Wechselwirkungsbild

Das Wechselwirkungsbild (auch als Wechselwirkungsdarstellung, Dirac-Bild oder Dirac-Darstellung bezeichnet) der Quantenmechanik ist ein Modell für den Umgang mit zeitabhängigen Problemen unter Berücksichtigung von Wechselwirkungen.

Im Wechselwirkungsbild gelten folgende Annahmen:

Der Hamilton-Operator des Systems ist gegeben durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat H=\hat H_0+\hat H_1 , wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat H_0=\operatorname{const} der zeitunabhängige Hamilton-Operator des ungestörten Systems ist und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat H_1 die durch die Wechselwirkung verursachte Störung beschreibt, diese kann zeitabhängig sein. Es kann aber auch nützlich sein, ohne dass eine Wechselwirkung vorliegt, eine solche formale Aufspaltung des Hamiltonoperators herbeizuführen.
Zustände sind zeitabhängig: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\psi\rangle=|\psi(t)\rangle
Operatoren sind ebenfalls zeitabhängig: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat A=\hat A(t)
Die Dynamik der Zustände wird beschrieben durch die angepasste Schrödinger-Gleichung, während die Dynamik der Operatoren durch die angepasste Heisenbergsche Bewegungsgleichung gegeben ist.
Nur bestimmte Rechnungen sind im Dirac-Bild einfacher durchzuführen. Als bestes Beispiel dient hier die Herleitung der zeitabhängigen Störungstheorie.

Zur Kennzeichnung, dass man das Wechselwirkungsbild verwendet, werden Zustände und Operatoren gelegentlich mit dem Index „I“ (wie engl. interaction) oder „D“ (wie Dirac-Bild) versehen: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\psi_{\rm D}(t)\rangle bzw. ${\hat {A}}_{\rm {D}}(t)\,.$

Der Sinn dieses Bildes besteht darin, die zeitliche Entwicklung des Systems, die von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat H_0 verursacht wird, in die zeitliche Abhängigkeit der Operatoren zu stecken, während die von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat H_1 verursachte Zeitabhängigkeit in die Entwicklung des Zustandes eingeht. Dies ist jedoch nur ein anderes Bild und beschreibt „die gleiche Physik“, das heißt alle physikalisch relevanten Größen (Skalarprodukte, Eigenwerte usw.) bleiben die gleichen.

Es werden zwei Zeitentwicklungsoperatoren definiert:

Der „normale“, der, wie in Zeitentwicklungsoperator erklärt, mit dem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat H definiert wird:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat U(t,t_0)=\hat T\left[\exp\left(-\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t \hat H(t^\prime)dt^\prime\right)\right] mit dem Zeitordnungs-Operator

{\hat {T}}

Der nur von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat H_0 erzeugte Zeitentwicklungsoperator:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat U_0(t,t_0)=\exp\left(-\frac{i}{\hbar}\hat H_0(t-t_0)\right)

Der Erwartungswert a des Operators Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat A muss in allen Bildern gleich sein:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): a=\langle \psi _{\text{S}}(t)|\hat{A}_{\text{S}}(t)|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\langle \psi _{\text{S}}(t)|\underbrace{\hat{U}_{0}(t,t_{0})\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})}_{1}\,\hat{A}_{\text{S}}(t)\,\underbrace{\hat{U}_{0}(t,t_{0})\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})}_{1}\,|\psi _{\text{S}}(t)\rangle

a=\langle \underbrace {{\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\psi _{\text{S}}(t)} _{\psi _{\text{D}}(t)}|\underbrace {{\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\,{\hat {A}}_{\text{S}}(t)\,{\hat {U}}_{0}(t,t_{0})} _{{\hat {A}}_{\text{D}}(t)}\,|\underbrace {{\hat {U}}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\psi _{\text{S}}(t)} _{\psi _{\text{D}}(t)}\rangle =\langle \psi _{\text{D}}(t)|{\hat {A}}_{\text{D}}(t)|\psi _{\text{D}}(t)\rangle

Der zeitabhängige Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat A_{\rm D}(t) ist (wie im Heisenberg-Bild) gegeben durch:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat A_{\rm D}(t)=\hat U_0^{\dagger}(t,t_0)\,\hat A_{\rm S}(t)\,\hat U_0(t,t_0)={\rm e}^{\frac{i}{\hbar}\hat H_0(t-t_0)}\,\hat A_{\rm S}(t)\,{\rm e}^{-\frac{i}{\hbar}\hat H_0(t-t_0)}

Der zeitabhängige Zustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\psi_{\rm D}(t)\rangle kann nur indirekt – über die Reduktion des (im Schrödinger-Bild) vollständig die Dynamik beschreibenden Zustandes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\psi_{\rm S}(t)\rangle um den von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat H_0 verursachten Anteil seiner Zeitentwicklung – definiert werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): |\psi_{\rm D}(t)\rangle=\hat U_0^{\dagger}(t,t_0)\,|\psi_{\rm S}(t)\rangle={\rm e}^{\frac{i}{\hbar}\hat H_0(t-t_0)}\,|\psi_{\rm S}(t)\rangle

Damit lässt sich der Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat H_{1 \rm D}(t) definieren:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat H_{1 \rm D}(t)=\hat U_0^{\dagger}(t,t_0)\,\hat H_{1 \rm S}(t)\,\hat U_0(t,t_0) ={\rm e}^{\frac{i}{\hbar}\hat H_0(t-t_0)}\,\hat H_{1 \rm S}(t)\,{\rm e}^{-\frac{i}{\hbar}\hat H_0(t-t_0)}

Der zeitlich unabhängige Anteil des Hamiltonoperators Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat H_0 ist im Wechselwirkungsbild identisch mit dem im Schrödinger-Bild:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat H_{0 \rm D}(t) = \hat H_{0 \rm S}

Die Dynamik der Zustände wird (ähnlich dem Schrödinger-Bild) beschrieben durch die Gleichung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi_{\rm D}(t)\rangle=\hat H_{1 \rm D}(t)\,|\psi_{\rm D}(t)\rangle

Die Dynamik der Operatoren wird (wie im Heisenberg-Bild) beschrieben durch die Heisenbergsche Bewegungsgleichung, mit dem nicht zeitabhängigen Hamilton-Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat H_0 , der das ungestörte System beschreibt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): i\hbar\frac{{\rm d} \hat A_{\rm D}}{{\rm d}t}=\left[\hat A_{\rm D}(t),\hat H_0\right] +i\hbar\frac{\partial \hat A_{\rm D}}{\partial t}

Mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat H_{1 \rm S} = \hat H_{1 \rm D} = 0 geht das Dirac-Bild in das Heisenberg-Bild über.

Zum Zeitpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): t_0 stimmen alle drei Bilder überein:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat{A}_{\text{D}}(t_{0})=\hat{A}_{\text{H}}(t_{0})=\hat{A}_{\text{S}}(t_{0})

|\psi _{\text{D}}(t_{0})\rangle =|\psi _{\text{H}}(t_{0})\rangle =|\psi _{\text{S}}(t_{0})\rangle

Herleitung der Bewegungsgleichungen

Zur Vorbereitung werden die zeitlichen Ableitungen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat U_0 und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \hat U_0^{\dagger} ermittelt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} &\frac{\partial }{\partial t}\hat{U}_{0}(t,t_{0})=\frac{\partial }{\partial t}\operatorname{e}^{-\frac{i}{\hbar }\hat{H}_{0}(t-t_{0})}=\operatorname{e}^{-\frac{i}{\hbar }\hat{H}_{0}(t-t_{0})}\left( -\frac{i}{\hbar }\hat{H}_{0} \right)=-\frac{i}{\hbar }\hat{U}_{0}(t,t_{0})\,\hat{H}_{0}=-\frac{i}{\hbar }\hat{H}_{0}\,\hat{U}_{0}(t,t_{0})\\ &\frac{\partial }{\partial t}\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})=\frac{\partial }{\partial t}\operatorname{e}^{\frac{i}{\hbar }\hat{H}_{0}(t-t_{0})}=\operatorname{e}^{\frac{i}{\hbar }\hat{H}_{0}(t-t_{0})}\left( \frac{i}{\hbar }\hat{H}_{0} \right)=\frac{i}{\hbar }\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\,\hat{H}_{0}=\frac{i}{\hbar }\hat{H}_{0}\,\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0}) \end{align}

Bewegungsgleichung für die Zustände:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} i\hbar \frac{\partial }{\partial t}|\psi _{\text{D}}(t)\rangle &=i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\,|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\underbrace{\left( i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0}) \right)}_{\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})(-\hat{H}_{0})}\,|\psi _{\text{S}}(t)\rangle +\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\underbrace{\left( i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\,|\psi _{\text{S}}(t)\rangle \right)}_{(\hat{H}_{0}+\hat{H}_{1 \rm S})|\psi _{\text{S}}(t)\rangle } \\ &=\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\hat{H}_{1\text{S}}(t)\,|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\underbrace{\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\hat{H}_{1\text{S}}(t)\hat{U}_{0}(t,t_{0})}_{\hat{H}_{1 \rm D}(t)}\underbrace{\hat{U}_{0}^{\dagger }(t,t_{0})\,|\psi _{\text{S}}(t)\rangle }_{|\psi _{\text{D}}(t)\rangle }=\hat{H}_{1D}(t)|\psi _{\text{D}}(t)\rangle \end{align}

Bewegungsgleichung für die Operatoren:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} i\hbar \frac{\text{d}\hat{A}_{\text{D}}}{\text{d}t}&=i\hbar \frac{\text{d}}{\text{d}t}\left( \hat{U}_{0}^{\dagger }\,\hat{A}_{\text{S}}\,\hat{U}_{0} \right)=\underbrace{\left( i\hbar \frac{\text{d}}{\text{d}t}\hat{U}_{0}^{\dagger }\, \right)}_{-\hat{H}_{0}\hat{U}_{0}^{\dagger }}\hat{A}_{\text{S}}\,\hat{U}_{0}+\hat{U}_{0}^{\dagger }\,\hat{A}_{\text{S}}\underbrace{\left( i\hbar \frac{\text{d}}{\text{d}t}\,\hat{U}_{0} \right)}_{\hat{U}_{0}\hat{H}_{0}}+i\hbar \underbrace{\hat{U}_{0}^{\dagger }\left( \frac{\partial }{\partial t}\hat{A}_{\text{S}} \right)\,\hat{U}_{0}}_{\frac{\partial \hat{A}_{\text{D}}}{\partial t}} \\ &=-\hat{H}_{0}\underbrace{\hat{U}_{0}^{\dagger }\,\hat{A}_{\text{S}}\,\hat{U}_{0}}_{\hat{A}_{\text{D}}}+\underbrace{\hat{U}_{0}^{\dagger }\,\hat{A}_{\text{S}}\,\hat{U}_{0}}_{\hat{A}_{\text{D}}}\hat{H}_{0}+i\hbar \frac{\partial \hat{A}_{\text{D}}}{\partial t}=\left[ \hat{A}_{\text{D}},\hat{H}_{0} \right]+i\hbar \frac{\partial \hat{A}_{\text{D}}}{\partial t} \end{align}

Literatur

Nolting: Grundkurs theoretische Physik. Bd.5/1 : Quantenmechanik. Springer, Berlin
Cohen-Tannoudji: Quantenmechanik 1/2. de Gruyter, Berlin

Siehe auch