

Vorlage:Commonscat/WikiData/Difference

• Seite der PTB zum Kilogramm (mit Hinweisen auf Projekte zur Neudefinition)
• Versuche und Aufgaben zur Masse (LEIFI)
• The Problem of Mass for Quarks and Leptons - Vortrag (engl.) von Harald Fritzsch am 22. März 2000 im Kavli Institute for Theoretical Physics: (Vortragsunterlagen / Audioaufzeichnung)
• PCE Instruments: Händler für Wägetechnik und Kraftmesstechnik