Thermische Wellenlänge

Die thermische Wellenlänge oder thermische De-Broglie-Wellenlänge ist die mittlere De-Broglie-Wellenlänge eines Teilchens zu einer bestimmten Temperatur. Die thermische Wellenlänge charakterisiert die räumliche „Ausdehnung“ eines Teilchens und stellt das Bindeglied zwischen klassischer und Quantenstatistik dar.

Definition

Einem Teilchen kann nach dem Welle-Teilchen-Dualismus eine Wellenlänge von

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \lambda = h/p

mit

Plancksches Wirkungsquantum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): h = 2 \pi \hbar
relativistischer Impuls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): p

zugeordnet werden.

Für die Energie des Teilchens wird

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): E = \pi \cdot k_\mathrm{B} T

angenommen, mit

Boltzmann-Faktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): k_B
absolute Temperatur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): T
Der Faktor $\pi$ stammt aus der Zustandssumme, er erscheint dort in gleicher Potenz wie die thermische Energie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): k_\mathrm{B} T und wird deswegen als Energievorfaktor übernommen.

Es ergibt sich die thermische Wellenlänge

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \Rightarrow \lambda = \frac{h}{\sqrt{2 \pi mk_\mathrm{B}T}} = \frac{2 \pi \hbar}{\sqrt{2 \pi mk_\mathrm{B}T}}

mit der Masse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): m des Teilchens.

Motivation

Zur Motivation der obigen Definition betrachtet man den Wellenvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \vec{k} , der in einem statistischen Ensemble gegeben ist durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \begin{align} k & = \frac{1}{\hbar}\int_{-\infty}^{+\infty}\mathrm{d}p \; \exp \left( -\beta \, \frac{p^{2}}{2m} \right)\\ & = \frac{1}{\hbar}\sqrt{\frac{2m \pi}{\beta}}\\ & = \frac{2 \pi}{h}\sqrt{2m \pi k_{\mathrm{B}}T}\end{align}

mit der Energienormierung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): \beta := (k_\mathrm{B}T)^{-1}.

Für den Betrag Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): k des Wellenvektors (Kreiswellenzahl) gilt außerdem: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): k = \frac{2 \pi}{\lambda}.

Bedeutung

Die thermische Wellenlänge stellt ein einfaches Mittel zur Abschätzung der Quantennatur eines Systems dar. Quanteneffekte fangen an eine Rolle zu spielen, wenn die thermische Wellenlänge mit anderen charakteristischen Längen des Systems – wie der mittleren freien Weglänge der Teilchen oder dem Systemvolumen – vergleichbar werden. Im Falle eines scharfen Phasenübergangs zwischen klassischem und Quantensystem nennt man die Temperatur am Übergang auch Sprungtemperatur.

Wie man aus obiger Definition unmittelbar ablesen kann, nimmt die Wellenlänge bei sinkender Temperatur zu. Die mittlere freie Weglänge nimmt bei steigendem Druck ab. Folglich verhält sich ein Gas bei tiefen Temperaturen oder hohen Drücken nicht mehr klassisch. Aus derartigen Überlegungen folgert man beispielsweise, dass weiße Zwerge aufgrund der extrem hohen Drücke im Innern durch Quanteneffekte stabilisiert werden.

Bose-Einstein-Kondensate können entstehen, wenn die thermische Wellenlänge in dem Bereich des Abstands zweier Atome liegt. Daher müssen zur Erzeugung solcher Kondensate die Materialien auf extrem niedrige Temperaturen gebracht werden.

Literatur

Walter Grimus: Einführung in die Statistische Physik und Thermodynamik: Grundlagen und Anwendungen, Oldenbourg, 2010, ISBN 978-3-486-70205-7, S. 75, eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche.