Gross-Pitaevskii-Gleichung

Die Gross-Pitaevskii-Gleichung (nach Eugene P. Gross und Lew Petrowitsch Pitajewski) stellt in der Quantenmechanik eine nichtlineare Verallgemeinerung der Schrödinger-Gleichung dar. Sie beschreibt die zeitliche Entwicklung einer makroskopischen Wellenfunktion $ \psi ({\vec {r}},t) $:

$ \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\vec {\nabla }}^{2}+V({\vec {r}},t)+g|\psi |^{2}\right]\psi $

Die Wellenfunktion ist der Ordnungsparameter des Phasenübergangs. Der Parameter $ g\, $ beschreibt, ob die Wechselwirkung anziehend ($ g<0\, $) oder abstoßend ($ g>0\, $) ist. Für $ g=0\, $ entfällt der nichtlineare Wechselwirkungsterm und man erhält die Schrödinger-Gleichung.

Die Gross-Pitaevskii-Gleichung spielt eine wichtige Rolle bei der theoretischen Behandlung von bosonischen Quantenflüssigkeiten wie Bose-Einstein-Kondensaten (BEC), Supraleitern und Supraflüssigkeiten. Sie beinhaltet unter anderem solitäre Lösungen (nichtlineare Wellen) und Vortices (quantisierte Wirbel). Sie entspricht einer Molekularfeldnäherung, mit der Wechselwirkung mit dem mittleren Feld der übrigen Bosonen im nichtlinearen Term.

Berücksichtigt man auch elektrisch geladene Teilchen (Ladung $ q\, $, Vektorpotential $ {\vec {A}} $), so muss man den Impulsoperator ersetzen: $ {\vec {p}}\rightarrow -\mathrm {i} \hbar {\vec {\nabla }}+q{\vec {A}} $. In diesem Fall wird aus der Gross-Pitaevskii-Gleichung die Ginzburg-Landau-Gleichung, die der phänomenologischen Beschreibung von Supraleitern dient.

Energie und Dispersion

Die Energiedichte eines Systems, das durch die Gross-Pitaevskii-Gleichung beschrieben wird, ist gegeben durch:

$ \epsilon \left[\psi \right]={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}|{\vec {\nabla }}\psi |^{2}+V|\psi |^{2}+{\frac {1}{2}}g|\psi |^{4} $

Die Dispersionsrelation lautet:

$ E=\hbar \omega ={\sqrt {{\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}\left({\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}+2g|\psi |^{2}\right)}} $

Literatur

• Anthony James Leggett:Bose-Einstein Condensation in the Alkali Gases: Some Fundamental Concepts, Reviews of Modern Physics, Bd.73, 2001, S.307-356
• Originalarbeiten:
  • E. P. Gross,Structure of a quantized vortex in boson systems, Il Nuovo Cimento, Bd. 20, 1961, S. 454-457, Hydrodynamics of a superfluid condensate, J. Math. Phys., Bd. 4, 1963, S. 195-207
  • L. P. Pitaevskii: Vortex Lines in an Imperfect Bose Gas, Soviet Physics JETP, Bd. 13, 1961, S.451-454.