Hawking-Strahlung

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Die Hawking-Strahlung ist eine von dem britischen Physiker Stephen Hawking 1975 postulierte Strahlung Schwarzer Löcher. Sie wird aus Konzepten der Quantenfeldtheorie und der Allgemeinen Relativitätstheorie abgeleitet ^[1].

Die Hawking-Strahlung ist auch für die aktuelle Forschung von Interesse, weil sie als potentielles Testfeld für eine quantenmechanische Theorie der Gravitation dienen könnte.

Anschauliche Interpretation

Im Gegensatz zur klassischen Physik ist in der Quantenelektrodynamik das Vakuum kein „leeres Nichts“, sondern ein kompliziertes Gebilde von Vakuumfluktuationen. Diese Vakuumfluktuationen bestehen aus virtuellen Teilchen-Antiteilchen-Paaren, die nach der quantenmechanischen Unschärferelation nur für kurze Zeit existieren. Die Erzeugung und Vernichtung von virtuellen Teilchen findet auch in der unmittelbaren Nähe des Ereignishorizonts schwarzer Löcher statt. Dabei entstehen zuerst virtuelle Teilchen-Antiteilchen-Paare, wobei aufgrund des Energiesatzes der eine Partner negative und der andere Partner positive Energie besitzt. Da nun das Gravitationsfeld im Inneren des Schwarzen Loches so stark ist, kann dort auch ein reales Teilchen negative Energie haben. Deswegen kann in diesem Fall ein virtuelles Teilchen mit negativer Energie in das Schwarze Loch fallen "und dort zu einem realen Teilchen oder Antiteilchen werden". In diesem Fall werden die beiden Partner durch den Ereignishorizont getrennt und müssen sich nicht mehr gegenseitig vernichten. Der eine Partner stürzt in das Schwarze Loch, während der zweite Partner als reales Teilchen in den freien Raum entkommt. Das hineinstürzende Teilchen mit negativer Energie setzt dabei soviel potenzielle Energie frei, wie für eine Paarbildung sowie das Hinauskatapultieren des anderen Teilchens aus dem Gravitationsfeld nötig ist. "Nach der Einsteinschen Gleichung E=mc² ist die Energie der Masse proportional. Fließt negative Energie in das Schwarze Loch, verringert sich infolgedessen seine Masse" ^[2].

Diejenigen Teilchen, die dem Schwarzen Loch als reelle Teilchen entkommen, bilden die sogenannte Hawking-Strahlung. Da diese Überlegungen auch auf Photonen anwendbar sind, enthält die Hawking-Strahlung auch ein kontinuierliches, elektromagnetisches Spektrum ^[3].

Da die Vakuumfluktuationen durch eine starke Krümmung der Raumzeit begünstigt werden, ist dieser Effekt besonders bei Schwarzen Löchern geringer Masse bedeutsam. Schwarze Löcher geringer Masse sind von geringer Ausdehnung (Schwarzschildradius), ihr Ereignishorizont und die umgebende Raumzeit sind entsprechend stärker gekrümmt. Je größer und damit massereicher ein Schwarzes Loch ist, desto weniger strahlt es also. Je kleiner ein Schwarzes Loch ist, umso schneller verdampft es.

Spektrum und Größenabhängigkeit

Da die Stärke des Gravitationsfeldes im Inneren des Schwarzen Loches mit abnehmender Entfernung zum Mittelpunkt des Schwarzen Loches immer weiter zunimmt, wird die Strecke immer kürzer, die ein virtuelles Teilchen mit negativer Energie zurücklegen muss, bis es ein reales Teilchen wird ^[4]. Die Emissionsrate für Teilchen und damit die scheinbare Temperatur des Schwarzen Loches nimmt also mit abnehmender Masse des Schwarzen Loches zu. Die zugehörige Hawking-Strahlung müsste dabei gerade das Spektrum eines schwarzen Körpers haben.

Große Schwarze Löcher, wie sie aus Supernovae entstehen, haben eine so geringe Strahlung, dass diese im Universum nicht nachweisbar ist. Kleine Schwarze Löcher haben dagegen nach dieser Theorie eine deutliche Wärmestrahlung, was dazu führt, dass ihre Masse rasch abnimmt. So hat ein Schwarzes Loch der Masse 10¹² Kilogramm – der Masse eines Berges – eine Temperatur von etwa 10¹¹ Kelvin, so dass neben Photonen auch massebehaftete Teilchen wie Elektronen und Positronen emittiert werden. Dadurch steigt die Strahlung weiter an, sodass so ein kleines Schwarzes Loch in relativ kurzer Zeit völlig zerstrahlt (verdampft). Sinkt die Masse unter 1000 Tonnen, so explodiert das Schwarze Loch mit der Energie mehrerer Millionen Mega-, bzw. Teratonnen TNT-Äquivalent. Die Lebensdauer eines Schwarzen Loches ist proportional zur dritten Potenz seiner ursprünglichen Masse. Die Lebensdauer eines Schwarzen Loches mit der Masse unserer Sonne beträgt 10⁶⁴ Jahre. Sie liegt damit jenseits sämtlicher Beobachtungsgrenzen.

Die Hawking-Strahlung bedeutet eine Verletzung des zweiten Hauptsatzes der Schwarzloch-Dynamik, da die Strahlung die Masse – und damit die Horizontfläche – des Schwarzen Loches verringert. Allerdings wird gleichzeitig eine entsprechende Menge Entropie in Form von Strahlung abgegeben, was einen tieferen Zusammenhang zwischen beiden Größen nahelegt.

Hawking-Temperatur

Mittels der Hawking-Entropie und der thermodynamischen Definition der Temperatur T

$ {\frac {1}{T}}={\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} E}} $

wobei S die Entropie und E die Energie ist, lässt sich einem Schwarzen Loch eine Strahlungstemperatur zuordnen, die auch als Hawking-Temperatur T_H bezeichnet wird und gegeben ist durch:

$ T_{\mathrm {H} }={\frac {\hbar \ c^{3}}{8\pi \,G\,Mk_{\mathrm {B} }}} $

wobei ħ das reduzierte plancksche Wirkungsquantum, c die Lichtgeschwindigkeit, G die Gravitationskonstante, M die Masse des Schwarzen Lochs und k_B die Boltzmannkonstante ist.

Diese Gleichung beruht auf den Näherungen des thermodynamischen Gleichgewichts. Ein Teil der erzeugten Strahlung wird durch das Gravitationsfeld in das Schwarze Loch zurückgestreut. Schwarze Löcher sind daher eher als „graue Strahler“ zu verstehen mit einer gegenüber dem Modell des schwarzen Körpers verminderten Strahlungsintensität. Die Näherungen bei der Herleitung gelten nur für Schwarze Löcher mit großer Masse, da angenommen wurde, dass die Krümmung des Ereignishorizontes vernachlässigbar klein ist, so dass "gewöhnliche" Quantenmechanik in der Rindler-Raumzeit betrieben werden kann. Für sehr kleine Schwarze Löcher sollte die Intensitätsverteilung deutlich von der eines schwarzen Strahlers abweichen, weil in diesem Fall die quantenmechanischen Effekte so bestimmend werden, dass die semiklassische Näherung nicht mehr gilt.

Der Hawking-Effekt stellt einen Spezialfall des Gibbons-Hawking-Effektes dar.

Hawking-Entropie und verallgemeinerter zweiter Hauptsatz

Durch die Entropie-Gleichung von Hawking lässt sich ein Zusammenhang zwischen der Thermodynamik, der Quantenmechanik, der Relativitätstheorie und der klassischen Mechanik herstellen:

$ S_{\mathrm {SL} }={\frac {k_{\mathrm {B} }Ac^{3}}{4\hbar G}} $

S_{SL - Entropie des Schwarzen Lochs}

$ k_{\mathrm {B} } $ - Boltzmann-Konstante

c - Lichtgeschwindigkeit

A - Oberfläche des Ereignishorizontes

$ \hbar $- Plancksches Wirkungsquantum dividiert durch 2$ \pi $

G - Gravitationskonstante

Die Herleitung dieser Gleichung benutzt das Stefan-Boltzmann-Gesetz.

Dies führt zum sogenannten „verallgemeinerten zweiten Hauptsatz der Thermodynamik“. Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik besagt, dass die Entropie eines Systems nicht mit der Zeit abnehmen kann. Die Verallgemeinerung besagt, dass die Summe aus „gewöhnlicher“ Entropie und der Gesamtfläche aller Ereignishorizonte nicht mit der Zeit abnehmen kann.

Anwendung: fusionierende und zerfallende Schwarze Löcher

Betrachte die Fusion zweier Schwarzer Löcher der Massen M₁ und M₂. Der Fusionsprozess sei isentrop, d. h. die gewöhnliche Entropie des Systems verändert sich nicht. Da die Fläche des Ereignishorizontes A proportional zum Quadrat der Masse ist, ergibt sich für die Änderung $ \Delta A=A_{\mathrm {nachher} }-A_{\mathrm {vorher} } $:

$ \Delta A=A(M_{1}+M_{2})-A(M_{1})-A(M_{2})\sim (M_{1}+M_{2})^{2}-M_{1}^{2}-M_{2}^{2}=2M_{1}\,M_{2}>0 $

Die Gesamtfläche nimmt also zu und die Fusion zweier Schwarzer Löcher steht somit nicht im Widerspruch zum verallgemeinerten zweiten Hauptsatz.

Betrachte nun den Zerfall eines Schwarzen Loches der Masse M₁+M₂ in zwei kleinere Schwarze Löcher der Massen M₁ und M₂. Der Zerfallssprozess sei wieder isentrop. Für die Änderung der Gesamtfläche der Ereignishorizonte gilt dann:

$ \Delta A=A(M_{1})+A(M_{2})-A(M_{1}+M_{2})\sim M_{1}^{2}+M_{2}^{2}-(M_{1}+M_{2})^{2}=-2M_{1}\,M_{2}<0 $

Die Gesamtfläche würde also bei dem Zerfall eines Schwarzen Loches in zwei kleinere abnehmen. Der verallgemeinerte zweite Hauptsatz der Thermodynamik verbietet also den Zerfall eines Schwarzen Loches in zwei kleinere.

Schlussfolgerungen und Ausblick

Die Vorhersage der Hawking-Strahlung beruht auf der Kombination von Effekten der Quantenmechanik und der allgemeinen Relativitätstheorie sowie der Thermodynamik. Da eine Vereinheitlichung dieser Theorien bisher nicht gelungen ist (Quantentheorie der Gravitation), sind solche Vorhersagen immer mit einer gewissen Unsicherheit behaftet.

Mit der thermischen Strahlung verliert das Schwarze Loch Energie und damit Masse. Es „schrumpft“ also mit der Zeit. Nimmt man ein Schwarzkörperspektrum, sowie ein Boltzmann-Gesetz für die Intensität an, so lässt sich eine Strahlungsleistung und daraus eine Lebensdauer $ \tau $ für ein Schwarzes Loch herleiten, die proportional zur dritten Potenz der Masse ist:

$ \tau \approx 2,1\cdot 10^{67}{\frac {M^{3}}{M_{\odot }^{3}}}\,\mathrm {a} $

$ M_{\odot } $ - Masse der Sonne

Schwarze Löcher stellaren Ursprungs haben jedoch aufgrund ihrer großen Masse eine geringere Temperatur als die kosmische Hintergrundstrahlung, weshalb diese Schwarzen Löcher thermische Energie aus ihrer Umgebung aufnehmen. In diesem Fall ist also kein Schrumpfen des Schwarzen Loches möglich, denn durch die Aufnahme an Strahlungsenergie nimmt die Masse dabei gemäß der einsteinschen Masse-Energie-Äquivalenzformel zu. Erst wenn die Umgebungstemperatur unter die Temperatur des Schwarzen Loches gefallen ist, verliert das Loch durch Strahlungsemission an Masse. Für Schwarze Löcher lassen sich Gesetze herleiten, die weitgehend analog zu den drei Hauptsätzen der klassischen Thermodynamik sind. Heuristische Überlegungen führten J. D. Bekenstein bereits 1973 zu der Hypothese, dass die Oberfläche des Ereignishorizonts ein Maß für die Entropie eines Schwarzen Loches sein könnte. Mit der Entropiefunktion und der Temperaturdefinition kann ein (verallgemeinerter) 2. Hauptsatz der Thermodynamik für Schwarze Löcher aufgestellt werden.

Was am „Ende seiner Lebenszeit“ mit einem Schwarzen Loch geschieht ist noch unklar. Insbesondere tritt dabei das so genannte Informationsparadoxon auf. Es besteht in der Frage, was beim „Verdampfen“ des Schwarzen Loches mit der ursprünglichen Information geschieht, die bei dessen Entstehung in das Schwarze Loch hineingestürzt ist und gemäß bestimmter Forderungen aus der Quantenmechanik nicht verloren sein kann.

Weblinks

• Was ist Hawking-Strahlung?
• Schwarze Löcher sind nicht schwarz – nach Hawking strahlen sie! (Themenseite bei Thinkquest)

Siehe auch

• Don N. Page: Particle emission rates from a black hole: Massless particles from an uncharged, nonrotating hole. In: Physical Review D. 13, Nr. 2, 1976, S. 198–206. Bibcode: 1976PhRvD..13..198P. doi:10.1103/PhysRevD.13.198. → Erste detaillierte Studie der Vorgänge bei der Verdampfung Schwarzer Löcher
• Matt Visser: Essential and inessential features of Hawking radiation. Januar 2001.

Referenzen