Zustandsgleichung von Birch-Murnaghan

Die Zustandsgleichung nach Birch-Murnaghan beschreibt die Beziehung zwischen dem Volumen V eines Festkörpers und des auf ihn wirkenden äußeren hydrostatischen Drucks p. Diese Zustandsgleichung ist von zwei Parametern abhängig, dem Kompressionsmodul bei einem Druck von 0 GPa $K_{0}$ , und der ersten Ableitung des Kompressionsmoduls nach dem Druck bei einem Druck von 0 GPa, $K_{0}^{'}$ . Diese sind wie folgt definiert:

K_{0} = V {\frac{\partial p}{\partial V} |}_{p = 0 GPa}

K_{0}^{'} = {\frac{\partial K}{\partial p} |}_{p = 0 GPa}

Murnaghan ging davon aus, dass der Kompressionsmodul eines Festkörpers $K_{0}$ linear mit dem auf ihn wirkenden Druck zunimmt. Eine weitere wichtige Annahme ist, dass die Größe $K_{0}^{'}$ druckunabhängig ist.

K (p) = K_{0} + p K_{0}^{'}

Nach Integration erhält man die Zustandsgleichung nach Murnaghan

p = \frac{K_{0}}{K_{0}^{'}} [{(\frac{V_{0}}{V})}^{K_{0}^{'}} - 1]

bzw.

\frac{V}{V_{0}} = {[\frac{K_{0}^{'}}{K_{0}} p + 1]}^{- \frac{1}{K_{0}^{'}}}

wobei $V_{0}$ das Volumen des Festkörpers bei einem Druck von 0 GPa ist.

Einen anderen Weg, das Verhalten von kondensierter Materie unter Druck zu beschreiben, wurde von Francis Birch eingeschlagen. Er ging davon aus, dass nach den Maxwell-Relationen ein Zusammenhang zwischen dem Druck p und der freien Energie F besteht:

p = {(\frac{\partial F}{\partial V})}_{T}

Birch stellte die freie Energie eines Festkörpers als Reihenentwicklung dar:

F = \sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} ϵ^{n}

Hier sind $a_{n}$ druckabhängige Koeffizienten, $ϵ^{n}$ ist die sog. Eulersche Dehnung.

ϵ = \frac{1}{2} [1 - {(\frac{V}{V_{0}})}^{- \frac{2}{3}}]

Nach einer Reihenentwicklung, deren Darstellung in diesem Rahmen zu weit führen würde, erhält man dann die Zustandsgleichung nach Birch:

p = \frac{3}{2} K_{0} [{(\frac{V}{V_{0}})}^{- \frac{7}{3}} - {(\frac{V}{V_{0}})}^{- \frac{5}{3}}] [1 + \frac{3}{4} (K_{0}^{'} - 4) [{(\frac{V}{V_{0}})}^{- \frac{2}{3}} - 1]]

Es hat sich mittlerweile eingebürgert, diese Gleichung als Zustandsgleichung nach Birch-Murnaghan zu bezeichnen, auch wenn der Ansatz von Birch mit dem Ansatz von Murnaghan nichts gemein hat.

Literatur

F. Birch: Finite elastic strains of cubic crystals, Phys. Rev. 71, 809 (1947)
B. Buras and L. Gerward: Application of X-ray energy dispersive diffraction for characterisation of materials under high pressure, Prog. Cryst. Growth and Characterisation 18, 93 (1989)