Gleichgewichtstemperatur

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Die Gleichgewichtstemperatur gibt diejenige Temperatur an, die sich nach genügend langer Zeit in einem System von selbst einstellt. In der Astronomie sind die Gleichgewichtstemperaturen von Gaswolken und Planetenoberflächen wichtig.

Gleichgewichtstemperatur einer Planetenoberfläche

Unter den Annahmen, dass

  1. der Planet keine eigenen Energiequellen hat,
  2. die eingestrahlte Energie wieder vollständig abgestrahlt wird,
  3. die Atmosphäre wie ein schwarzer Körper strahlt und
  4. der Anteil $ \eta $ der Energie als sichtbares Licht reflektiert wird und nicht zu einer Erwärmung der Planetenoberfläche beitragen kann,

gilt mit den Bezeichnungen

  1. $ R $ für den Planetenradius,
  2. $ d $ für den Abstand von der Sonne,
  3. $ T $ für die Temperatur,
  4. $ \sigma =5,67\cdot 10^{-8}W/(m^{2}K^{4}) $ für die Stefan-Boltzmann-Konstante und
  5. $ L=L_{sun}=3,8\cdot 10^{26}J/s $ die Leuchtkraft der Sonne.

für die pro Sekunde absorbierte Sonnenenergie der Ausdruck

$ E_{in}=(1-\eta )\cdot {\frac {\pi R^{2}L}{4\pi d^{2}}} $

Hier ist die Leuchtkraft $ L $ der Sonne auf die ganze Kugel mit Radius $ d $ verteilt, mit dieser Dichte nimmt aber die ganze Planetenoberfläche $ \pi R^{2} $ Energie auf. Von der theoretisch möglichen Energie gehen durch Reflexion $ \eta \cdot 100\% $ verloren. Die abgestrahlte Energie pro Sekunde ist

$ E_{out}=4\pi R^{2}\sigma T^{4} $

Die Gleichung für die abgestrahlte Energie folgt aus dem Produkt der Oberfläche $ 4\pi R^{2} $ und der Temperatur $ T $ in vierter Potenz mit der Proportionalitätskonstante $ \sigma $.

Die Gleichgewichtsbedingung $ E_{in}=E_{out} $ ergibt

$ T={\sqrt[{4}]{\frac {(1-\eta )\cdot L}{16\pi d^{2}\sigma }}} $

Für die Erde resultiert dies mit $ \eta =0 $ im Wert $ T=277K $, mit $ \eta =0,3 $ in $ T=255K $, beobachtet wird aber $ T=288K $. Diese höhere Temperatur ist auf den Treibhauseffekt zurückzuführen. Besonders stark ist dieser auf der Venus, wo die berechnete Temperatur bei $ 326K $, der gemessene Wert aber bei $ 740K $ liegt. Ein umgekehrter Effekt findet sich bei Mars, der eine deutlich dünnere Atmosphäre als die beiden vorgenannten hat: Dort liegt die berechnete Temperatur von $ 225K $ geringfügig höher als die tatsächlich beobachteten $ 213K $.

Literatur

  • H. Nussbaumer, H. M. Schmid: Astronomie. ISBN 3-7281-2910-0