Zustandsgleichung von Mie-Grüneisen

Die Mie-Grüneisen-Zustandsgleichung (engl. Mie-Gruneisen equation of state) ist eine Zustandsgleichung der Physik, die für hochverdichtete Materie einen speziellen funktionalen Zusammenhang zwischen der Dichte, dem Druck und der Temperatur darstellt. Die spezielle Annahme von Mie-Grüneisen bezieht sich auf die Temperaturabhängigkeit, die nur in der Form einer "skalierten Temperatur" t(T,$ \rho $)=T/TD($ \rho $) auftreten darf, wobei der dichte- oder volumen-abhängige "Temperaturparameter" TD($ \rho $) pauschal das Frequenzspektrum der Gitterschwingungen repräsentiert. Die Mie-Grüneisen-Zustandsgleichung wird u. a. zur Berechnung der Schallgeschwindigkeit und von Stoßwellen bei hohen Umgebungsdrücken und zur Modellierung von seismologischen Untersuchungen des Erdinneren verwendet.

Eine spezielle Form der Mie-Grüneisen Zustandsgleichung stellt die Messergebnisse von Hochdruckexperimenten auf der Basis von drei Materialparametern im temperatur-unabhängigen Teil dar:

$ p=p_{0}\left(1-\Gamma \eta \right)+{\frac {\rho _{0}C_{0}^{2}\eta }{\left(1-s\eta \right)^{2}}}\cdot \left(1-{\frac {\Gamma \eta }{2}}\right)+\Gamma \rho _{0}\left(e-e_{0}\right) $

mit

$ \eta =1-{\frac {\rho _{0}}{\rho }} $.

Hierbei bezeichnet $ \rho _{0} $ die Dichte, $ C_{0} $ die Schallgeschwindigkeit und $ \Gamma =\Gamma _{0} $ den (dimensionslosen) Grüneisenkoeffizient im Normalzustand. Die dimensionslose Materialkonstante $ s $ ist der lineare Hugoniot-Steigungskoeffizient (engl. linear Hugoniot slope coefficient).

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): e - e_0 ist die spezifische innere Energie, die im Mie-Grüneisen-Fall nur von einer skalierten Temperatur t(T,rho)=T/TD(rho) abhängen darf. Die Funktion TD(rho) enthält üblicherweise mehrere weitere Materialparameter.

Zusammenhang der Parameter mit anderen thermodynamischen Zustandsgrößen

Die Schallgeschwindigkeit, mit der sich kleine Druck- und Dichteschwankungen in einem Medium fortpflanzen, ist bei reversibler adiabatischer Zustandsänderung (d.h. bei konstanter Entropie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): S ) gegeben durch:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c_S=\sqrt{\left. \frac{\partial p}{\partial \rho}\right|_S} = \sqrt{\frac{p}{\rho}\cdot \gamma}

Die Schallgeschwindigkeit ist eine Zustandsgröße.

Der Adiabatenexponent Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma ergibt sich aus:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \gamma = - \frac{V}{p}\cdot \left. \frac{\partial p}{\partial V}\right|_S

Der Grüneisenkoeffizient ist definiert durch:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Gamma = - \frac{V}{T}\cdot \left. \frac{\partial T}{\partial V} \right|_S = \frac{\beta}{\kappa \cdot \rho \cdot c_V}

wobei die Maxwell-Relation $ \left.{\frac {\partial S}{\partial V}}\right|_{T}=\left.{\frac {\partial p}{\partial T}}\right|_{V} $ und folgende Bezeichnungen verwendet wurden:

Thermische Ausdehnung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \beta = \frac{1}{V}\cdot \left. \frac{\partial V}{\partial T} \right|_p = - \frac{1}{\rho} \cdot \left. \frac{\partial \rho}{\partial T} \right|_p

Isotherme Kompressibilität:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \kappa = - \frac{1}{V} \cdot \left. \frac{\partial V}{\partial p} \right|_T

Isochore spezifische Wärmekapazität:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): c_V = \frac{T}{\rho \cdot V} \cdot \left. \frac{\partial S}{\partial T} \right|_V

Beispiele für Parameter der Mie-Grüneisen Zustandsgleichung

Wasser: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \rho_0 = 1000 kg/m³ ; Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): C_0 = 1489 m/s ; Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): s = 1{,}79  ; Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Gamma = 1{,}65

Stahl: $ \rho _{0}=7850 $ kg/m³ ; Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): C_0 = 4500 m/s ; Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): s = 1{,}49  ; Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Gamma = 2{,}17

Kupfer: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \rho_0 = 8930 kg/m³ ; Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): C_0 = 3940 m/s ; Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): s = 1{,}48  ; Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Gamma = 1{,}96

Literatur

• Debye, P.: Zur Theorie der spezifischen Wärmen. In: Annalen der Physik 39, 789–839 (1912)
• Grüneisen, E.: Theorie des festen Zustandes einatomiger Elemente. In: Annalen der Physik 39, 257–306 (1912)
• Mie, G.: Grundlagen einer Theorie der Materie. In: Annalen der Physik 2, 1–40 (1912)
• G.McQueen, S.P.Marsh, J.W.Taylor, J.N.Fritz, W.J.Carter: "High Velocity Impact Phenomena", (1970), S. 230
• M.A.Zocher et al.: An evaluation of several hardening models using Taylor cylinder impact data. Proc. European Congress on computational Methods in Applied Sciences and Engineering, ECCOMAS, Barcelona, Spain
• W.B.Holzapfel: Equations of state for solids under strong compression. In: Zeitschrift für Kristallographie. 216 (2000) S. 473–488