Fresnel-Integral

Als Fresnel-Integrale werden in der Mathematik, insbesondere im Teilgebiet der Analysis, zwei uneigentliche Integrale bezeichnet, die nach dem Physiker Augustin Jean Fresnel benannt sind.

Definition

Die beiden Integrale

$ \int _{-\infty }^{\infty }\cos(t^{2})\,\mathrm {d} t=\int _{-\infty }^{\infty }\sin(t^{2})\,\mathrm {d} t={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\pi }} $

heißen Fresnel-Integrale. Sie ergeben sich aus dem gaußschen Fehlerintegral unter Benutzung des cauchyschen Integralsatzes.

Geschichte

Fresnel beschäftigte sich um 1819 mit diesen Integralen. Euler betrachtete schon 1781 die allgemeineren Integrale

$ \int _{-\infty }^{\infty }e^{(a^{2}-1)t^{2}}\cos(2at^{2})\,\mathrm {d} t={\frac {\sqrt {\pi }}{1+a^{2}}},\qquad -1\leq a\leq 1 $

und

$ \int _{-\infty }^{\infty }e^{(a^{2}-1)t^{2}}\sin(2at^{2})\,\mathrm {d} t={\frac {a\,{\sqrt {\pi }}}{1+a^{2}}},\qquad -1\leq a\leq 1. $

Fresnel-Integrale in der Quantenmechanik

Sie spielen auch eine wichtige Rolle in der Quantenmechanik. Der Ansatz, die Quantenmechanik aus Pfadintegralen herzuleiten, basiert auf Integralen der Form:

$ {\mathcal {F}}^{(j)}\equiv {\mathcal {N}}\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {e} ^{i\alpha \xi ^{2}}\xi ^{j}\mathrm {d} \xi \,. $

Eine praktische Formulierung der Normierungskonstante $ {\mathcal {N}} $ ist

$ {\mathcal {N}}\equiv {\sqrt {\frac {\alpha }{i\pi }}} $,

$ j $ ist eine ganze natürliche Zahl. Für $ j=0 $ ist das Integral

$ {\mathcal {F}}\equiv {\mathcal {F}}^{(0)}\equiv {\mathcal {N}}\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {e} ^{i\alpha \xi ^{2}}\mathrm {d} \xi $

und heißt dann Fresnel-Integral. Integrale dieser Form tauchen in der aus den feynmanschen Pfadintegralen hergeleiteten Schrödingergleichung auf.

Aus dem Fresnel-Integral ergibt sich eine komplexe Zahl, deren Real- und Imaginärteile bestimmt sind durch

$ \int _{-\infty }^{\infty }\cos(\alpha \xi ^{2})\,\mathrm {d} \xi ={\sqrt {\frac {\pi }{2\left|\alpha \right|}}} $ und

$ \int _{-\infty }^{\infty }\sin(\alpha \xi ^{2})\,\mathrm {d} \xi ={\sqrt {\frac {\pi }{2\left|\alpha \right|}}}\cdot \operatorname {sign} (\alpha )\,. $

Beide Integrale konvergieren. Das Cosinus-Integral ist aufgrund der Symmetrie des Cosinus invariant gegenüber einem Vorzeichenwechsel von $ \alpha $, der antisymmetrische Sinus wechselt das Vorzeichen. Aus der Addition ergibt sich mit $ {\sqrt {i}}=e^{i{\frac {\pi }{4}}} $ und $ -1=e^{i\pi } $ und einer Fallunterscheidung für die Signumfunktion als Lösung des Fresnel-Integrals

$ {\mathcal {F}}\equiv {\mathcal {F}}^{(0)}\equiv {\mathcal {N}}\int _{-\infty }^{\infty }\ \mathrm {e} ^{i\alpha \xi ^{2}}\mathrm {d} \xi ={\sqrt {\frac {\alpha }{i\pi }}}\cdot {\sqrt {\frac {i\pi }{\alpha }}}=1\,. $

Hieraus erklärt sich auch die Normierungskonstante, die genau das Inverse der Integrallösung sein muss, damit der Gesamtausdruck 1 ist. In der Quantenmechanik wählt man dies aus pragmatischen Gründen und aus der Idee heraus, dass eine Wellenfunktion einer Aufenthaltswahrscheinlichkeit entspricht; also muss das Integral über diese Funktion 1 sein, da sich das beschriebene Teilchen schließlich irgendwo befindet.

Quellen

• Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1. 5. Auflage, Springer-Verlag 2002, ISBN 3540590757, Seiten 178f.
• Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2. 3. Auflage, Springer-Verlag 2007, ISBN 3540404325, Seite 47.