Fresnel-Integral

Als Fresnel-Integrale werden in der Mathematik, insbesondere im Teilgebiet der Analysis, zwei uneigentliche Integrale bezeichnet, die nach dem Physiker Augustin Jean Fresnel benannt sind.

Definition

Die beiden Integrale

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\cos (t^2)\mathrm{d}t={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sin (t^2)\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\sqrt{2\pi }$

heißen Fresnel-Integrale. Sie ergeben sich aus dem gaußschen Fehlerintegral unter Benutzung des cauchyschen Integralsatzes.

Geschichte

Fresnel beschäftigte sich um 1819 mit diesen Integralen. Euler betrachtete schon 1781 die allgemeineren Integrale

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{(a^2-1)t^2}\cos (2a{t}^2)\mathrm{d}t=\frac{\sqrt{\pi }}{1+a^2},-1\le a\le 1$

und

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{(a^2-1)t^2}\sin (2a{t}^2)\mathrm{d}t=\frac{a\sqrt{\pi }}{1+a^2},-1\le a\le 1.$

Fresnel-Integrale in der Quantenmechanik

Sie spielen auch eine wichtige Rolle in der Quantenmechanik. Der Ansatz, die Quantenmechanik aus Pfadintegralen herzuleiten, basiert auf Integralen der Form:

${\mathcal{F}}^{(j)}\equiv \mathcal{N}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{i\alpha {\xi }^2}{\xi }^j\mathrm{d}\xi .$

Eine praktische Formulierung der Normierungskonstante $\mathcal{N}$ ist

$\mathcal{N}\equiv \sqrt{\frac{\alpha }{i\pi }}$,

$j$ ist eine ganze natürliche Zahl. Für $j=0$ ist das Integral

$\mathcal{F}\equiv {\mathcal{F}}^{(0)}\equiv \mathcal{N}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{i\alpha {\xi }^2}\mathrm{d}\xi$

und heißt dann Fresnel-Integral. Integrale dieser Form tauchen in der aus den feynmanschen Pfadintegralen hergeleiteten Schrödingergleichung auf.

Aus dem Fresnel-Integral ergibt sich eine komplexe Zahl, deren Real- und Imaginärteile bestimmt sind durch

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\cos (\alpha {\xi }^2)\mathrm{d}\xi =\sqrt{\frac{\pi }{2\left|\alpha \right|}}$ und

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\sin (\alpha {\xi }^2)\mathrm{d}\xi =\sqrt{\frac{\pi }{2\left|\alpha \right|}}\cdot \mathrm{sign}(\alpha ).$

Beide Integrale konvergieren. Das Cosinus-Integral ist aufgrund der Symmetrie des Cosinus invariant gegenüber einem Vorzeichenwechsel von $\alpha$, der antisymmetrische Sinus wechselt das Vorzeichen. Aus der Addition ergibt sich mit $\sqrt{i}=e^{i\frac{\pi }{4}}$ und $-1=e^{i\pi }$ und einer Fallunterscheidung für die Signumfunktion als Lösung des Fresnel-Integrals

$\mathcal{F}\equiv {\mathcal{F}}^{(0)}\equiv \mathcal{N}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{e}}^{i\alpha {\xi }^2}\mathrm{d}\xi =\sqrt{\frac{\alpha }{i\pi }}\cdot \sqrt{\frac{i\pi }{\alpha }}=1.$

Hieraus erklärt sich auch die Normierungskonstante, die genau das Inverse der Integrallösung sein muss, damit der Gesamtausdruck 1 ist. In der Quantenmechanik wählt man dies aus pragmatischen Gründen und aus der Idee heraus, dass eine Wellenfunktion einer Aufenthaltswahrscheinlichkeit entspricht; also muss das Integral über diese Funktion 1 sein, da sich das beschriebene Teilchen schließlich irgendwo befindet.

Quellen

• Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1. 5. Auflage, Springer-Verlag 2002, ISBN 3540590757, Seiten 178f.
• Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2. 3. Auflage, Springer-Verlag 2007, ISBN 3540404325, Seite 47.