Fresnelsche Formeln
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Die fresnelschen Formeln (nach Augustin Jean Fresnel) beschreiben quantitativ die Reflexion und Transmission einer ebenen, elektromagnetischen Welle an einer ebenen Grenzfläche. Der zunächst berechnete Reflexions- und Transmissionsfaktor ist das Verhältnis der reflektierten bzw. transmittierten Amplitude zu jener der einfallenden Welle. Durch Quadrieren erhält man den Reflexions- bzw. den Transmissionsgrad, welche als Energiegrößen Intensitätsverhältnisse darstellen.
Vorbetrachtungen
Die fresnelschen Formeln können aus den maxwellschen Gleichungen hergeleitet werden, dabei nutzt man Sonderfälle der Randbedingungen elektromagnetischer Wellen an einer ladungs- und stromfreien Grenzschicht:
Hierbei ist
Abhängig von der Polarisation der einfallenden Welle ergeben sich unterschiedliche Randbedingungen für das Auftreffen einer elektromagnetischen Welle auf eine optische Grenzfläche. Jede beliebig polarisierte elektromagnetische Welle lässt sich als Superposition zweier linear polarisierter Wellen, die senkrecht zueinander schwingen, darstellen. Als Bezugsebene dient die Einfallsebene, die vom Wellenvektor
Dabei ist
Wegen des Superpositionsprinzips reicht es aus, die Amplitudenverhältnisse für parallel und senkrecht zur Einfallsebene linear polarisierte Wellen zu berechnen.
Die Polarisationsrichtung (senkrecht bzw. parallel zur Einfallsebene) bleibt nach der Reflexion unverändert.
Allgemeiner Fall
Im allgemeinen Fall haben beide Medien eine unterschiedliche Permittivität
.
Vorbetrachtung für Gleichungen mit eliminiertem Brechungswinkel
Im Allgemeinen sind für die Berechnung der Reflexions- bzw. Transmissionsgrade mit den fresnelschen Formeln sowohl der Brechungsindex der beteiligten Medien als auch der Einfalls- und Brechungswinkel notwendig.
Um neben diesen allgemeinen Gleichungen auch eine vom Brechungswinkel unabhängige Form anzugeben, muss der Brechungswinkel aus der allgemeinen Form eliminiert werden. Da beide Winkel (
(Brechungsgesetz)
Quadrieren liefert (unter Nutzung einer trigonometrischen Umrechnung) folgenden Zusammenhang:
Umgestellt ergibt sich daraus:
Als Lösung wird der Fall mit dem positiven Vorzeichen genutzt, damit später der Reflexionsfaktor r ≤ 1 ist.
Senkrechte Polarisation (TE)
Als erstes betrachtet man die Komponente, die linear senkrecht (Index: s) zur Einfallsebene polarisiert ist. Sie wird in der Literatur auch häufig als transversalelektrische (TE) Komponente bezeichnet.
Mit dem Transmissionsfaktor
Parallele Polarisation (TM)
Im anderen Fall wird die Amplitude einer in der Einfallsebene linear parallel (Index: p) polarisierten Welle betrachtet. Sie wird in der Literatur auch häufig als transversalmagnetische (TM) Komponente bezeichnet.
Die Richtungen der elektrischen Feldvektoren
Spezialfall: gleiche magnetische Permeabilität
Für den in der Praxis häufigen Spezialfall, dass die beteiligten Materialien näherungsweise die gleiche magnetische Permeabilität besitzen (
- Senkrechte Polarisation (TE)
- Parallele Polarisation (TM)
Spezialfall: dielektrische Materialien
Ein weiterer Spezialfall ergibt sich für ideale Dielektrika, bei denen der Absorptionskoeffizient
Durch den Wegfall der komplexen Anteile vereinfachen sich die fresnelschen Formeln wie folgt:
- Senkrechte Polarisation (TE)
- Parallele Polarisation (TM)
Hinweis: Das zweite Gleichheitszeichen ergibt sich durch Anwenden des Brechungsgesetzes
Senkrechter Einfall
Eine weitere Vereinfachung ergibt sich für den Fall, dass der Einfallswinkel α gleich dem Brechungswinkel β ist (senkrechter Einfall):
Fällt beispielsweise sichtbares Licht senkrecht auf die Grenzfläche Luft/Quarzglas, dann wird der Anteil
der einfallenden Intensität unabhängig von der Polarisation reflektiert (vgl. Abschnitt Zusammenhang mit Reflexions- und Transmissionskoeffizienten).
Diskussion der Amplitudenverhältnisse
Dort, wo die Amplitudenkoeffizienten reell und negativ sind, tritt ein Phasensprung von
Das Amplitudenverhältnis
genau bei
also
Beispiele: Brewster-Winkel für Luft-Glas
Für
also
Beispiel: Grenzwinkel für Glas-Luft
Zusammenhang mit Reflexions- und Transmissionskoeffizienten
Man betrachte ein Strahlenbündel, das auf der Grenzfläche die Fläche
Die mittlere Energieflussdichte erhält man durch zeitliche Mittelung:
Die mittlere Energie, die pro Zeiteinheit vom Strahlenbündel transportiert wird (mittlere Leistung, die auf Fläche
,
bzw.
.
Allgemein (unpolarisiertes Licht) wird der Reflexionskoeffizient R (oft auch mit ρ bezeichnet) folgendermaßen definiert:
und als Transmissionskoeffizienten T (oft auch mit τ bezeichnet):
Die beiden Koeffizienten lassen sich nun mit Hilfe der fresnelschen Formeln berechnen, sie sind das Produkt des entsprechenden Reflexions- bzw. Transmissionsfaktors mit dessen konjugiert komplexem Wert.
Für ideale Dielektrika, die keinen Absorptionskoeffizienten aufweisen und deren Reflexionsfaktoren reell sind, vereinfachen sich die Gleichungen zu:
mit
Ohne Absorption gilt folgende Energiestrombilanz für die einzelnen Polarisationsrichtungen:
Mit der Gesamtamplitude
Literatur
- Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 3: Elektrodynamik. 7. Auflage. Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-20509-8
- Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 2. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20210-2.
- John David Jackson: Klassische Elektrodynamik. de Gruyter, Berlin 2006, ISBN 3-11-018970-4.
- Karl J. Ebeling : Integrierte Optoelektronik: Wellenleiteroptik, Photonik, Halbleiter. 2. Auflage, Springer. Berlin 1998, ISBN 3-540-54655-3.
Weblinks
Einzelnachweise
- ↑ Eugene Hecht: Schaum's outline of theory and problems of optics. McGraw-Hill Professional, 1975, ISBN 0070277303, S. 40–50.