Zustandsgleichung von Birch-Murnaghan
- Seiten mit Math-Fehlern
- Seiten mit Math-Renderingfehlern
- Festkörperphysik
- Zustandsgleichung
Die Zustandsgleichung nach Birch-Murnaghan beschreibt die Beziehung zwischen dem Volumen V eines Festkörpers und des auf ihn wirkenden äußeren hydrostatischen Drucks p. Diese Zustandsgleichung ist von zwei Parametern abhängig, dem Kompressionsmodul bei einem Druck von 0 GPa $ K_{0} $, und der ersten Ableitung des Kompressionsmoduls nach dem Druck bei einem Druck von 0 GPa, $ K_{0}' $. Diese sind wie folgt definiert:
- $ K_{0}=V\left.{\frac {\partial p}{\partial V}}\right|_{p=0\,\mathrm {GPa} } $
- $ K_{0}'=\left.{\frac {\partial K}{\partial p}}\right|_{p=0\,\mathrm {GPa} } $
Murnaghan ging davon aus, dass der Kompressionsmodul eines Festkörpers $ K_{0} $ linear mit dem auf ihn wirkenden Druck zunimmt. Eine weitere wichtige Annahme ist, dass die Größe $ K_{0}' $ druckunabhängig ist.
- $ K(p)=K_{0}+pK_{0}' $
Nach Integration erhält man die Zustandsgleichung nach Murnaghan
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p = \frac{K_0}{K_0'}\left[\left(\frac{V_0}{V}\right)^{K_0'} - 1\right]
bzw.
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \frac{V}{V_0} = \left[\frac{K_0'}{K_0}p+1\right]^{-\frac{1}{K_0'}}
wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): V_0 das Volumen des Festkörpers bei einem Druck von 0 GPa ist.
Einen anderen Weg, das Verhalten von kondensierter Materie unter Druck zu beschreiben, wurde von Francis Birch eingeschlagen. Er ging davon aus, dass nach den Maxwell-Relationen ein Zusammenhang zwischen dem Druck p und der freien Energie F besteht:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p = \left(\frac{\partial F}{\partial V}\right)_T
Birch stellte die freie Energie eines Festkörpers als Reihenentwicklung dar:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): F = \sum_{n=1}^{\infty} a_n\epsilon^n
Hier sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a_n druckabhängige Koeffizienten, $ \epsilon ^{n} $ ist die sog. Eulersche Dehnung.
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \epsilon = \frac{1}{2}\left[1 - \left(\frac{V}{V_0}\right)^{-\frac{2}{3}}\right]
Nach einer Reihenentwicklung, deren Darstellung in diesem Rahmen zu weit führen würde, erhält man dann die Zustandsgleichung nach Birch:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p = \frac{3}{2} K_0 \left[\left(\frac{V}{V_0}\right)^{-\frac{7}{3}} - \left(\frac{V}{V_0}\right)^{-\frac{5}{3}}\right]\left[1 + \frac{3}{4}\left(K_0' - 4\right)\left[\left(\frac{V}{V_0}\right)^{-\frac{2}{3}}-1\right]\right]
Es hat sich mittlerweile eingebürgert, diese Gleichung als Zustandsgleichung nach Birch-Murnaghan zu bezeichnen, auch wenn der Ansatz von Birch mit dem Ansatz von Murnaghan nichts gemein hat.
Literatur
- F. Birch: Finite elastic strains of cubic crystals, Phys. Rev. 71, 809 (1947)
- B. Buras and L. Gerward: Application of X-ray energy dispersive diffraction for characterisation of materials under high pressure, Prog. Cryst. Growth and Characterisation 18, 93 (1989)