Lambert-Beersches Gesetz
Das Lambert-Beersche Gesetz beschreibt die Abschwächung der Intensität einer Strahlung bei dem Durchgang durch ein Medium mit einer absorbierenden Substanz, in Abhängigkeit von der Konzentration der absorbierenden Substanz und der Schichtdicke. Das Gesetz bildet die Grundlage der modernen Photometrie als analytische Methode. Es ist ein Spezialfall der Strahlungstransport-Gleichung.
Geschichte
Das Bouguer-Lambertsche Gesetz wurde von Pierre Bouguer vor dem Jahre 1729 formuliert und beschreibt die Schwächung der Strahlungsintensität mit der Weglänge beim Durchgang durch eine absorbierende Substanz. Es wird auch Johann Heinrich Lambert zugeschrieben, teils sogar kurz als Lambertsches Gesetz bezeichnet, obwohl Lambert selbst Bouguers Werk „Essai d’optique sur la gradation de la lumière“[1] in seiner „Photometria“ (1760)[2] anführt und sogar daraus zitiert.
Als Lambertsches Gesetz wird auch das Lambertsche Kosinusgesetz bezeichnet.
Im Jahre 1852 erweiterte August Beer das Bouguer-Lambertsche Gesetz, indem er die Konzentration des Absorbanten in Abhängigkeit zum transmittierten Licht stellte.[3] Dieser Zusammenhang wird als Lambert-Beersches Gesetz oder seltener als Bouguer-Lambert-Beersches Gesetz[4] bezeichnet.
Das Gesetz
Die Extinktion
mit
: Intensität des transmittierten Lichtes (Einheit: W·m-2) : Intensität des einfallenden (eingestrahlten) Lichtes (Einheit: W·m-2) : Stoffmengenkonzentration der absorbierenden Substanz in der Flüssigkeit (Einheit: mol·l−1) : dekadischer Extinktionskoeffizient (oft auch als spektraler Absorptionskoeffizient bezeichnet) bei der Wellenlänge . Dieser ist eine für die absorbierende Substanz spezifische Größe und kann unter anderem vom pH-Wert oder vom Lösungsmittel abhängen. Bei einer Konzentrationsangabe in Mol wird als dekadischer molarer Extinktionskoeffizient angegeben, beispielsweise in der Einheit m2·mol−1 : Schichtdicke des durchstrahlten Körpers (Einheit: m)
Herleitung
Die Abnahme der Lichtintensität beim Durchqueren einer Probelösung mit der Konzentration
Durch Umformen der Gleichung ergibt sich:
.
Die Extinktion und der Extinktionskoeffizient werden allerdings nicht über den natürlichen Logarithmus definiert. Da der dekadische und der natürliche Logarithmus linear zusammenhängen, entspricht der Übergang einem konstanten Faktor in der Gleichung. Dieser wird einfach in die Gleichung einbezogen: Aus
.
Dabei ist
Mit der Potenzregel des Logarithmus ergibt sich die übliche Schreibweise:
.
Die Extinktion ist (wie die Brechzahl eines Stoffes) von der Wellenlänge
.
Gültigkeit
Das Gesetz gilt für:
- homogene Verteilung der absorbierenden Substanz;
- vernachlässigbarer Mehrfachstreuung (insbesondere für klare Medien);
- vernachlässigbarer Variation des Absorptionskoeffizienten innerhalb des gemessenen Spektralbereiches (insbesondere für monochromatische Strahlung);
- vernachlässigbarer Eigenemission (die transmittierte Strahlungsintensität muss erheblich über der (insbesondere thermischen) Eigenstrahlung liegen);
- niedrig konzentrierte Lösungen (meist < 0,01 mol l-1) (bei hohen Konzentrationen führen Wechselwirkungen zu Abweichungen).
Anwendung in der Chemie
Die Wellenlängenabhängigkeit des Absorptionskoeffizienten einer Substanz wird durch ihre molekularen Eigenschaften bestimmt. Unterschiede zwischen Substanzen bewirken ihre Farbigkeit und erlauben die quantitative Analyse von Substanzgemischen durch photometrische Messungen. Malachitgrün gehört zu den intensivsten Farbstoffen mit einem molaren Absorptionskoeffizienten von 8,07 ·104 L mol−1cm−1 (622 nm, Ethanol).
Strahlungsdämpfung allgemein
Das gleiche Gesetz gilt allgemein für den Abfall der Intensität von sich in dämpfenden Stoffen ausbreitender elektromagnetischer Strahlung. Es beschreibt also die Dämpfung optischer Strahlung in Lichtwellenleitern (LWL) oder in dämpfenden optischen Medien oder die Abschwächung von Gamma- oder Röntgenstrahlung in Materie. Umgekehrt kann mit diesem Zusammenhang bei Kenntnis beider Intensitäten eine Dickenmessung erfolgen.
Die durch ein Medium der Länge
.
mit
: eintretende Leistung : Absorptionskoeffizient in m−1 : Materialstärke bzw. -länge in m.
Dabei ist
Lichtwellenleiter
Für das in Langstrecken-Lichtwellenleitern verwendete Silikatglas verringert sich
An Stelle der oben angegebenen Schreibweise wird in der Signalübertragungstechnik die Darstellung
verwendet (
Fernerkundung/Atmosphäre
Für die Atmosphäre wird das Lambert-Beersche Gesetz üblicherweise wie folgt formuliert:
wobei
: Aerosole (absorbierend und streuend) : homogene Gase wie Kohlendioxid und molekularer Sauerstoff (ausschließlich absorbierend) : Stickstoffdioxid (absorbierend) : Wasserdampf (absorbierend) : Ozon (absorbierend) : Rayleigh-Streuung durch molekularen Sauerstoff und Stickstoff (himmelblau)
Die Bestimmung von
Computertomographie
In der Computertomographie wird die Abschwächung der Röntgenstrahlung durch das Lambert-Beersche Gesetz beschrieben. Der Schwächungskoeffizient (Absorptionskoeffizient)
wobei
Siehe auch
Literatur
- Matthias Otto: Analytische Chemie. VCH, 2011, ISBN 3527328815, S. 263–273 (eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche).
- Udo R. Kunze, Georg Schwedt: Grundlagen der quantitativen Analyse. VCH, 2009, ISBN 978-3-527-32075-2, S. 274 (eingeschränkte Vorschau in der Google Buchsuche).
Weblinks
- Prof. Blumes Medienangebot: Das Lambert-Beersche Gesetz (geprüft am: 22. Juni 2008)
Einzelnachweise
- ↑ P. Bouguer: Essai d’optique, Sur la gradation de la lumière. Claude Jombert, Paris 1729, S. 164ff..
- ↑ J. H. Lambert: Photometria, sive de mensura et gradibus luminis, colorum et umbrae. Sumptibus Vidae Eberhardi Klett, 1760 (Digitalisat im Angebot der Universität Straßburg, abgerufen am 12. August 2010).
- ↑ A. Beer: Bestimmung der Absorption des rothen Lichts in farbigen Flüssigkeiten. In: Annalen der Physik und Chemie. 86, 1852, S. 78–88 (Volltext auf Gallica).
- ↑ Lothar Matter: Lebensmittel- und Umweltanalytik mit der Spektrometrie: Tips, Tricks und Beispiele für die Praxis. John Wiley & Sons, 1995, ISBN 9783527287512.
- ↑ Avinash C. Kak, Malcolm Slaney: Principles of Computerized Tomographic Imaging